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Corso diCorso di
Statistica per l’impresa
Prof. A. Regoli
a.a. 2010-
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Corso di Statistica per l'impresa
a.a. 2010-2011 – Univ. NA Parthenope - Prof. Regoli
Stima puntuale
Cosa vuol dire stimare? Stimare
: attribuire un valore plausibile a
Stimare
: attribuire un valore plausibile a
un parametro incognitoQuando un parametro della popolazione èstimato attraverso un singolo valore talevalore viene chiamato
stima puntuale
p
del parametro
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Stima puntuale - Caso di studioUn’azienda deve tenere sotto controllo laqualità del processo di produzione di unmacchinario che produce pezzi di una certal
h
S
i t
tt
t^
ll
lunghezza. Se si tenessero sotto controllotutti i pezzi prodotti e se ne calcolasse lalunghezza si potrebbe ottenere senzadifficoltà la lunghezza media (parametro).Supponiamo che non si possano misurare lelunghezze di tutti i pezzi prodotti ma soloquelle relative ad un campione casuale dipezzi di numerosità n. Allora si può calcolaresolo la lunghezza media del campione dipezzi (statistica).
In tal caso la lunghezza
media della popolazione di pezzi è ignota.
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Caso di studioLa lunghezza è la v.c. che indichiamo con Xdove la popolazione corrisponde all’insieme dipezzi che quel macchinario è in grado dipezzi che quel macchinario è in grado diprodurreSi può assumere ad esempio che X ~ N(
μ
σ
dove media e varianza siano entrambe ignoteQuindi la forma della distribuzione dellapopolazione è nota a meno dei due parametriignoti che devono essere stimati (stimapuntuale)
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Generalizziamo
X è una v.c. che rappresenta il carattereosservato sulla popolazione d’interesse lacui distribuzione di probabilità è di formanota a meno di qualche parametro
θ
che
nota a meno di qualche parametro
θ
che
la caratterizzaSe X è discreta la sua f. di probabilità èindicata con p(x;
θ
Se X è continua la sua funzione di densitàè indicata con f(x;
θ
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Dato che il parametro
θ
non
è
noto, si
vogliono trarre delle conclusioni su di essosulla base di un campione estratto dalla
Stimatore
sulla base di un campione estratto dallapopolazione, cioè si vuole
fare inferenza
su
θ
Si definisce
stimatore
del parametro
θ
ogni
statistica (funzione dei dati campionari)
)
X
,...
X ( t
T
n
1
=
Uno stimatore è quindi una v.c.
utilizzata per stimare
θ
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La
stima
del
parametro
di
interesse
θ ) x x ( t
Stima
)
x
,...
x ( t
n
1
è il valore assunto dallo stimatoresu un particolare campione osservato
)
(
Quindi una stima è una determinazionedella v.c. stimatore
)
x
,...
x (
n
1
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Se esistono diversi stimatori per
θ
, come si
fa a scegliere tra di essi?
Scelta dello stimatore
fa a scegliere tra di essi?Esistono dei criteri (
proprietà degli
stimatori
) in base ai quali è possibile
scegliere tra i diversi stimatori quello piùappropriato alla situazione in esameappropriato alla situazione in esame
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Distorsione di uno stimatore
T
1
e T
2
stimatori di
θ
θ <
θ
) T( E
) T( E
1 2
T^1
T^2
T
1
è uno stimatorecorretto di
θ
T
2
è uno
E(T
) 1
E(T
) 2
2 stimatoredistorto di
θ
B(T
)=E(T 2
) - 2
θ
è la distorsionedi T
2
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Efficienza
T1 e T2 stimatori corretti di
θ
T
1
e T
2
stimatori
corretti di
θ
T
1
T
1
è più efficiente di T
2
) T(
Var
) T(
Var
2
1
<
corretti di
θ
T
2
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Stima come tiro al bersaglio
Parametro incognito
Stime campionarie
Stime campionarie
g
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Alta distorsione, bassa variabilità.
Bassa distorsione, alta variabilità.
Distorsione: lanci sistematicamente fuori mira.Variabilità: dispersione dei lanci sul bersaglio.
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Stima come tiro al bersaglio
Parametro incognito
Stime campionarie
Stime campionarie
g
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Bassa distorsione, bassa variabilità
Alta distorsione, alta variabilità
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Proprietà asintotiche degli
stimatori
Gli stimatori hanno anche delle proprietàasintotiche ovvero proprietà che valgonoasintotiche ovvero proprietà che valgonosolo per campioni grandi,
ovvero per
Si usa la notazione
∞ → n
n
T
per indicare la dipendenza dello stimatoredalla numerosità campionaria
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Consistenza in media quadratica
Uno stimatore
n
T
è consistente
n
in media quadratica se
(^
)^
T
MSE
lim
n
n^
∞ →
La consistenza in media quadratica sia ha see solo se la varianza e la distorsione dellostimatore tendono a zero al crescere di n
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Correttezza asintotica
Uno stimatore
n
T
è asintoticamentecorretto se
(
)
θ
∞ →
n
n
T
E
lim per ogni
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I parametri della popolazione che piùfrequentemente interessa stimare sono:1) La media della popolazione
μ
p
p
μ
- La proporzione
π
della popolazione di unità
statistiche che presentano una certa modalitàdi interesse3) La varianza della popolazione
σ
2
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Esempio 1Dato un campione di 5 misurazioni dellalunghezza in cm di scatole regalo:
trovare gli stimatori corretti ed efficientitrovare gli stimatori corretti ed efficientidella media e della varianza dellapopolazioneLo stimatore corretto ed efficiente delparametro
μ
è la media campionaria
la cui
stima sulla base del campione osservato èuguale a 13,
X
g
Lo stimatore corretto ed efficiente delparametro
σ
2
è la varianza campionaria
corretta
la cui stima sulla base del
campione osservato è uguale a 5,
2
S
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Esempio 2Su un campione di 5 individui si rileva seessi sono intenzionati ad acquistare un certoprodotto, le risposte sono elencate di seguitop
,^
p
g
SI NO NO SI NO
Trovare una stima corretta ed efficiente dellamedia (proporzione di successo) dellapopolazioneLa stima corretta e efficiente della mediad ll
l^
i^
è l
di
i^
i
della popolazione è la media campionaria(proporzione di successi) nel campione che èuguale a 2/
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