Teorema della permanenza del segno
Le ipotesi sono molto semplici cioè esiste il limite di x tendente a x0 f(x)=l
Supponiamo che l sia >0
Tesi: esiste un intorno x con 0 tale che per ogni X appartenente ad un intorno
Xo*(quindi fatta eccezione del punto Xo) intersecato a X accade che la f(x)>0, vuol
dire che la funzione assume lo stesso segno del limite in un intorno X0.
Lo stesso discorso vale anche se l<0
TEOREMA DEI DUE CARABINIERI detto anche del confronto
Siano h(x), f(x), q(x) quindi tre funzioni definite in un intorno di X0:
esiste un intorno di X0 tale che per ogni x appartenente all’intorno di X0, escluso X0,
accade che la f(X) sia compresa tra h(x) e g(x).
Se:
Esiste un limite di x tendente a x0 di h(x)=L e lo chiamiamo *
Ed esiste un limite di x tendente a xo di g(x)=L e lo chiamano #
Necessariamente esiste il limite di X tendente a Xo f(x)= L
SARA’ COSTRETTA A CONVERGERE AD L.
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Afferma che se una funzione di x è continua nel intervallo chiuso e limitato [a,b],
allora f(x) è dotata di punti di massimo e minimo assoluti:
Cioè esiste un numero M appartenente a R, ovvero M>= f(x) per ogni valore di [a,b]
cioè M è maggiore di qualunque valore che può assumere una funzione.
Analogamente accade che m appartenete a R, è il punto più piccolo di una funzione
m<=f(x) per ogni x appartenente all intervallo [a,b]
Teorema di Darboux o di esistenza dei valori intermedi
Le ipotesi sono le stesse del teorema di Weierstrass, quindi se una funzione di x è
continua nel intervallo chiuso e limitato [a,b], allora f(x) è dotata di punti di massimo
e minimo assoluti vuol dire che prendo un L appartenente ad un intervallo [m,M]
succede che esiste c appartenente ad un intervallo [a,b] tale che il valore della
funzione che assume nel punto c sia uguale ad L, (f(c)=L)
Se L=0 si può dedurre il teorema di esistenza degli zeri
Teorema di esistenza degli zeri
Che dice se un funzione è continua in un intervallo [a,b] se il prodotto di f(a) e f(b) è
minore di 0, questa vuol dire che la funzione di a e b assume valori di segno opposto, quindi
un valore positivo e uno negativo.
