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LAJES MACIÇAS – CAPÍTULO 11
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos 11 junho 2010
LAJES MACIÇAS
Lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas dimensões muito maiores que a terceira, sendo esta denominada espessura. A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios. Apresenta-se, neste capítulo, o procedimento para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Esses apoios são admitidos indeslocáveis. Nos edifícios usuais, as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto: aproximadamente 50% do total.
11.1 VÃO LIVRE, VÃO TEÓRICO E CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES
No projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres
( 0 ), os vãos teóricos () e a relação entre os vãos teóricos.
Vão livre é a distância livre entre as faces dos apoios. No caso de balanços, é a distância da extremidade livre até a face do apoio (Figura 1).
O vão teórico () é denominado vão equivalente pela NBR 6118:2003, que o
define como a distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário adotar valores maiores do que:
em laje isolada, o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão; em vão extremo de laje contínua, o vão livre acrescido da metade da dimensão do apoio interno e da metade da espessura da laje no meio do vão.
Nas lajes em balanço, o vão teórico é o comprimento da extremidade até o centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao vão livre acrescido da metade da espessura da laje na face do apoio.
Em geral, para facilidade do cálculo, é usual considerar os vãos teóricos até os eixos dos apoios (Figura 1).
Figura 1 – Vão livre e vão teórico
Conhecidos os vãos teóricos considera-se x o menor vão, y o maior e
= y /x (Figura 2). De acordo com o valor de , é usual a seguinte classificação:
2 laje armada em duas direções; 2 laje armada em uma direção.
Figura 2 – Vãos teóricos x (menor vão) e y (maior vão)
x
y l ^ l
Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. É claro que cuidados devem ser tomados na consideração dessas vinculações, devendo-se ainda analisar a diferença entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, quando consideradas engastadas.
Na Tabela 2 são apresentados alguns casos de vinculação, com bordas simplesmente apoiadas e engastadas. Nota-se que o comprimento total das bordas engastadas cresce do caso 1 até o 6, exceto do caso 3 para o 4A. Outros tipos de vínculos, incluindo bordas livres, são indicados nas Tabelas de Lajes.
Tabela 2 - Casos de vinculação das lajes
As tabelas para dimensionamento das lajes, em geral, consideram as bordas livres, apoiadas ou engastadas, com o mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão dessas bordas. Na prática, outras situações podem acontecer, devendo-se utilizar um critério, específico para cada caso, para o cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio.
Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, como mostrado na Figura 3. Um critério aproximado, possível para este caso, é indicado na Tabela 3.
Figura 3 - Caso específico de vinculação
Tabela 3 – Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada
y y 3
Considera-se a borda totalmente apoiada
y y
y 3
(^) borda totalmente apoiada e borda totalmente engastadaCalculam-se os esforços para as duas situações e adotam-se os maiores valores no dimensionamento
y 2 y 3 Considera-se a borda totalmente engastada
Se a laje do exemplo anterior fosse armada em uma direção, poderiam ser consideradas duas partes, uma relativa à borda engastada e a outra, à borda simplesmente apoiada. Portanto, seriam admitidas diferentes condições de vinculação para cada uma das partes, resultando armaduras também diferentes, para cada uma delas.
No caso de lajes adjacentes, como indicado anteriormente, vários aspectos devem ser analisados para se adotar o tipo de apoio, nos vínculos entre essas lajes.
Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas. Tais considerações são indicadas na Figura 4.
11.3.2 Cobrimentos mínimos
São especificados também os valores mínimos de cobrimento para armaduras das lajes, de acordo com a agressividade do meio em que se encontram. Esses valores são dados na Tabela 4, extraída da NBR 6118:2003.
O valor de c que aparece nesta tabela é um acréscimo no valor do cobrimento mínimo das armaduras, sendo considerado como uma tolerância de execução. O cobrimento nominal é dado pelo cobrimento mínimo acrescido do valor da tolerância de execução c , que deve ser maior ou igual a 10 mm.
Tabela 4 – Cobrimento nominal para c 10mm
Tipo e Componente de Estrutura
Classe de agressividade ambiental (Tabela 1 da Norma) I II III IV** Cobrimento nominal (mm) Laje* de Concreto Armado 20 25 35 45
- Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete de madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 (NBR 6118:2003) respeitando um cobrimento nominal 15 mm. ** Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm.
11.3.3 Pré-dimensionamento da altura útil e da espessura
A NBR 6118 (2001) não especifica critérios de pré-dimensionamento. Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil d (em cm) pode ser estimada por meio da expressão:
d = (2,5 – 0,1 n) */
n é o número de bordas engastadas;
* é o menor valor entre x e 0,7y.
Para lajes em balanço, pode ser usado o critério da NBR 6118 (1978):
d x (^) l
Os coeficientes 2 e 3 dependem da vinculação e do tipo de aço,
respectivamente. Podem ser encontrados nas Tabelas de Lajes.
Esta segunda expressão também pode ser utilizada para lajes que não estejam em balanço. Porém, para lajes usuais de edifícios, costumam resultar espessuras exageradas. A primeira expressão é mais adequada nesses casos.
11.4 ESFORÇOS
Nesta etapa consideram-se: ações, reações de apoio e momentos fletores.
11.4.1 Ações
As ações devem estar de acordo com as normas NBR 6120 e NBR 6118.
Nas lajes geralmente atuam, além do seu peso próprio, pesos de revestimentos de piso e de forro, peso de paredes divisórias e cargas de uso.
Na avaliação do peso próprio, conforme item 8.2.2 da NBR 6118:2003,
admite-se o peso específico de 25 kN/m3 para o concreto armado.
As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje dependem dos materiais utilizados. Esses valores se encontram na Tabela 8, no final deste capítulo.
As cargas de paredes apoiadas diretamente na laje podem, em geral, ser admitidas uniformemente distribuídas na laje.
Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, pode ser admitida, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m 2.
p carga total uniformemente distribuída (^) x , (^) y menor e maior vão teórico da laje, respectivamente v (^) x , v 'x reações de apoio na direção do vão (^) x v (^) y , v ' (^) y reações de apoio na direção do vão (^) y Ax , A’x etc. áreas correspondentes aos apoios considerados
, sinal referente às bordas engastadas
Figura 5 - Exemplos de aplicação do processo das áreas
Convém destacar que as reações de apoio v (^) x ou v’x distribuem-se em uma
borda de comprimento y e vice-versa.
As reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo. Na verdade, as reações têm uma distribuição não uniforme, em geral com valores máximos na parte central das bordas, diminuindo nas extremidades. Porém, a deslocabilidade das vigas de apoio pode modificar a distribuição dessas reações.
b) Cálculo por meio de tabelas O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso das Tabelas de Lajes. Tais tabelas, baseadas no Processo das Áreas, fornecem coeficientes adimensionais ( x , ' (^) x , y , ' (^) y ), a partir das condições de apoio e da relação
= y /x com os quais se calculam as reações, dadas por:
v' ' p 10 v p
v' ' p 10 v p
y y x y y x
x x x x x x l l
l l
O fator de multiplicação depende de x e é o mesmo para todos os casos.
Para as lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas
a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição = y /x > 2.
Nas Tabelas de Lajes, foram feitas correções dos valores obtidos pelo Processo das Áreas, prevendo-se a possibilidade dos momentos nos apoios atuarem com intensidades menores que as previstas.
Quando isto ocorre, o alívio na borda apoiada, decorrente do momento na borda oposta, não acontece com o valor integral.
Para não correr o risco de considerar reações de apoio menores do que aquelas que efetivamente possam acontecer, os alívios foram consideradas pela metade.
11.4.3 Momentos fletores
As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes. O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico, que será aqui utilizado, e o plástico, que poderá ser apresentado em fase posterior.
a) Cálculo elástico O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo, elástico e linear.
A partir das equações de equilíbrio, das leis constitutivas do material (Lei de Hooke) e das relações entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as operações matemáticas necessárias, obtém-se a equação fundamental que rege o problema de placas equação de Lagrange:
m (^) x (^) x px
2 100 m^
p ' (^) x 'x x ^2 100
m (^) y (^) y px
2 100 m^
p ' (^) y 'y x ^2 100
m (^) x , m' (^) x momentos fletores na direção do vão (^) x m (^) y , m' (^) y momentos fletores na direção do vão (^) y
Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição
= y /x.
11.4.4 Compatibilização de momentos fletores
Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são conhecidos como momentos positivos e negativos, respectivamente.
No cálculo desses momentos fletores, consideram-se os apoios internos de lajes contínuas como perfeitamente engastados. Na realidade, isto pode não ocorrer.
Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois valores diferentes para o momento negativo. Esta situação está ilustrada na Figura 6. Daí a necessidade de promover a compatibilização desses momentos.
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza.
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo, como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura 6, ignora-se a redução (a favor da segurança).
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios, como no caso da laje L2 da Figura 6.
Pode acontecer da compatibilização acarretar diminuição do momento positivo, de um lado, e acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e considera-se somente o acréscimo, como no caso da laje L3 da Figura 6.
Figura 6 – Compatibilização de momentos fletores
Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro, por exemplo m’ 12 < 0,5m’ 21 , um critério melhor consiste em considerar L1 engastada e armar o apoio para o momento m’ 12 , admitindo, no cálculo da L2, que ela esteja simplesmente apoiada nessa borda.
m’ (^12)
m’ (^21)
L (^1)
m 1
L (^2)
m’ (^23)
L 3 L (^4)
m 2
m 3 m 4
m’ 32 m’^34 m’ (^43)
L (^1)
m 1
L (^2) L 3 L (^4)
m 4
0,8 m’ (^21) m’* 12 (m’ 21 + m’ 12 ) 2
0,8 m’ (^23) m’* 23 (m’ 23 + m’ 32 ) (^2) 0,8 m’ (^34) m’* 34 (m’ 34 + m’ 43 ) 2
m* 2 = (m’ 21 - m’* 12 ) + (m’ 23 - m’* 23 ) 2 2
m* 3 = m 3 + (m’ 34 - m’* 34 ) 2
Tabela 5 – Valores mínimos para as armaduras
Armaduras negativas s min Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções s^ ^0 ,^67 min Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção s^ min
Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção
Tabela 6 – Valores de min f ck (^20 25 30 35 40 45 ) min min (%) 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0, Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, c 1,4 e (^) s1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de min dado.
Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118, algumas das quais são mencionadas a seguir:
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve corresponder à porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da porcentagem da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.
11.6 VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS
Na verificação da flecha de uma laje, considera-se: a existência de fissuras; o momento de inércia; as flechas imediata, diferida e total; e os valores limites.
11.6.1 Existência de fissuras
Durante a vida útil de uma estrutura, e mesmo durante sua construção, se atuar um carregamento que provoque um determinado estágio de fissuração, a rigidez correspondente a esse estágio ocorrerá para sempre.
Com a diminuição da intensidade do carregamento, as fissuras podem até fechar, mas nunca deixarão de existir.
a) Carregamento a considerar
Neste texto, a condição de fissuração será verificada para combinação rara.
Em lajes de edifícios em que a única ação variável é a carga de uso, o valor da combinação rara coincide com o valor total da carga característica.
Portanto, o momento fletor ma na seção crítica resulta:
ma md,raramr
Se fosse conhecido um carregamento de construção cujo momento fletor superasse mk , deveria ser adotado o valor de ma relativo a esse carregamento de construção.
b) Momento de fissuração
A peça será admitida fissurada se o momento m a ultrapassar o momento de
fissuração, dado por (item 17.3 da NBR 6118:2003):
Para se determinar I 2 , é necessário conhecer a posição da linha neutra, no estádio II, para a seção retangular com largura b = 100 cm, altura total h, altura útil d e armadura as (em cm^2 /m).
Considerando que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada, x 2 é obtido por meio da equação:
c e s
e s
2
E
E
bx 2 a d x 0
Conhecido x 2 obtém-se I 2 , dado por:
e s^ ^ ^2
3 2 3 a d x I bx
11.6.3 Flecha Imediata
A flecha imediata ai pode ser obtida por meio da tabela 2.2a (Tabelas de
Lajes), com a expressão adaptada:
E E 0,85. 5600 f (emMPa)é omódulo deelasticidade secantedo concreto).
éomenor vão;
( 0,3para edifíciosresidenciais);
p g qé ovalor da cargapara combinação quasepermanente
b 100 cm;
éocoeficienteadimensionaltabelado,funçãodotipodevinculaçãoedeλ ;
EI
p 12
b 100
c cs ck
x
2
2
x
y
cc
x^4
l
l
l
a (^) i l
Se ma mr, deve-se usar Ieq no lugar de Ic.
11.6.4 Flecha diferida
Segundo o item 17.3.1.1.2 da NBR 6118:2003, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração, em função da fluência, pode ser calculada
de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado por:
f (^1 50) '
b d ' A's
A’s é a armadura de compressão, no caso de armadura dupla;
(t )(t 0 )
é um coeficiente em função do tempo, calculado pela expressão seguinte
ou obtido diretamente na Tabela 7.
( t ) 0 , 68 ( 0 , 996 t^ )t^0 ,^32 para t 70 meses
( t ) 2 para t > 70 meses t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t 0 é a idade, em meses, relativa à aplicação da carga de longa duração.
Portanto, a flecha diferida af é dada por: a (^) f f.ai
Tabela 7 – Valores de e função do tempo (Tabela 21 da NBR 6118:2003) Tempo (t) meses 0 0,5^1 2 3 4 5 10 20 40 ^70 Coeficiente (t) 0 0,54^ 0,68^ 0,84^ 0,95^ 1,04^ 1,12^ 1,36^ 1,64^ 1,89^2
