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Material Retirado das Apostilas dos Profs. Jair Mendes Marques e Anselmo Chaves Neto
1. ÁLGEBRA MATRICIAL
1.1. MATRIZ, VETOR, ESCALAR
Matriz: [ ij] mn
m m mn
n
n a a a a
a a a
a a a A = ×
L
M M M M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
Vetor:
v n
v
v v (^) M^2
1
Escalar: a, b, c, ... 1.2 MATRIZES ESPECIAIS 1.2.1. Matriz Nula: A = [a (^) ij ]m×n tal que aij = 0 para ∀ i,j
Exemplo:
A
1.2.2. Matriz Diagonal: A = [a (^) ij ]n×n tal que aij = 0 para todo i ≠ j.
Exemplo:
A
1.2.3. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal A tal que aij = k (escalar) para todo i = j.
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Exemplo:
A ,
1.2.4. Matriz Identidade: é uma matriz escalar A tal que aij = k = 1. Exemplo:
A ,
1.2.5. Matriz Transposta: da matriz A = [aij ]m×n é a matriz A' = [aji ]n×m. Exemplo: Transposta de A= (^) − 23 45 01 Propriedades da transposta: (a) (A' )'=A (b) (kA)'= kA', k = escalar (c) (A +B)'=A'+B' (d) (AB)' =B'A' 1.2.6. Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada A tal que A'=A.
Exemplo:
A , pois: A'=A.
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1.3.4. Multiplicação entre matrizes: sejam as matrizes: A: m×p e B: p×n, então
C =
= = =
= = =
= = = × × p i, j mj in
p i ,j mj i
p i, j mj i
p i ,j j in
p i, j j i
p i ,j j i
p i, j j in
p i ,j j i
p i, j j i ij mp ij pn a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b A.B [a ] .[b ]
1 1 1 2 1
1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 1 1 1 2 1 1
L
M M L M
L
L
= [c (^) ij ]m×n
Exemplo:
A e B= (^) −^110224
C = AB =
. −^1 1 0224 =
− × + ×− − × + × − × + ×
× + − × − × + − × × + − ×
× + × − × + × × + ×
Propriedades da multiplicação de matrizes: (a) A(B + C) = AB + AC (1ª Lei Distributiva) (b) (A + B)C = AC + BC (2ª Lei Distributiva) (c) A(BC) = (AB)C (Lei associativa) (d) AB ≠ BA (Em geral não vale a Lei Comutativa) (e) AB = 0 não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0. Exemplo:
22 −− 11 21 21 ^ = 00 00 (f) AB = AC não implica necessariamente que B = C. Exemplo:
22 −− 11 21 21 = 22 −− 11 00 00 (g) AI = IA = A
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1.4 MATRIZ INVERSA
Sendo A e B matrizes de ordem n tais que AB = BA = I, então B é a inversa de A ou A é a inversa de B.
- A tem inversa se é não-singular ( det ≠ 0).
- A é quadrada.
- A inversa é única.
- Se A é não-singular ⇒ AB = AC ⇒ B = C
- A inversa pode ser determinada pela fórmula: A −^1 =det^1 Aadj(A), sendo adj(A) a matriz adjunta da matriz A (é a matriz transposta da matriz dos cofatores). A matriz dos cofatores é obtida de A substituindo-se cada elemento de A pelo respectivo cofator. Cada cofator é calculado pela fórmula: cof (aij)= ( − 1 ) i^ +j.det(Aij), sendo Aij a matriz resultante de A ao eliminarmos a linha i e coluna j. 1.5. TRAÇO DE UMA MATRIZ O traço tr de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos diagonais (diagonal principal) da matriz A, ou seja, A = (^) ∑i=jaij. Exemplo
A ⇒ tr(A) = 1 + 2 + 3 = 6.
1.6. MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz quadrada A é ortogonal se AA' = A'A=I, isto é, A' = A−^1. Exemplo:
A
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1.10. AUTOVALORES E AUTOVETORES
Dizemos que uma matriz quadrada A tem um autovalor λ com o correspondente autovetor e ≠ 0 se A. e = λ. e.
Propriedade 1 – Uma matriz quadrada simétrica A: k×k tem k pares de autovalores e autovetores: (λ 1 , e 1 ), (λ 2 , e 2 ), ... , (λk, ek ). Os autovalores podem ser escolhidos de tal forma que e’iei = 1 (normalizados).
Propriedade 2 – Seja A uma matriz quadrada k×k e I a matriz identidade k×k. Então, os escalares λ 1 , λ 2 , ... , λk, satisfazendo a equação A − λI= 0 (equação característica) são os autovalores de A.
Exemplo:
- Determine os autovalores e autovetores normalizados da matriz A = (^) 11 30 .
- Determine os autovalores e autovetores normalizados da matriz simétrica B = (^) 21 32 .
1.11. FORMAS QUADRÁTICAS Uma forma quadrática Q( X ) nas k variáveis X 1 , X 2 , ... , Xk é definida por Q( X ) = (X' AX) , onde X’ = [X 1 , X 2 , ... , Xk] e A é uma matriz quadrada simétrica de ordem k×k. A forma quadrática Q( X ) pode ser escrita como
Q( X ) = (^) i∑ ∑k = 1 jk = 1 a (^) ij XiXj=a 11 X 12 +a 12 X 1 X 2 + L +aikX 1 Xk
- a 21 X 2 X 1 +a 22 X^22 +L+a 2 k X 2 X k .........................................................
- a (^) k 1 XkX 1 +ak 2 XkX 2 +L+akkX^2 k
Exemplo: Desenvolva a forma quadrática com X’ = [X 1 X 2 ] e A = (^) 11 21
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1.12. MATRIZ POSITIVA DEFINIDA
A matriz quadrada A é positiva definida se X’ A X > 0, para qualquer X ≠ 0. Se X’ A X ≥ 0 a matriz A é positiva semi-definida (ou não-negativa). Se X’ A X < 0 a matriz A é negativa definida.
1.13. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL (OU DECOMPOSIÇÃO DE JORDAN)
Qualquer matriz simétrica A: k×k pode ser escrita como A = PΛP'=∑ λi eie'i=λ 1 e 1 e' 1 +λ 2 e 2 e' 2 +L+λkeke' k onde: Λ é uma matriz diagonal com os autovalores da matriz A, ou seja,
λ
λ
λ Λ= (^000) k
2
1 M M O M
P é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores normalizados da matriz A.
[ ]
k k kk
k
k k e e e
e e e
e e e P e e e L
M M O M
L
L
L
1 2
12 22 2
11 21 1 1 2
Exemplo
Mostre que a matriz A = (^) −^32 − 22 é positiva definida. Deve-se mostrar que X’ A X > 0, para qualquer X ≠ 0.
Observação : Usando o Teorema da Decomposição Espectral pode-se mostrar que uma matriz simétrica A: k×k é uma matriz positiva definida se e somente se todos os
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1.15.1. ESPERANÇA DE UM VETOR ALEATÓRIO
Seja X : p×1 um vetor aleatório. A esperança de X é E( X ) =
p
2
1
p
2
1
μ
μ
μ
E(X )
E(X )
E(X)
M M. No
vetor aleatório cada elemento de X é uma variável aleatória com certa distribuição de probabilidade marginal. As médias marginais, 2 μi, e as variâncias, respectivamente. Especificamente, temos que:σ^ i^ , são definidas como^ μi^ = E(Xi) e^ σ^2 i^ =E^ (Xi−μi)^2 , i = 1, 2, ... , p,
=^ +∞−∫∞
xp(x)seX éumaV.A.D.comfunçãodeprobabilidadep(x )
μ xf(x)dx seX éuma V.A.C. com fdp f(x) i i i i i i
i i i i i i i i
=^ +∞−∫∞
(x -μ) p(x)se X éumaV.A.D.comfunçãodeprobabilidadep(x )
σ (x -μ) f(x)dx seX éuma V.A.C. com fdp f(x) i i^2 i i i i i
(^2) i i i^2 i i i i i i
Exemplo
Suponha X = (^) XX 21 , sendo X 1 e X 2 variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade
p(xx^1 -1^0 1 )^ 0,3^ 0,3^ 0, e
x 2 0 1 p(x 2 ) 0,8 0, Determine E( X ).
1.15.2. MATRIZ DE COVARIÂNCIA DE UM VETOR ALEATÓRIO
Dado o vetor aleatório X : p×1, tem-se que a matriz de covariância do vetor é ∑ = V( X ) =
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E[ X – E( X )]^2 = E[ X - μμμμ]^2 = E[( X - μμμμ)( X - μμμμ)’]
= [ ]
1 1 2 2 p p p p
2 2
1 1 X μ X μ X μ X μ
X μ
X μ E (^) M L
p p 1 1 p p 2 2 p p^2
2 2 1 1 2 2 2 2 2 p p
1 1 2 1 1 2 2 1 1 p p
(X μ )(X μ ) (X μ )(X μ ) (X μ )
(X μ )(X μ) (X μ ) (X μ )(X μ )
(X μ ) (X μ)(X μ ) (X μ )(X μ ) E L
M M M M
L
L
p p 1 1 p p 2 2 p p^2
2 2 1 1 2 2 2 2 2 p p
1 1 2 1 1 2 2 1 1 p p
E(X μ )(X μ) E(X μ )(X μ ) E(X μ )
E(X μ )(X μ) E(X μ ) E(X μ )(X μ )
E(X μ ) E(X μ )(X μ ) E(X μ )(X μ )
L
M M M M
L
L
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
1 2 2
21 22 2
(^21121)
p p p
p
p
L
M M M M
L
L
onde σik é a covariância entre as variáveis Xi e Xk e
∑∑
∫ ∫
+∞ −∞
+∞ −∞
deprobabilidadeconjunta p (X,X )
(X μ )(X μ )p (X,X )seX,X sãoV.A.D.comfunção
comfdpconjunta f (X,X )
(X μ )(X μ )f (X,X )dXdX se X,X sãoV.A.C. σ E[(X μ)(X μ )] ik i k
i i k k ik i k i k
ik i k
i i k k ik i k i k i k ik i i k k
e μi e μk (i, k = 1, 2, ... , k) são as médias marginais. Quando i = k, as covariâncias tornam-se as variâncias marginais.
Exemplo:
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1.15.4. VETORCOMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ESPERANÇA E MATRIZ COVARIÂNCIA DE UMA
Para uma variável aleatória unidimensional X 1 , sabemos que:
E(c.X 1 ) = c.E(X 1 ) = c.μ 1 (c = constante) e V(c.X 1 ) = E(c.X 1 – c.μ 1 )^2 = c^2 .V(X 1 ) = c^2 .σ 12 Se X 2 é uma segunda variável aleatória e a e b são constantes: Cov(a.X 1 , b.X 2 ) = E[(a.X 1 - a.μ 1 )(b.X 2 – b.μ 2 )] = ab E[(X 1 - .μ 1 )(X 2 – μ 2 )] = ab.cov(X 1 ,X 2 ) =abσ 12
Para uma combinação linear aX 1 + bX 2 , temos: E(aX 1 + bX 2 ) = aE(X 1 ) + bE(X 2 ) = aμ 1 + bμ 2 e V(aX 1 + bX 2 ) = E[(aX 1 + bX 2 ) – (aμ 1 + bμ 2 )]^2 = E[a(X 1 - μ 1 ) + b(X 2 - μ 2 )]^2 = E[a^2 (X 1 - μ 1 )^2 + b^2 (X 2 - μ 2 )^2 + 2ab(X 1 - μ 1 )(X 2 - μ 2 )] = a^2 E(X 1 - μ 1 )^2 + b^2 E(X 2 - μ 2 )^2 + 2ab cov(X 1 , X 2 ) = a^2 V(X 1 ) + b^2 V(X 2 ) + 2ab cov(X 1 , X 2 ) = a^2 σ 12 + b^2 σ 22 + 2ab σ 12
Em notação matricial: com c’ = [a, b], aX 1 + bX 2 pode ser escrito como
[ a b ] (^) XX^12 = c’X
Analogamente, E(aX 1 + bX 2 ) = aμ 1 + bμ 2 pode ser expresso como
[a b] (^) μμ^12 = c’ μμμμ
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Sendo Σ =σσ 21 σ σ^1222
(^21) a matriz covariância de X , então V(aX 1 + bX 2 ) = V( c’X ) = c’ Σ c
com c’ Σ c = [ ] (^21122221212222) 12 a bσσ^ σ σ ba=a σ + 2 abσ +bσ.
Os resultados anteriores podem ser generalizados para uma combinação linear de p variáveis aleatórias.
A combinação linear c’X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + cpXp tem média: E( c’X ) = c’ μμμμ e variância: V( c’X ) = c’ Σ c , onde: μμμμ = E( X ) e Σ = cov ( X )
Considerando q combinações lineares de p variáveis aleatórias X 1 , X 2 , ... , Xp,
Z 1 = c 11 X 1 + c 12 X 2 + ... + c1pXp Z 2 =c 21 X 2 + c 22 X 2 + ... + c2pXp .................................................. Zq = cq1X 1 + cq2X 2 + ... + cqpXp Ou
Z = =
q q qp p
p
p
q X
X
X
c c c
c c c
c c c
Z
Z
Z
M
L
M M M M
L
L
M
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1 2
1 C X
As combinações lineares Z = C X têm
- média: μμμμ Z = E( Z ) = E(C X ) = Cμμμμ X
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σ
σ
σ
p
V/
2
1 12 M M O M
Resultado importante : Seja o vetor aleatório X com matriz de correlação de ordem p×p, ρ, e matriz desvio padrão V1/2, se ordem p×p, então a matriz de covariância de X é Σ = V1/2ρV1/2. Exemplo:
Seja a matriz de covariância
. Determine a matriz desvio padrão
V1/2. Qual é a matriz de correlação?
1.18. A GEOMETRIA DA AMOSTRA MULTIVARIADA Uma observação multivariada simples é uma coleção de medidas sobre p variáveis diferentes tomadas do mesmo item ou ensaios (prova, experiência). Se n observações foram obtidas, os dados podem ser arranjados em uma matriz X de ordem n×p como
X 1 X 2 ... Xj ... Xp
n n nj np
j p
j p
x x x x
x x x x
x x x x X L L
M M M M M M
L L
L L
1 2
21 22 2 2
11 12 1 1
onde cada linha de X representa uma observação multivariada. Essa matriz X(matriz de dados), representa uma amostra de tamanho n proveniente de uma população p-variada. A amostra então consiste de n medidas, cada uma tendo p componentes.
Obs. 1 Obs. 2 Obs. n
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Exemplo:
Calcule o vetor de médias para os dados da matriz X. Plotar os n=3 pontos dados em um espaço p=2 e localizar o vetor de médias no diagrama resultante.
X
1.18.1. VETOR MÉDIO AMOSTRAL
Da matriz de dados X temos o vetor médio amostral x que estima o vetor médio populacional μμμμ, onde
n(x x x^ ) x
x
x x (^) n x n p
n i i^ = + + +
= ∑= = M^2 12 L
1 1
Exemplo: Seja a amostra de dados construída com as observações relativas a 5 estudantes. As características observadas foram: idade, sexo e nota em uma prova.
Observação X 1 (Idade) X 2 (Nota) X 3 (Sexo) 1 18,45 70 1 2 18,41 65 0 3 18,39 71 0 4 18,70 72 0 5 18,34 94 1 Determine o vetor médio amostral que estima o verdadeiro vetor médio (populacional).
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Muitas vezes é desejável assumir um valor numérico único para expressar a variação^ A matriz covariância amostral contém p variâncias e (1/2)p(p-1) covariâncias. dada por S. Uma escolha para esse valor único é o determinante de S, o qual se reduz à variância amostral quando p=1. Esse determinante é chamado variância amostral generalizada: VAR. AMOSTRAL GENER. = | S |
Exemplo: Considere o capital total (x 1 ) e os rendimentos de seguros (x 2 ) para 25 grandes seguradoras dos EUA. A matriz de covariâncias S, obtida dos dados em 22/5/ (Fortune) é S = (^) 1421314808 1553814213 . Determine a variância generalizada.
Para a matriz de correlação R: VAR. GENER. AMOSTRAL DE VARIÁVEIS PADRONIZADAS = |R| Demonstra-se que: |S| = (s 11 .s 22. ... .spp). |R| Exemplo:
Sendo
S e
R , determine as variâncias
generalizadas.
Outra generalização da variância: Define-se a variância total amostral como a soma dos elementos diagonais da matriz covariância amostral S. Assim,
VAR. TOTAL AMOSTRAL = s 11 + s 22 + ... + SPP Exemplo: Determine a variância total amostral para o último exemplo.
