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UTILITA’ DELLA DERIVATA PRIMA
TEOREMA: TEST DI MONOTONIA
ENUNCIATO
Sia 𝒇: (𝒂, 𝒃) → ℝ una funzione derivabile, ALLORA:
1. 𝒇 è 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 ⇔ 𝒇
′
2. 𝒇 è 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 ⇔ 𝒇
′
′
𝟎 ⇒ 𝒇 è 𝒔𝒕𝒓𝒆𝒕𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
′
< 𝟎 ⇒ 𝒇 è 𝒔𝒕𝒓𝒆𝒕𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
DIMOSTRAZIONE 1.
Si suppone che 𝒇 è 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: devo dimostrare che 𝒇
′
Allora risulta che, presi due punti generici, se 𝒙
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
) visto che abbiamo
supposto f sia crescente.
Ora prendo due punti x e y e scrivo il rapporto incrementale
𝒇
( 𝒚
) − 𝒇
( 𝒙
)
𝐲−𝐱
Discuto il segno del rapporto incrementale:
• Se 𝒙 < 𝒚 posso dire che 𝑓(𝒙) < 𝒇(𝒚) perché la mia funzione ho supposto sia
crescente. Per questo motivo sia numeratore che denominatore sono positivi, quindi
il segno del rapporto incrementale è positivo
• Se 𝒙 > 𝒚 posso dire che 𝑓(𝒙) > 𝒇(𝒚) perché la mia funzione ho supposto sia
crescente. Per questo motivo sia numeratore che denominatore sono negativi, quindi
il segno del rapporto incrementale è positivo
• Il segno è quindi sempre positivo
Se passo al limite del rapporto incrementale ottengo la derivata
′
(𝒙) = lim
𝑦→𝑥
y − x
Ma se il rapporto incrementale è maggiore di zero, per il corollario del teorema di
permanenza del segno anche il limite sarà maggiore di zero
′
= lim
𝑦→𝑥
y − x
E quindi 𝒇
′
Si suppone che 𝒇
′
Presi due punti tali che 𝒙
𝟏
𝟐
Devo dimostrare che f è crescente e cioè che 𝒇(𝒙
𝟏
𝟐
Per il teorema di Lagrange ∃ 𝒄 ∈
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
′
𝟐
𝟏
cioè la
variazione della funzione è la derivata in un punto per l lunghezza dell’intervallo.
Se 𝑓
′
(𝑐) ≥ 0 e (𝒙
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
TEOREMA: TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DELLE COSTANTI
ENUNCIATO
Una funzione è costante in [a,b] ⇔
Il teorema mi dice che una funzione costante ha ogni punto come punto stazionario: si
capisce osservando il grafico di una generica funzione costante:
DIMOSTRAZIONE
Si suppone che f sia costante in [a,b]; si deve dimostrare che f è derivabile in [a,b] e f’=0 in
ogni punto di [a.b]
Ma questo è ovvio, se la funzione è costante questa sarà una retta orizzontale e quindi la
derivata in ogni suo punto sarà nulla
Si suppone che che f è derivabile in [a,b] e f’=0 in ogni punto di [a,b]; si deve dimostrare che
f sia costante in [a,b]
Prendo due generici punti 𝒙
𝟏
𝟐
∈ [𝒂, 𝒃] supponendo che 𝒙
𝟏
𝟐
Per dimostrare che f sia costante devo dimostrare che 𝒇(𝒙
𝟏
𝟐
- f è derivabile in [a,b]
- f’=0 in ogni punto di [a,b]
FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE
Con la derivata prima possiamo anche fare delle considerazioni sulle funzioni concave e
convesse. Ma si sappia che la concavità e la convessità si studiano con la derivata seconda;
Quindi, quanto segue è più un’osservazione.
FUNZIONI CONVESSE
FUNZIONI CONCAVE
Le funzioni convesse rivolgono la concavità verso l’alto. I
valori della funzione stanno quindi sopra la tangente.
E se l’equazione della tangente la scriviamo come
𝑦 = 𝑓
′
( 𝑥
0
)( 𝑥 − 𝑥
0
)
0
)
Diremo che una funzione
′
( 𝑥
0
)( 𝑥 − 𝑥
0
)
0
)
- è strettamente convessa se 𝑓(𝑥) > 𝑓
′
(𝑥
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑓(𝑥
0
)
Le funzioni concave rivolgono la concavità verso il basso. I
valori della funzione stanno quindi sotto la tangente.
E se l’equazione della tangente la scriviamo come
𝑦 = 𝑓
′
( 𝑥
0
)( 𝑥 − 𝑥
0
)
0
)
Diremo che una funzione
′
(𝑥
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑓(𝑥
0
)
- è strettamente concava se 𝑓(𝑥) < 𝑓
′
(𝑥
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑓(𝑥
0
)
DERIVATA SECONDA
Se 𝑓 è derivabile e se anche 𝑓′ è derivabile → 𝑓′′ è la derivata seconda di 𝑓
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Si prenda una 𝑓 derivabile due volte con 𝑓( 0 ) = 0 e 𝑓
′
Si vuole trovare la migliore circonferenza tangente al punto 𝑥 = 0 che approssima meglio la
curva, cioè si vuole scegliere il migliore 𝑹 > 𝟎 (raggio) in modo da determinare la migliore
circonferenza approssimante al grafico di 𝒇
Si scrive l’equazione della circonferenza di raggio 𝑅 e centro ( 0 , 𝑅):
2
2
2
Si scrive l’equazione della semicirconferenza inferiore (si sceglie il segno - ):
2
2
2
2
2
2
2
Si scrivono le condizioni da imporre per avere la migliore approssimazione:
- Poiché la semicirconferenza deve essere tangente in 𝑥 = 0 (dove 𝑓
- Anche per la circonferenza 𝑥 = 0 sarà un punto stazionario:
′
- Le circonferenze meglio approssimanti si distinguono sul modo in cui varia la
tangente, ossia sulla derivata seconda. Per scegliere 𝑅 nel migliore dei modi si
impone l’uguaglianza della derivata seconda:
′′
Segue che:
′
2
2
′′
2
2
2
2
2
′′
UTILITA’ DELLA DERIVATA SECONDA
La derivata seconda è la derivata della derivata prima.
Ricordiamo che la derivata prima mi indica il coefficiente angolare della tangente al grafico
in un punto.
La derivata seconda indica quindi il coefficiente angolare della tangente della tangente al
grafico, cioè mi dice come varia la pendenza della mia tangente.
Appare quindi chiaro intuire come se la derivata seconda è positiva vuol dire che la derivata
prima varierà positivamente e se la derivata prima varia positivamente vuol dire che la
tangente al grafico avrà un’inclinazione che aumenterà dopo ogni punto e quindi la
funzione sarà convessa.
Si esprime questa e analoghe considerazioni nel seguente teorema:
TEOREMA: TEST DI CONVESSITA’
ENUNCIATO
Sia 𝒇: (𝒂, 𝒃) → ℝ una funzione derivabile due volte, ALLORA:
1. 𝒇 è 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒔𝒔𝒂 ⇔ 𝒇
′′
2. 𝒇 è 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒂 ⇔ 𝒇
′′
′′
𝟎 ⇒ 𝒇 è 𝒔𝒕𝒓𝒆𝒕𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒔𝒔𝒂
′′
< 𝟎 ⇒ 𝒇 è 𝒔𝒕𝒓𝒆𝒕𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒂
OSSERVAZIONE-TEOREMA
Sia 𝒇 derivabile due volte. Allora:
′
𝟎
′′
𝟎
𝟎
′
𝟎
′′
𝟎
𝟎
DIMOSTRAZIONE
Poiché per ipotesi 𝑓
′′
0 //𝑓′′ < 0 → 𝑓 è 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑠𝑠𝑎//𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 e cioè:
0
0
0
0
0
0
Ma poiché 𝑓
′
0
𝟎
𝟎
