TRIÂNGULO QUALQUER
TRIÂNGULO QUALQUER TRIÂNGULO QUALQUER
TRIÂNGULO QUALQUER
LEI DOS SENOS E DOS
LEI DOS SENOS E DOS LEI DOS SENOS E DOS
LEI DOS SENOS E DOS
COSSENOS
COSSENOS COSSENOS
COSSENOS -
--
- PROFs.
PROFs. PROFs.
PROFs.
MARCEL E CLAYTON
MARCEL E CLAYTON MARCEL E CLAYTON
MARCEL E CLAYTON
1.
1. 1.
1. (FUVEST)
(FUVEST) (FUVEST)
(FUVEST) No quadri-
látero a seguir, BC = CD =
3 cm, AB = 2 cm, ADC =
60° e ABC = 90°. A
medida, em cm, do
perímetro do quadrilátero
é: a) 11. b) 12. c) 13.
d) 14. e) 15.
2.(FUVEST)
2.(FUVEST) 2.(FUVEST)
2.(FUVEST) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5
e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8.
3.(
3.(3.(
3.(UNICAMP)
UNICAMP) UNICAMP)
UNICAMP) Na figura adiante, åæ = åè = Ø é o
lado do decágono regular inscrito em uma
circunferência de raio 1 e centro O.
a) Calcule o valor de Ø.
b) Mostre que
cos 36° = (1 + Ë5)/4.
4.(FU
4.(FU4.(FU
4.(FUVEST)
VEST) VEST)
VEST) Os raios de duas circunferências
secantes medem 8cm e 12cm e a distância entre
seus centros mede 16cm. A medida da corda
comum, em cm, é igual a:
a) 12 b) 15 c) 5 Ë14 d) 3 Ë15 e) 24
5
55
5.(FUVEST)
.(FUVEST) .(FUVEST)
.(FUVEST) Na figura abaixo, tem-se AC=3, AB=4
e CB=6. O valor de CD é
a) 12
17 b) 12
19 c) 12
23
d) 12
25 e) 12
29
6
66
6.(FUVEST)
.(FUVEST).(FUVEST)
.(FUVEST) As páginas de
um livro medem 1dm de
base e Ë(1 + Ë3) dm de
altura. Se este livro foi
parcialmente aberto, de tal
forma que o ângulo entre
duas páginas seja 60°, a
medida do ângulo ‘,
formado pelas diagonais das páginas, será:
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75°
7.(FUVEST
7.(FUVEST7.(FUVEST
7.(FUVEST) Os comprimentos dos lados de um
triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se
também que o perímetro de ABC vale 15 e que
o ângulo  mede 120°, então o produto dos
comprimentos dos lados é igual a:
a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125
8
88
8.(FUVEST)
.(FUVEST) .(FUVEST)
.(FUVEST) Numa circunferência está inscrito
um triângulo ABC tal que seu lado BC é igual ao
raio da circunferência. O ângulo BÂC mede:
a) 15
o
b) 30
o
c) 36
o
d) 45
o
e) 60
o
9
99
9.(ITA)
.(ITA) .(ITA)
.(ITA) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de raio 2Ë3. Sejam a, b e c os
lados opostos aos ângulos A, B e C,
respectivamente. Sabendo que a=2Ë3 e que
(A,B,C) é uma progressão aritmética, calcule os
valores do lado b e do ângulo Â.
10
1010
10.
..
. Calcule sen‘ no
triângulo ABC a seguir,
onde BÂC=‘, ABC=60
o
,
AB=4 e BC=3.
A C
1
11
11
11
1.
..
.(FATEC)
(FATEC) (FATEC)
(FATEC) Sejam ‘, ’ e –, as medidas dos
ângulos internos de um triângulo. Se
sen‘/sen’ = 3/5, sen‘/sen– = 1 e o perímetro
do triângulo é 44, então a medida do maior lado
desse triângulo é:
a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.
12.(UFSCAR)
12.(UFSCAR) 12.(UFSCAR)
12.(UFSCAR) Na figura,
ADB é reto, BAC = ‘,
CAD = ’, åè = 4 dm e
æè = 1 dm. Sabendo
que cos (‘ + ’) = 4/5, o
valor de sen ‘ é
a) 2/3. b) 3/5.
c) 2/5. d) 1/5. e) 1/6.
----------------------------------
--------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------
------------------------------
GABARITO
GABARITOGABARITO
GABARITO
1.B; 2. E; 3.a) Ø = (Ë5-1)/2; b) Ø£ = 1£ + 1£ -
2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4; 4.D
5.E; 6.B; 7. D; 8. B; 9. b=6; Â=30
o
; 10.
(3Ë39)/26; 11. D; 12.D
TRIÂNGULO QUALQUER
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1.
1. 1.
1. (FUVEST)
(FUVEST) (FUVEST)
(FUVEST) No quadri-
látero a seguir, BC = CD =
3 cm, AB = 2 cm, ADC =
60° e ABC = 90°. A
medida, em cm, do
perímetro do quadrilátero
é: a) 11. b) 12. c) 13.
d) 14. e) 15.
2.(FUVEST)
2.(FUVEST) 2.(FUVEST)
2.(FUVEST) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5
e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6. b) 4/5. c) 3/4. d) 2/3. e) 1/8.
3.(UNICAMP)
3.(UNICAMP) 3.(UNICAMP)
3.(UNICAMP) Na figura adiante, åæ = åè = Ø é o
lado do decágono regular inscrito em uma
circunferência de raio 1 e centro O.
a) Calcule o valor de Ø.
b) Mostre que
cos 36° = (1 + Ë5)/4.
4.(FUVEST)
4.(FUVEST) 4.(FUVEST)
4.(FUVEST) Os raios de duas circunferências
secantes medem 8cm e 12cm e a distância entre
seus centros mede 16cm. A medida da corda
comum, em cm, é igual a:
a) 12 b) 15 c) 5 Ë14 d) 3 Ë15 e) 24
5
55
5.(FUVEST)
.(FUVEST) .(FUVEST)
.(FUVEST) Na figura abaixo, tem-se AC=3, AB=4
e CB=6. O valor de CD é
a) 12
17 b) 12
19 c) 12
23
d) 12
25 e) 12
29
6
66
6.(FUVEST)
.(FUVEST).(FUVEST)
.(FUVEST) As páginas de
um livro medem 1dm de
base e Ë(1 + Ë3) dm de
altura. Se este livro foi
parcialmente aberto, de tal
forma que o ângulo entre
duas páginas seja 60°, a
medida do ângulo ‘,
formado pelas diagonais das páginas, será:
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75°
7.(FUVEST
7.(FUVEST7.(FUVEST
7.(FUVEST) Os comprimentos dos lados de um
triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se
também que o perímetro de ABC vale 15 e que o
ângulo  mede 120°, então o produto dos
comprimentos dos lados é igual a:
a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125
8.(FUVEST)
8.(FUVEST) 8.(FUVEST)
8.(FUVEST) Numa circunferência está inscrito
um triângulo ABC tal que seu lado BC é igual ao
raio da circunferência. O ângulo BÂC mede:
a) 15
o
b) 30
o
c) 36
o
d) 45
o
e) 60
o
9.(ITA)
9.(ITA) 9.(ITA)
9.(ITA) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de raio 2Ë3. Sejam a, b e c os
lados opostos aos ângulos A, B e C,
respectivamente. Sabendo que a=2Ë3 e que
(A,B,C) é uma progressão aritmética, calcule os
valores do lado b e do ângulo Â.
10.
10.10.
10. Calcule sen‘ no
triângulo ABC a seguir,
onde BÂC=‘, ABC=60
o
,
AB=4 e BC=3.
A C
11.(FATEC)
11.(FATEC) 11.(FATEC)
11.(FATEC) Sejam ‘, ’ e –, as medidas dos
ângulos internos de um triângulo. Se sen‘/sen’
= 3/5, sen‘/sen– = 1 e o perímetro do triângulo
é 44, então a medida do maior lado desse
triângulo é:
a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.
12.(UFSCAR)
12.(UFSCAR) 12.(UFSCAR)
12.(UFSCAR) Na figura,
ADB é reto, BAC = ‘,
CAD = ’, åè = 4 dm e
æè = 1 dm. Sabendo que
cos (‘ + ’) = 4/5, o valor
de sen ‘ é
a) 2/3. b) 3/5.
c) 2/5. d) 1/5. e) 1/6.
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GABARITO
GABARITOGABARITO
GABARITO
1.B; 2. E; 3.a) Ø = (Ë5-1)/2; b) Ø£ = 1£ + 1£ -
2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4; 4.D 5.E;
6.B; 7. D; 8. B; 9. b=6; Â=30
o
; 10. (3Ë39)/26;
11. D; 12.D
B
B
