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PARTE 2 INTERACCIONES Y CAMPOS A. Gravitación 408 Una vez de haber comprendido las reglas generales que gobiernan el movimiento, la próxima etapa es investigar las interacciones responsables de tales movimien- tos. Una de ellas es la interacción gravitatoria, que se manifiesta en el movimiento planetario y en el movimiento de la materia en conjunto, La gravitación, a pesar del hecho de que es la más débil de todas las interacciones conocidas, es la pri- mera interacción cuidadosamente estudiada, debido al natural interés del hombre en la astronomia y a que la gravitación es responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestras vidas. Otra interacciôn es la interacción electro- magnética, que es la mejur comprendida y quizás la de mayor importancia desde el punto de vista de la vida cotidiana. La mayoria de los fenómenos que obser- vamos alrededor nuestro, incluyendo los procesos químicos y biclógicos, son el resultado de interacciones elecltromagnéticas entre átomos y moléculas. Una tercera clase la constituyen la intferacción nuclear o fuerte, la cual es responsable de la unión de los protones y neutrones (conocidos como nucleones) dentro del núcleo atómico, y otros fenômenos conexos. A pesar de la intensa investigación nuestro conocimiento de esta interacción es aún incompleto. Una cuarta clase es la interacción débil, responsable de ciertos procesos entre las partículas funda- mentales, tales como la desintegración beta. Nuestra comprensión de esta inter- acción es aún muy pobre. Las intensidades relativas de estas interacciones son: Íuerte considerada como unidad; electromagnética — 10-2; débil — 10-5; gravi- tatoria — 10-38, Uno de los problemas no resueltos todavia en la física es el porqué de tan sólo cuatro interacciones, y la razón de tan gran diferencia en sus intensidades. Es interesante recordar lo que dijo Newton, hace 200 afios, con respecto a las interacciones: “No tienen las pequeias Partículas de los Cuerpos ciertos Poderes o Fuerzas, por medio de los cuales actúan... entre ellas para producir una gran Parte de los Fenómenos de la Naturaleza? Porque es bien conocido, que los Cuerpos actúan unos sobre otros por las Atracciones de la Gravedad, el Magnetismo y la Elec- tricidad;... y no es improbable que haya más Poderes atractivos que estos... No considero aquí cómo se realizan estas atracciones... Las Atracciones de la Gravedad, ei Magnetismo, y la Electricidad alcanzan distancias muy considera- bles,... y puede haber otras que alcancen sólo distancias tan pequeias que escapen a la observación:.... (Opticks, Libro III, Query 31). Para describir estas interacciones, introducimos el concepto de campo. Por campo entendemos una propiedad física que se extiende sobre una región del espacio y se describe por una función de la posición y el tiempo. Para cada inter- acción suponemos que una partícula produce alrededor de ella el campo corres- pondiente. Este campo a su vez actúa sobre una segunda partícula para producir la interacción requerida. La segunda partícula produce su propio campo, el cual aclúa sobre la primera partícula, dando lugar a una interacción mutua. Aunque las interacciones pueden describirse por medio de campos, todos los campos no corresponden necesariamente a interacciones, un hecho implícito en la definición de campo. Por ejemplo, un meteorólogo puede expresar la presión atmosférica y la temperatura como una función de la latitud y la longitud de la superficie y la altura sobre la tierra. Tenemos entonces dos campos escalares: 13 INTERACCION GRAVITACIONAL , 13.1 Introducción 132 La ley de gravitación 13.3 La masa inercial y gravitacional 13.4 La energia potencial gravitacional 18.5 El movimiento general bajo la interacción gravitacional 13.6 El campo gravitacional 13.7 El campo gravitacional debido a un cuerpo esférico 138 El principio de equivalencia 13.9 La gravitacióny las fuerzas intermoleculares 13.1) Introducción eu 13.1 Introducción Uno de los problemas fundamentales que ha intrigado al hombre desde los albores de la civilización ha sido el movimiento de los cuerpos celestes o, como decimos hoy día, el movimiento planetario. Quizá uno de los procesos más interesantes en la historia de la ciencia ha sido la evolución de nuestra comprensión del mo- vimiento planetario. Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del universo, supu- sieron que la tierra era el centro geométrico del universo y que los cuerpos celestes se movian alrededor de la tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la tierra: la luna, Mercurio, Venus, el sol, Marte, Júpiter y Saturno. La primera hipótesis relacionada con el movimiento planetario consistió en suponer que los planetas describian circulos concéntricos, teniendo a la tierra en su centro. Esta suposición, sin embargo, no explicaba el movimiento obser- vado de estos cuerpos con respecto a la tierra, y la geometria del movimiento planetario se hizo más y más compleja. En el siglo segundo de la era cristiana, el astrónomo Ptolomeo de Alejandría desarrolló la teoría de las epicicloides para explicar este movimiento. En forma sencilla se suponía que el planeta describia, con movimiento uniforme, un círculo denominado un epiciclo, cuyo centro a su vez, se desplazaba en un circulo mayor, concéntrico con la tierra y Ilamado defe- rente, La trayectoria resultante del planeta es asi una epicicloide (Fig. 13-1). En algunos casos era necesario una disposición más complicada para describir los movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referencia situado en la tierra, Esta descripción fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo dieciséis, el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), que buscaba una soluciôn más simple, propuso describir el movimiento de todos los planetas, incluyendo la tierra, con respecto al sol, el cual estaria en el centro. La idea no era nueva; había sido propuesta por primera vez por el estrónomo griego Aristarco alrededor del siglo tercero antes de Cristo. De acuerdo a Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas con respecto al sol era el siguiente: Mercurio, Venus, La Planeta ————— N == O - Epicicloide — — Epicicdo = a Deferente a erra Fig. 13-1, Modelo epicicloidal del movimiento planetario referido a la tierra. 13,2) La ley de gravitación 413 (que se discutirá más adelante en este capítulo), formulada por Newton en 1666, sólo fue publicada en 1687, cuando apareció como un capítulo en su monumental trabajo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Los datos más importantes del sistema solar han sido recolectados en la tabla 13-1, 13.2 La ley de gravitación Después de su proposición de las leyes del movimiento (capítulo 7), la segunda contribución de Newton, y quizás la más grande àl desarrollo de la mecânica fue el descubrimiento de la ley de interacción gravitacional; esto es, la interacción entre dos cuerpos, ya sean planetas o partículas pequefias, que produce un mo- vimiento que puede ser descrito por las leyes de Kepler. Fig. 18-2, Interacción gravitacional (= F7 entre dos masas. E! mn En primer lugar, de acuerdo a la sección 7.14, la ley de las áreas (o segunda ley de Kepler), indica que ta fuerza asociada con la interacción gravitacional es central, Esto es, la fuerza actúa a lo largo de la linea que une los dos cuerpos interactuantes (Fig. 13-2), en este caso un planeta y el Sol. Segundo, si suponemos que la interacción gravitatoria es una propiedad universal de toda materia, la fuerza F asociada con la interacción debe ser proporcional a la “cantidad” de materia de cada cuerpo; esto es, a sus masas respectivas m y m”. Luego podemos escribir F = mm'f(r. CO it. €< [rira de torsión Espejo Lámpara Escala Fig. 18-8. Balanza de torsión de Cavendish. Cuando las masas m” se colocan cerca a las masas m, su atracción gravitatoria produce un torque en la barra hori- zontal que da lugar a la torsión de la fibra OC. El equilibrio se establece cuando los torques gravitatorio y torsional se igualan. El torque torsional es proporcional al ângulo 0, que se mide por la deflexión de un rayo reflejado en un espejo situado en la fibra. Repitiendo el experimento a varias distancias r, y usando diferentes masas m y m”, podemos verificar la ley (13.1). 414 Interacción gravitacional (13,2 Determinar la dependencia entre la fuerza F y la distancia r, es un problema más difícil. Podemos determinar esta dependencia experimentalmente midiendo la fuerza entre las masas m y m' para varias separaciones y deduciendo de nuestras observaciones la relación entre F y r. Este procedimiento que ha sido realizado, requiere un equipo experimental muy sensible debido a que la interacción es extremadamente débil y la fuerza gravitacional es muy pequeiia a menos que las masas sean muy grandes (tales como la de dos planetas), o la distancia r sea muy pequeãa. Pero en este segundo caso, como veremos más tarde, otras inter- acciones más fuertes que la gravitacional entran en juego e impiden observar los efectos gravitatorios. El resultado de estos experimentos nos permite llegar a la conelusión que la interacción gravitacional es atraetipa y varia inversamente con el euadrado de la distancia entre los dos cuerpos; esto es f(r) « 1/r2. Por consiguiente la expresión de la fuerza de gravitación es mm F= o (13.1) donde la constante de proporcionalidad y depende de las unidades utilizadas para las otras cantidades. Por ello y debe determinarse experimentalmente mi- diendo la fuerza F entre dos masas conocidas m y m' a una distancia conocida r. El valor de y en unidades MKSC es y = 6,67 x 10-UN m! kg? (6 m' kgs. Podemos entonces estahlecer la tey universal de gravitación de Newton diciendo que ta interacción gravitacional entre dos cuerpos puede expresarse por una fuerza de atracción central proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Al discutir la ec. (13.1) hemos sugerido que la interacción gravitacional entre dos masas puede derivarse de los experimentos, pero ello no implica que la inter- acción gravitatoria sea la fuerza responsable del movimiento planetario de acuerdo a las leyes de Kepler. En efecto, Newton no procedió en la manera en que nosotros lo hemos hecho, sino en sentido inverso. Usando las leyes de Kepler, derivó la ec. (13.1) para la fuerza entre dos planetas y luego generalizó este resultado para aplicarlo a dos masas cualesquiera. Presentaremos ahora una discusión simplificada del método de Newton, posponiendo un análisis más general hasta la sección 13,5, La primera ley de Kepler establece que la órbita de un planeta es una elipse. Un caso particular de una elipse es un círculo, en el cual los dos focos coinciden con el centro. En este caso, de acuerdo a la segunda ley, la fuerza F se dirige hacia el centro del circulo. Por ello, usando la ec. (7.28) para la fuerza centripeta en el movimiento circular y refiriendo el movimiento de m a un sistema de refe- rencia situado en m' (Fig. 13-4), podemos expresar la fuerza como ma F= . r 416 Interacción gravitacional : (13,3 de la tierra. Notar que la masa del cuerpo no aparece en esta expresión, y por ello (si despreciamos la resistencia del aire) todos los cuerpos caen con la misma ace- leración, de acuerdo con nuestras observaciones, Despejando la masa M de la tierra, obtenemos M = gR'A. Introduciendo los valores numéricos apropiados q = 9,8 ms-?, R = 6,37 x 10!m, yYy=6067x 10! mkg-]s-?, obtenemos M = 5,98 x 10% kg. El estudiante debe notar que en este ejemplo hemos usado la distancia de la masa m al centro de la tierra. En otras palabras, hemos supuesto implicitamente que la fuerza sobre m es la misma como si toda la masa de la tierra estuviera concentrada en su centro, una suposición que se justificará en la sección 13.7. EJEMPLO 13.2. Calcular la masa de un planeta que tiene un satélite. Solución: Supongamos que un satélite de masa m describe, con un período P, una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M. La luerza de atracción entre el planeta y el satélite es F = ymMyr, Esta fuerza debe ser igual a m veces la aceleración centrípeta v%/r = 4rºr/P?, Por consiguiente drêimr ymM pº , Cancelando el factor común m y despejando M, obtenemos M= 4mr/yPº, Sugerimos que el estudiante utilice esta expresión para reevaluar la masa de la tierra, usando los datos de la luna (r = 3,84 x 10!m y P = 2,36 x 10º 5). La concordancia con el resultado del ejemplo 13.1 es una prueba de la consistencia de la teoria. Esta fórmula puede también ser utilizada para obtener la masa del sol, usando los datos de los diferentes planetas. 13.3 La masa inercial y gravitacional En el capítulo 7 introdujimos el concepto de masa en relación con las leyes del movimiento. Por dicha razón la denominamos masa inercial. También hemos supuesto que las leyes del movimiento son de validez universal y son por lo tanto las mismas para toda clase de materia, ya sean electrones, protones, neutrones, o grupos de estas partículas. Por otro lado, en este capítulo hemos estado discu- tiendo una interacción particular Hamada gravitación. Para caracterizar su inten- sidad, debemos dar a cada porción de materia una carga gravitacional o masa gravitacional mg. Debiamos haber escrito entonces la ec. (13.1) en la forma E = ymmglr. Sin embargo, si suponemos que la gravitación es una propiedad universal de toda clase de materia, podemos considerar que la masa gravitatoria es propor- 13.3) La masa inercial y gravitacional 417 cional a la masa inercial, y por consiguiente la relación masa gravitacional, mg masa inercial, m K = debe ser la misma para todos los cuerpos. Escogiendo apropiadamente las uni- dades de m,, podemos hacer que esta relación valga uno y entonces usar el mismo número tanto para la masa gravitatoria como para la masa inercial, Esto se ha hecho implicitamente en la selección del valor de la constante r, La constancia de K, que es equivalente a la constancia de y, ha sido verificada experimental- mente para toda clase de cuerpos con gran cuidado, y puede considerarse como una hipótesis correcta. El hecho bien demostrado de que todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre caen con la misma aceleración es una indicación del hecho de que la masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo, ya que, bajo dicha suposición, la aceleración de la gravedad es q = YM/R?, como se discutió en el ejemplo 13.1, y g es independiente de la masa del cuerpo que cae. Por con- siguiente, en adelante usaremos el término “masa” para referirnos ya sea a la masa inercial o a la gravitatoria, puesto que no se pueden distinguir. De la ec. (13.1) podemos definir la unidad de masa como la masa que, cuando se le coloca a la unidad de distancia de una masa igual, la atrae con una fuerza igual a y unidades. Escogiendo apropiadamente el valor de y podemos definir una unidad de masa. Sin embargo, el escoger arbitrariamente y puede alterar la estructura de las ecuaciones de la mecánica. Otros inconvenientes con este pro- cedimiento de definición de la masa unitaria es que requiere previamente la defi- nición de fuerza. Por ello este procedimiento no es utilizado. En su lugar, como indicamos previamente, seguiremos el método inverso, y, después de haber esco- gido las unidades de masa y fuerza, determinamos experimentalmente el valor de y. Una manera de medir o comparar las masas de dos cuerpos es utilizar un tercer cuerpo como re- ferencia. Consideremos dos masas m y m' situa- das a la misma distancia r de una tercera masa de referencia M (Fig. 13-5). Luego, de acuerdo con la ec. (13.1), las fuerzas sobre m y m”' son yMm P' = +Mm' Po" Ro Fig. 13.5. Método de com- paración de dos masas m y m” if diante su interacción gra- L. F' = media a relación entre estas dos fuerzas es F/ vitacional con una tercera = m/m”. Por consiguiente, si tenemos un método masa M. para comparar fuerzas sin necesidad de medir cada una de ellas, la relación precedente propor- ciona un método para comparar y medir masas, El principio de la balanza permite que usemos este método cuando el cuerpo de referencia es la tierra. La balanza se encuentra en equilibrio cuando las dos fuerzas son iguales, y por consi- guiente las masas son iguales. Hemos justificado así el método indicado en la sección 2.3 para medir la masa mediante una balanza. F= 13.9 La energta potencial gravitacional 419 para expresar la energia cinética de las dos particulas como Ey = Juvia, donde u es su masa reducida y 1, es su velocidad relativa, de modo que la energia total en este sistema es E => y TO 12 En el caso especial en que la masa de la partícula m' es mucho mayor que la masa de m (m' > m), tenemos [recordando la definición de masa reducida, ec. (9.15)] que u =m. En este caso m' coincide prácticamente con el centro de masa del sistema, y podemos reemplazar la velocidad relativa vw, por la velocidad de m con respecto al centro de masa, resultando mm E = jm! — (13.5) Sila particula se mueve en una órbita circular, la fuerza que actúa sobre la masa está dada por la ec. (7.28), Fw = me?jr, y, reemplazando Fw por la fuerza gra- vitatoria de la ec. (13.1), tenemos my ymm' r nr Por consiguiente 1 ymm p= — m 2 r y la ec. (13.5) se reduce a E = — JM (13.6) 2r indicando que la energia total es negativa, Este resultado es más general que lo que nuestra demostración pueda sugerir; todas las órbitas elípticas (o cerradas) tienen una energia total negativa (E < 0) cuando definimos la energia potencial como cero para una separación infinita. Una órbita cerrada significa que la energia cinética no es suficiente en ningún punto de la órbita para levar la partícula al infinito, para lo cual cambiaria su energia cinética en energia potencial y ven- ceria la atracción gravitacional, Esto puede verse porque, a una distancia infinita, el segundo término de la ec. (13.5) vale cero, y debemos tener E = jmv?, una ecuación imposible de satisfacer si E es negativa. Pero si la energia es positiva (E > 0), la particula puede llegar al infinito y tener aún energia cinética, En la ec. (13.5) si suponemos r = co, y designamos la velocidad en el infinito Por vo, la energia cinética en el infinito es mi, =E 6 vo =/2Em (13.7) Este resultado puede interpretarse de la siguiente manera. Supongamos que la partícula m se encuentra a una distancia muy grande de m' y se le arroja hacia ella con velocidad v., denominada velocidad de aproximación, de modo que la 420 Interección gravitacional (13.4 E<0y E>0 E=0 fi o Ek 'm Eus IN 5 Elipse Hipérbola Parábola Fig. 13-7. Relación entre ta energia total y la trayeeloria en el movimiento bajo una fuerza que varia inversamente con el cuadrado de la distancia. energia total se determina por la ec. (13.7). Mientras la partícula m se aproxima a m, su energia potencial disminuye (volviéndose más negativa), y la energia cinética aumenta hasta que alcanza su máximo valor en el punto de mayor pro- ximidad, el cual depende del momento angular de la partícula (recordar la sec- ción 8.11 y la Fig. 8-18). Entonces la partícula comienza a alejarse, pierde energia cinética y eventualmente, a grandes distancias, recupera la velocidad boo. La trayectoria es una curva abierta, Yy puede demostrarse que es una hipérbola (sección 13.5). El caso particular de energia total cero (E = 0) es interesante porque entonces la partícula, de acuerdo a la ec. (13.7), se encuentra en reposo en el infinito (do = 0). La órbita está aún abierta pero en lugar de ser una hipérbola, es aho- ra una parábola. Físicamente correspon- de a la situación en la cual se suelta una partícula m a una distancia de m con una velocidad inicial que hace igua- Flipses les su energia cinética y su energia po- tencial. La Fig. 13-7 muestra los tres casos po- sibles, indicando en cada caso la energia total, la energia potencial, la energia: Fig. 13-8. Trayectorias de una par- tícula lanzada horizontalmente desde una altura À sobre la superficie terrestre ba e con una velocidad vp. cinética, y el tipo de órbita. 422 Interacción gravitacional (34 molécula de gas puede vencer la atracción gravitacional y escapar de la tierra. Pero esto sería una conclusión falsa. La velocidad raíz media cuadrática trem es una velocidad promedio, y ello sig- nifica que hay muchas moléculas que se mueven con velocidades mayores o meno- reS que Drem. ÁÚN Si Vrem €S Menor que ve, un cierto número de moléçulas se mueven con velocidades iguales o mayores que ve, y éstas pueden escapar de la tierra, especialmente si se encuentran en las capas superiores de la atmósfera. De las ci- tras arriba indicadas, vemos que este efecto es más importante para los gases Ji- geros que para los pesados, y ésta es una de las razones por la cual el hidrógeno y el helio son escasos en nuestra atmósfera. Se ha estimado que, debido a este efecto gravitatorio, el hidrógeno escapa de la tierra a un promedio de 1,3 x 102 átomos por segundo, lo cual equivale aproximadamente a 6800 kg por afio. Sin embar- go, esto no representa la pérdida total de hidrógeno de ta superficie terrestre, y la pérdida neta puede ser diferente debido a otros procesos. Para el planeta Mercurio, la velocidad de escape es mucho menor que para la tierra; lo más probable es que haya perdido casi toda su atmósfera. Lo mismo es cierto para la luna. Venus tiene una velocidad de escape casi igual a la de la tierra. Marte tiene una velocidad de escape alrededor de 1/6 la de la tierra, y por ello re- tiene algo de su atmósfera, pero ha perdido proporcionalmente una fracción mayor de su atmósfera. De hecho, la presión atmosférica de Marte es mucho menor que la de la tierra. Para los otros planetas, la velocidad de escape es mayor que la de la tierra, y por ello todavia retienen la mayor parte de sus atmósferas originales. Sin embargo, por otras razones, la composición de las atmósferas de estos planetas son diferentes de la de la tierra. EJEMPLO 18.4. Determinar la velocidad de un cuerpo, que se suelta a una dis- tancia r dei centro de la tierra, al llegar a la superficie terrestre, Solución: La velocidad inicial del cuerpo es cero y su energia total, de acuerdo a la ec. (13.5) es por consiguiente mM E=—, donde m es la masa del cuerpo y M la masa de la tierra, Cuando llega a la super- ficie terrestre, su velocidad es v y su distancia al centro de la tierra es el radio de lá tierra R. Por ello mM E= a AMME, Im! Igualando ambos valores de E, ya que la energia ha permanecido constante (des- preciamos la fricción atmosférica), tenemos ' Despejando v?, obtenemos 1 1 = —— > v am (E ). esse em O, recordando del ejemplo 13.1 quefa = vM/Rºj se obtiene o = 28% (1 — 5). (13.10) 13,5) El movimiento general bajo la interacción gravitacional 423 Esta expresión puede también usarse para encontrar la distancia r alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente con velocidad v desde la superficie terrestre. Si el cuerpo se suelta a gran distancia de modo que 1/r es despreciable compa- rado con 1/R, obtendremos voo = V2Rg = V2YM/R = 1,13 x 10º msn, de acuerdo con el resultado dado en-la ec. (13.8) para la velocidad de escape. Esto no es sorprendente, puesto que este problema es justamente el reverso del problema del ejemplo 13.3. El resultado obtenido da, por ejemplo, la velocidad aproximada con la cual un meteorito choca con la superficie de la tierra. 13.5 El movimiento general bajo la interacción gravitacional Hasta el momento hemos establecido las leyes de Kepler solamente para órbitas elípticas. En la sección 13.2 hemos demostrado que, de acuerdo a estas leyes, el movimiento se produce, por lo menos en el caso de las órbitas circulares, cuando la fuerza es de atracción e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Sin embargo, en la sección 13.4, cuando discutimos la energia, indicamos que estas leyes se cumplen para órbitas hiperbólicas y parabólicas, además de cum- plirse en las elípticas. Verifiquemos ahora esta afirmación. En el capitulo 8 desarroilamos una relación (ec. 8.42) entre las coordenadas polares de una partícula en función de las magnitudes dinámicas del movimiento. Si usamos la ec. (8.37) para la energia potencial efectiva, podemos escribir dicha relación en la forma siguiente (ã )'- mêrt (AE Eu RP b (311) de Ta m nêr donde L es el momentum angular de la partícula. Ahora la ecuación de una sec- ción cônica en coordenadas polares con el origen en un foco (ver la nota al final de esta sección) es - EU 1tecoso, (13.12) Êf donde « es la excentricidad y d la distancia del foco a la directriz. Derivando la expresión con respecto a 8, obtenemos y así (57) DE 5) =—a Sustituyendo en la ec. (13.11) y cancelando rt en ambos lados, podemos escribir Pré [NEEM] 1? Lt m mês |" sen? 6 = 13.5) El movimiento general bajo la interacción gravitacional 425 ) Trayectoria de m hajo una fuerza de atracción Trayectoria de m bajo una fuerza de repulsión Fig. 13-%. Trayectorias hiperbólicas bajo fuerzas de atracción y de repulsión que varían con el inverso del cuadrado de la distancia. cerrada, sino que el eje mayor de la elipse rota muy lentamente alrededor del foco donde está situado el sol, efecto que se denomina avance del perihelio (Fig. 13-10a). El otro efecto es una variación periódica de la excentricidad de la elipse con respecto a su valor promedio, como se indica en la Fig. 13-10(b). Estos cambios ocurren muy lentamente. En el caso de la tierra tienen un periodo del orden de 10º aiios (alrededor de 21” de arco por siglo para el movimiento del perihelio). Aun así, han producido efectos notables, especialmente en los cambios lentos de las condiciones climáticas de la tierra. Estos cambios han sido indicados por los geofísicos que han estudiado las diferentes capas de la corteza terrestre. ta) bj Fig. 13-10, Perturbaciones en el movimiento planetario. (a) Rotación del eje de la elipse. (b) Oscilación en la excen- tricidad de la elipse. Los dos efectos han sido grandemente exagerados. Al discutir el movimiento en un campo gravitacional hemos supuesto que puede usarse la mecánica newtoniana de los capítulos 7 y 8. Sin embargo, un análisis más preciso requiere el uso de la teoria general de la relatividad de Einstein (ver sección 13.8). Uno de ks principales efectos relativísticos es una rotación adi- 426 — Interacción gravitacional (13.5 cional del eje mayor de la órbita de un planeta. Este efecto relativístico es máximo para la órbita de Mercurio, el planeta más cercano al sol y el cual tiene una de las órbitas más excéntricas. El avance observado del perihelio de Mercurio ex- cede, cerca de 42” de arco por siglo, el efecto calculado por medio de la me- cánica Newtoniana que toma en cuenta la perturbación de los otros planetas. La teoria general de la relatividad de Einstein predice precisamente este avance adicional del perihelio. Este efecto relativístico es mucho menor para otros pla- netas, y no se ha observado aún, Nota sobre secciones cónicas: Una familia importante de curvas planas son las secciones cónicas. Una sección cónica se define como una curva generada por un punto que se mueve de modo que la relación entre su distancia à un punto denomi- nado foco, y a una línea, Ilamada directriz, es constante. Hay tres clases de sec- ciones cónicas, Iamadas elipse, parábola, e hipérbola, dependiendo de si esta cons- tante (llamada la excentricidad) es menor que, igual a, o mayor que, uno. Desig- nando la excentricidad por e, el foco por F, y la directriz por HQD (Fig. 13-11), tenemos E = PF/PQ. Ahora PF =r, y si establecemos que FD = d, entonces PQ = FD— FB=d—r cos 6. Luego = = r/(d —r cos 0), O, despejando r, encontramos que E 1 4ecs0. Esta es.la forma de la ecuación de una sección cónica que se ha usado en el texto (ec. 13.12), (En algunos textos, la ecuación de la sección cónica es derivada usando el ángulo r— 6, y por ello la ecuación aparece en la forma edi" = | — e cos 8.) En el caso de una elipse, que es una curva cerrada, el punto A corresponde a 8 = O y el punto 4º a 6 = =, Asf, de acuerdo a la ecuación polar, tenemos h= y n= 1+:e 1—e” Directriz |47 | Luego, como r, + 7, = 2a, el semieje mayor está dado por d a=Hnt= sã El semieje menor es b=a/t—e y el área de la elipse es Fig. 18-11. Elementos geométricos de S=mab=m/1—a, la elipse. Un círculo es un caso especial de una elipse cuando e = 0, (Para mayores detalles sobre secciones cónicas, y en particular la elipse, ver G. B. Thomas, Cálculo infinitesimal y gêometria analítica, tercera edición. Madrid: Aguilar, 1964, pág. 473). EJEMPLO 13.5. En el caso del movimiento elíptico, relacionar la energia total Y el momentum angular, con el semieje mayor a y la excentricidad « de la elipse. 
