Numeri complessi
Algebra Lineare
2.1 Concetto di Campo e costruzione di
_______________________________________________________________________________________!
sono campi, vogliamo che lo sia anche !
Costruzione del campo
deve essere un campo!
ℂ
Proprietà distributiva !
è un gruppo!
è un gruppo
a⋅(b+c) = a b +ac
(ℂ, + )
(ℂ/{0}, ⋅)
ℝ,ℚ
ℂ
Def
Un Campo K è un insieme (non vuoto) dotato di due operazioni binarie !
tali che: e !
1. Gruppo commutativo con 0 come Elemento neutro!
2. Gruppo commutativo con 1 come Elemento neutro!
3. Vale la proprietà distributiva, !
Annullamento del prodotto: !
• !
•oppure
+ : K x K →K
⋅:K x K →K
(K, + )
(K/{0}, ⋅)
∀a,b,c,∈K
a⋅(b+c) = a b +ac
x⋅y= 0
x= 0
x≠0
∃x−1⟹x−1⋅x⋅y= 0 ⋅x−1⟹y= 0
ℂ
ℝxℝ= {(a,b)|a,b∈ ℝ}
DIM
!
non importa la posizione!
elemento neutro!
elemento opposto!
Associativa!
è commutativa
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
(a,b) + (c,d) = (c,d)(a,b)→
(a,b) + (0,0) = (a+ 0,
b+ 0) = (a,b)→(0,0)
(a,b) + (−a,−b) = (0,0) → − (a,b) = (−a,−b)→
(ℝxℝ, + )
Gruppo commutativo con 0 come Elemento neutro
(ℝxℝ, + )
DIM
e !
Associativa!
elemento neutro!
Voglio dimostrare che è un gruppo!
una coppia ovvero !
quindi !
Dato vedo che quindi lo chiamo !
Vale la proprietà distributiva
(a,b)⋅(c,d) = (ac −bd,
a d +cb)
(c,d)⋅(a,b) = (ca −d b ,
bc +d a)
(a,b)⋅(1,0) = (a−0,b+ 0) = (a,b)→(1,0)
(ℝxℝ/{0}, ⋅)
∀(a,b)≠(0,0) ∃
(c,d) : (a,b)⋅(c,d) = (1,0)
(ac −d b,
a d +cb) = (1,0)
{ac −bd = 1
a d +b c = 0
⟹
ac +b2c
a= 1
d=−bc
a
a2c+b2c=a⟹
c=a
a2+b2
d=−b
a2+b2
(a,b)≠(0,0)
(a,b)⋅(a
a2+b2,−b
a2+b2) = (1,0)
(a,b)−1
Gruppo commutativo con 1 come Elemento neutro
(ℝxℝ/{0}, ⋅)
di 1 4
(a,b)→a+b
(a,b)→a⋅b
