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CIRCUITO RL
Il circuito RL è un tipo di circuito elettrico costituito da un interruttore I (che apre o chiude il circuito, permettendo o interrompendo così il passaggio di corrente in esso), da una resistenza R (caratteristica del circuito che indica la resistenza opposta dal conduttore nei confronti del transito degli elettroni), da un’induttanza L (anch’essa una caratteristica del circuito, che esprime la tendenza del circuito stesso a generare, in condizioni di intensità di corrente variabile nel tempo, una f.e.m. e una corrente autoindotta tali da opporsi alla variazione dell’intensità di corrente stessa) e alimentato da un generatore erogante una f.e.m. costante fg. Nel caso di un circuito nel quale sia assente l’induttore, alla chiusura del circuito si produce istantaneamente una corrente di intensità i = fg R in virtù della prima legge di Ohm; questa corrente si mantiene costante fino al momento dell’apertura del circuito, nel quale, sempre istantaneamente , l’intensità di corrente si riduce a zero. La presenza dell’induttanza, con il suo tipico fenomeno di autoinduzione elettromagnetica , influisce non poco sui valori dell’intensità di corrente. Infatti, prendendo in esame i momenti successivi alla chiusura del circuito, la corrente deve passare dal valore i= 0 A al valore di regime i= fg R ; in questi istanti, nei quali la corrente del circuito varia, si produce una variazione nel tempo del flusso del campo magnetico autoconcatenato con il circuito, la quale si traduce quindi nella già accennata f.e.m autoindotta , esplicitata matematicamente attraverso la legge di Faraday-Neumann-Lenz: (si noti, l’efficace utilizzo dell’operatore derivata per indicare, come al solito, variazioni infinitesime di determinate grandezze nel tempo). Il segno – della legge di Faraday- Neumann-Lenz costituisce la traduzione, nell’astratta lingua matematica, della concreta opposizione della forza elettromotrice autoindotta nei
confronti della variazione nel tempo del flusso del campo magnetico autoconcatenato col circuito. Data, inoltre, la corrispondenza tra variazione del flusso autoconcatenato e variazione dell’intensità di corrente che percorre il circuito, espressa dalla relazione (dalla quale risulta evidente il ruolo dell’induttanza L all’interno del fenomeno di autoinduzione), la f.e.m autoindotta può anche venire espressa come: −. Da questa equazione si rende dunque chiara la funzione dell’induttanza, che ostacola, dopo la chiusura del circuito RL, il raggiungimento dell’intensità di regime. Analizziamo l’andamento dell’intensità di corrente in funzione del tempo t successivo alla chiusura del circuito. Sappiamo dalla prima legge di Ohm che la differenza di potenziale relativa ad un circuito è pari al prodotto tra la resistenza R esistente nel circuito e l’intensità i di corrente che percorre il circuito; nel nostro caso, la differenza di potenziale relativa al circuito RL è data dalla somma algebrica tra la forza elettromotrice costante erogata dal generatore e la forza elettromotrice autoindotta per effetto della presenza dell’induttore L. Si ha: fg - L di dt = Ri con i = i(t) Questa è un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Ora, con l’ausilio del calcolo integrale, risolveremo questa equazione, allo scopo di determinare l’espressione matematica della funzione i ( t ). Sfruttando i principi di equivalenza delle equazioni, dall’equazione originaria otteniamo : L di dt = fg – Ri da cui si ottiene di fg − Ri
1 L dt. Con un artificio, dato che fg e R sono due costanti, l’incremento infinitesimo di può essere equivalentemente scritto come - d ( fg − Ri ) R
. Quindi si ha :
1 R d ( fg − Ri ) fg − Ri
1 L dt , da cui si arriva all’espressione d ( fg − Ri ) fg − Ri
R L dt. Integrando membro a membro otteniamo In ( fg -Ri ) = - R L t + c. Utilizzando poi le proprietà delle potenze, l’identità eIn y^ = y e ponendo ec^ = k , l’ultima espressione può essere riscritta nella forma seguente: fg – Ri= k e R/L t, da cui, risolvendo rispetto a i , segue che
indicata l’intensità dell’extracorrente e dove l’unità di misura del tempo è la costante di tempo
