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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA – ´AREA 2
RESOLUC¸ ˜AO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR – C´ALCULO 2
SEGUNDO SEMESTRE DE 2006 – 13 de DEZEMBRO de 2006
PROVA TIPO 2
1 aQuest˜ao: (2 pontos) Determine o valor de L para que a fun¸c˜ao:
f (x, y) =
L se (x, y) = (0, 0) x^2 y − x^2 − y^2 x^2 + y^2 se (x, y) 6 = (0, 0)
seja cont´ınua. Justifique sua resposta.
Resolu¸c˜ao: Para (x, y) 6 = (0, 0) a fun¸c˜ao f (x, y) ´e cont´ınua, pois ´e o quociente de fun¸c˜oes (polinomiais) cont´ınuas, com o denominador n˜ao nulo. Desta forma basta verificar a continuidade na origem:
f (0, 0) = lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = − 1 , asim teremos que ter L = − 1 para a fun¸c˜ao f (x, y) ser cont´ınua.
C´alculo do limite: y = 0 e x → 0 , (^) xlim→ 0 f (x, 0) = lim x→ 0 −x^2 x^2 = − 1 ; x = 0 e y → 0 , (^) ylim→ 0 f (0, y) = lim y→ 0 −y^2 y^2
y = ax e x → 0 , com a 6 = 0 , (^) xlim→ 0 f (x, ax) = lim x→ 0 ax − 1 − a^2 1 + a^2
Usando coordenadas polares: x = r cos θ e y = r sen θ , (^) rlim→ 0 f (r cos θ, r sen θ) = lim r→ 0 (r cos^2 θ sen θ − 1)
−r − 1 ≤ r cos^2 θ sen θ − 1 ≤ r − 1 ; lim r→ 0 −r − 1 = lim r→ 0 r − 1 = − 1
Usando o Teorema do Confronto: lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = lim r→ 0 (r cos^2 θ sen θ − 1) = − 1.
2 a^ Quest˜ao: (2 pontos) Verifique que a fun¸c˜ao u(x, t) =
t
e−^ x t^2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do Calor ∂u ∂t
∂^2 u ∂x^2
Resolu¸c˜ao: ∂u ∂t
t−^ (^32) e−^ x t^2
x^2 t^2
t
e−^ x t^2 = t−^ (^52)
t 2
e−^ x t^2
∂u ∂x
2 x t
t
e−^ x t^2 , ∂^2 u ∂x^2
t
t
2 x^2 t
e−^ x t^2 =
t^2
t
t 2
e−^ x t^2
Mostrando que u(x, y) satisfaz a equa¸c˜ao do calor: ∂u ∂t
∂^2 u ∂x^2
3 a^ Quest˜ao: Para v(x, y) = 2x−y+x^2 −y^2 , x = x(θ) = sec(θ) , y = y(θ) = tan(θ) e V (θ) = v(x(θ), y(θ)):
a) utilize a Regra da Cadeia para calcular a derivada dV dθ
. Simplifique o resultado; (1,5 ponto)
Resolu¸c˜ao: dV dθ
∂v ∂x
dx dθ
∂v ∂y
dy dθ = (2 + 2x) sec θ tan θ + (− 1 − 2 y) sec^2 θ
dV dθ = (2 + 2 sec θ) sec θ tan θ + (− 1 − 2 tan θ) sec^2 θ = 2 sec θ tan θ − sec^2 θ = 2 sen θ − 1 cos^2 θ
b) represente V em fun¸c˜ao da vari´avel θ, em seguida calcule dV dθ
. Simplifique o resultado. (0,5 ponto) Resolu¸c˜ao: V (θ) = 2 sec θ − tan θ + sec^2 θ − tan^2 θ = 2 sec θ − tan θ + 1 dV dθ = 2 sec θ tan θ − sec^2 θ = 2 sen θ − 1 cos^2 θ
4 a^ Quest˜ao: (4 pontos) Considere a fun¸c˜ao z = f (x, y) = 2x^3 + xy^2 + 5.
a) Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de z = f (x, y) no ponto (− 1 , 2 , −1). Resolu¸c˜ao: Equa¸c˜ao do Plano Tangente: z − f (x 0 , y 0 ) = ∂f ∂x
(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f ∂y
(x 0 , y 0 )(y − y 0 ). ∂f ∂x = 6x^2 + y^2 , ∂f ∂y = 2xy ,(x 0 , y 0 ) = (− 1 , 2) , z 0 = f (− 1 , 2) = − 1 , ∂f ∂x
∂f ∂y (− 1 , 2) = − 4. Plano Tangente: z = 10x − 4 y + 17
b) Determine a reta tangente `a curva de n´ıvel f (x, y) = 8 no ponto (1, −1).
Resolu¸c˜ao: ∇f (x, y) ´e normal as curvas de n´ıveis f (x, y) = cte, nosso caso f (x, y) = f (1, −1) = 8
∇f (1, −1) = (7, −2) , equa¸c˜ao da reta tangente: (x − 1 , y + 1) · (7, −2) = 0 ∴ 7x-2y=. Ou equa¸c˜oes param´etricas: x = 1 + 2t , y = −1 + 7t , para t real.
c) Calcule a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x, y) no ponto P 0 (1, −1), na dire¸c˜ao do vetor −→v = (
√ 5 5 ,^
2 √ 5 5 ).
Resolu¸c˜ao: Df ∂−→v (x, y) = ∇f (x, y) · −→v , para ‖−→v ‖ = 1 , que ´e o caso do vetor −→v = (
√ 5 5 ,^ 2 √ 5 5 ).
Df ∂−→v
d) Partindo do ponto P 0 (1, −1), em que dire¸c˜ao a fun¸c˜ao f (x, y) cresce mais rapidamente? E com que taxa ela cresce?
Resolu¸c˜ao: A fun¸c˜ao cresce mais rapidamente na dire¸c˜ao e sentido do gradiente, no nosso caso
∇f (1, −1) = (7, −2), ou seja na dire¸c˜ao do vetor unid´ario −→w = ∇f ‖∇f ‖
√^7
√−^2
e a maior taxa de crescimento ´e: Df ∂−→w (1, −1) = ∇f (1, −1) · ∇f ‖∇f ‖ = ‖∇f (1, −1)‖ =
