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Corso diCorso di
Statistica per l’impresa
Prof. A. Regolia.a. 2010-
1
Corso di Statistica per l'impresa
a.a. 2010-2011 – Univ. NA Parthenope - Prof. Regoli
Dalla stima puntuale
alla stima per intervallo
Anche utilizzando uno stimatore con proprietàottimali
per effetto del caso la stima puntuale
ottimali, per effetto del caso la stima puntualesulla base di un campione può essere moltodiversa dal valore vero del parametroDi solito si preferisce stimare un intervallo divalori per il parametro incognitoUna stima compresa tra due limitiUna stima compresa tra due limiti •^
riflette meglio l’incertezza legata all’inferenza
•^
incorpora direttamente l’informazione sul
grado di precisione
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La stima per intervallo
È un intervallo di valori plausibili a cuiassociamo un dato livello di confidenza oassociamo un dato livello di confidenza oaffidabilità o fiducia (generalmente fissato al90%, 95% o 99%)Ci aspettiamo che l’intervallo contenga, conquel livello di fiducia, il valore incognitoq^
,^
g
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Stima per intervallo
Per costruire la stima intervallare delparametro
al livello di confidenza 1-
α, sulla
b^
d ll
i^
i^
i^
i^
i
base delle osservazioni campionarie sistimano due valori, L
1
e L
2
(gli estremi
dell’intervallo) in maniera tale cheL^1
e L
2
sono statistiche campionarie
cioè
(^
)^
≤^
L
L
P^
2
1
L^1
e L
2
sono statistiche campionarie, cioè
variano al variare dei campioniL^1
=L
(X 1
,X 1
,…,X 2
)n
L^2
=L
(X 2
,X 1
,…,X 2
)n
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Interpretazione della stima per
intervallo
L’affermazione “
θ^
è compreso tra L
1
e L
2
con
probabilità pari a 1-
α” va interpretata nello
probabilità pari a 1
va interpretata nello
spazio campionario, prima di estrarre ilcampione effettivoIn questo senso, 1-
α^
è la frequenza relativa
di campioni per i quali l’intervallo include ilvalore incognito
valore incognito
Si accetta un rischio pari ad
che il
campione estratto produca un intervallo chenon contenga
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Interpretazione del livello di
confidenza
Fissiamo 1-
Ipotizziamo di estrarre successivamente piùIpotizziamo di estrarre successivamente piùcampioni indipendenti dalla stessapopolazione e costruiamo le corrispondentistime intervallari
Per 95 campioni su 100,
è compreso
nell’intervallo stimatoIl campione estratto però potrebbe ancheessere uno di quella frazione
(il 5%) per la
quale l’intervallo non cattura il valoreincognito
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X1,
X,…,X^2
n^
X1,
X,…,X^2
n^
X1,
X,…,X^2
n
…
Popolazione
Intervallo diconfidenza per X
Livello di confidenza 1
α
=0 95
parametro incognito
θ
Campione 1
Campione 2
Campione 100
Gli intervalli rossi NON contengono
θ
Gli intervalli verdi contengono Questo si verifica per 5 campioni su 100
θ
Questo si verifica per 95 campioni su 100
Livello di confidenza 1
=0,
θ
Distribuzionecampionaria
T
Non possiamo sapere se il campioneche abbiamo effettivamente estrattoè uno di quelli per i quali gli intervallistimati contengono
θ^
oppure no.
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Caso di studio
Per programmare meglio il servizio offerto,un’azienda leader nella vendita on line diun azienda leader nella vendita on line dilibri, Cd e DVD vuole conoscere: •^ L’importo medio di ogni ordine •^ La proporzione di pagamenti fatti con lacarta di credito VISAEstrae un campione casuale di n transazionidelle quali osserva l’importo e il metodo dipagamento
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Stima per intervallo della
media
Tre situazioni1. Popolazione Normale
nota
2. Popolazione Normale
non nota
(^
N
X^
(^
N
X^
3. Popolazione non Normale, n grande
(n>30)
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Pop. Normale, varianza nota
⎛^ ⎜ ⎝
σ μ^
n ; N ~ X
2
(^
N
X^
μ^
(^
N
n
X
Z^
Ad un livello di confidenza 1
α
Qual è un insieme di valori “plausibili” per Z?Qual è un insieme di valori “plausibili” per
(^
)^
z Z z P^
X
Ad un livello di confidenza 1-
α=0,
(^
)^
Z
P^
dalla tavola ZQ
p^
p
L’obiettivo è scrivere un intervallo casuale per
μ
, i
cui estremi dipendono dal campione
(^95) , 0
(^96) , 1 n X
(^96) , 1 P^
⎞=⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
≤
σ
μ − ≤
−
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Pop. Normale, varianza nota
X
X
P^
⎛^ ⎜
σ + ≤ μ ≤ σ
n
X
n
X
P^
⎛^ ⎜⎝
n (^96) , 1
X
n (^96) , 1 X P^
⎜ ⎝^
μ− ≤
n (^96) , 1 X
n (^96) , 1 X P^
⎛^ ⎜⎝
σ
≤ μ≤ σ
−^
n
n^
n (^96) , 1 x^
σ
±
margine di errore
è la stima per intervallo di
μ
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Pop. Normale, varianza nota
Per un generico livello diconfidenza 1-
α
α−
⎞=⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
≤
σ
μ−
≤ −^
α
α^
1
z n X
z P^
2
2
confidenza 1
α
da cui
(^
)^
α − =
≤ ≤
−^
α
α^
1
z Z
z P^
2
2
⎞
⎛^
α−
⎞=⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
σ
≤ μ≤ σ
−^
α
α^
1 n z X n z X
P^
2
2 n z x^
2
σ
±^
α^
è la stima per intervallo di
μ^16
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Pop. Normale, varianza nota
Intervallo di confidenza per
⎤
⎡^
σ
σ
Gli estremi dell’intervallo dipendono da:1. la media campionaria2. la deviazione standard
della popolazione
⎤ ⎥⎦
⎡^ ⎢⎣
σ
σ
−^
α
α^
n z x , n z
x^
2
2
x
3. il valore4. la dimensione campionaria n
2
zα
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Lunghezza dell’intervallo e
errore della stima intervallare
Lunghezza (ampiezza) dell’intervallo
non varia al variare dei campioniMargine di errore dell’intervallo = semi-lunghezza
n
z 2
2
α
n z
errore
2
σ
=^
α
Il margine di errore è collegato al concetto diprecisione della stimaMinore è l’errore maggiore è la precisione equindi l’accuratezza della stima per intervallo
n
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Margine di errore
Indica di quanto, al massimo, la stimacampionaria si discosta, verosimilmente, dalparametro incognitoparametro incognitoSi sottolinea verosimilmente perché esisteuna frazioneCon ExcelL’errore associato alla stima per intervallo
% di campioni per i quali la
stima si discosta dal parametro di unaquantità maggiore del margine di erroreL errore associato alla stima per intervallodella media
della popolazione con varianza
nota si ottiene con la funzioneCONFIDENZA(
σ;n
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Errore e livello di confidenza
Conoscendo
, per una dimensione
campionaria fissata n
l’errore varia
campionaria fissata n, l errore variadirettamente al variare di
che, a sua
volta, dipende direttamente dal livello diconfidenza 1-
La riduzione dell’errore si può realizzare al
2
zα p
costo di accettare un livello di confidenzaminore
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Pop. Normale, varianza non nota
Per un generico livello diconfidenza 1-
α
α−
⎞=⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
μ≤ − ≤ −^
α
α^
1
t n XS t P^
2
2
confidenza 1
α
da cui
(^
)^
α−
≤ ≤ −^
α
α^
1
t T t P^
2
2
⎞
⎛^
S
S^
α−
⎞=⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
≤μ ≤
−^
α
α^
1 Sn t X
Sn t X P^
2
2 s n t x^
(^2) α ±^
è la stima per intervallo di
μ^25
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Pop. Normale, varianza non notaIntervallo di confidenza per
⎡^
s t x s t x
Per n grande (n>120) T
Z
l’intervallo è approssimato da
⎡^ ⎢⎣
−^
α
α^
n t x , n t
x^
2
2 s n t
errore
(^2) α
2 s 2 t n^
⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝
δ
=^
α
per un errore massimofissato pari a
δ
l intervallo è approssimato da
⎡^ ⎢⎣
−^
α
α^
s n z x , s n z x^
2
2
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Lunghezza dell’intervallo e
errore della stima intervallare
Lunghezza (ampiezza) dell’intervallo
s
t 2
in questo caso varia al variare dei campioniMargine di errore dell’intervallo = semi-lunghezza
s n t
errore
(^2) α
s^ n
t 2
(^2) α
Fissato un errore massimo
n δ
(^2) α
2 s 2 t n^
δ
=^
α
s è una stima della varianza della pop. nota prima di estrarre il campione
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Pop. non Normale
⎛^ ⎜⎝
μ^
n
N
a
tende
X
2
n grande
TLC
(^
N
~a
tende n X Z^
σ
μ − =
⎡^ ⎢
σ
σ
−^
z x ,
z x^
2
2 Intervallo di confidenza per
μ co
n varianza della pop. nota
⎥⎦
⎢⎣^
+^
α
α^
n z x , n z
x^
2
2
⎡^ ⎢⎣
−^
α
α^
s n z x , s n z x^
2
2
co
a^
a^
a de a pop
ota
con varianza della pop. nonnota
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Stima per intervallo della
proporzione
Popolazione BernoullianaIl carattere che si studia assume due soleIl carattere che si studia assume due solemodalità: Presenza/Assenza di un attributo AX=1 con prob.
X=0 con prob. 1-
In una popolazione finita
è la proporzione
di unità che presentano l’attributo AC
i^
l^
di
i^
l
Come stima puntuale di
si usa la
proporzione campionaria p
=^
n^1 i
Xi
1 n
X
P^
p è di fatto una media campionaria
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Pop. Bernoulliana
(^
)^ ⎞⎟⎠
⎛^ ⎜⎝
π − π π^
1 n ; N ~a
tende X
n grande
TLC^ (^
)^
(^
; 0 N ~a
tende n
X^1
Z^
π− π
π−
=
Per un generico livello di confidenza 1-
α
(^
)^
α−
⎞≅⎟⎟⎠
⎛^ ⎜⎜⎝
π− π
π−
−^
α
α^
z n
X^1
z P^
2
2
da cui
(^
)^
⎝^
π− π^
n
1
(^
)^
(^
)^
α−
⎞≅⎟⎟⎠
⎛^ ⎜⎜⎝
π − π + ≤ π ≤
π− π
−^
α
α^
1 n
z X
1 n
z X P^
2
2
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Pop. Bernoulliana
La varianza della proporzione campionariadipende dalla proporzione incognita
i^
ti
tt
d^
l’i
t
ll
x
π^
si stima con
ottenendo l’intervallo
(^
)^
(^
)^ ⎤⎥⎦
⎡^ ⎢⎣
−^
α
α^
n
x (^1) x
z x ,
n
x (^1) x
z x^
2
2
(^
n
x (^1) x
z
errore
2
=^
α
Fissato un errore massimo
(^
2
22
z n^
δ
π− π
=^
α
è una stima preliminare di
π^
nota prima di estrarre il campione
πˆ^
oppure
π
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Sondaggi elettorali.
Ballottaggio tra due candidati
Problema statistico: stimare una proporzionei^
it
i^
l^
i^
di
l tt
i^
h
incognita
, ossia la proporzione di elettori che
intende votare per il candidato XXY alleprossime elezioniSi estrae un campione casuale di n elettori (n grande)Supponiamo che la proporzione campionaria a favoredi XXY sia pari al 53 2% (stima puntuale)di XXY sia pari al 53,2% (stima puntuale)Il candidato XXY può ritenersi sicuro divincere?
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