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ICEx – Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
3. Polinômios
Definição: Um polinômio ou função polinomial P, na variável x, é toda expressão do tipo:
P(x)=a (^) n x n + an − 1 xn −^1 +... a 2 x^2 + a 1 x + a 0 , onde n∈IN, ai , i = 0 , 1 ,..., n são números reais
chamados coeficientes e as parcelas a (^) i xi , i = 1 ,..., n , termos do polinômio. Cada termo é
denominado monômio.
Exemplos:
P(x)=5x 4 + 3 x^3 − 2 x + 1 ; P ( x )=− 8 x + π; P ( x )= x^5 + 3 x^2 + 2
Contra-exemplos (expressões que não representam polinômios):
( ) 3 2 5 ; ( )^421
1 f x = x − x + f x = x −^ + x +
3.1. Valor numérico de um polinômio
Seja P(x) um polinômio. Considere x=α (α∈IR) um valor fixo atribuído a x.
Calcule P(α)=a n α n + a n − 1 α n −^1 +... a 2 α^2 + a 1 α+ a 0.
P(α) é o valor numérico do polinômio para x=α.
OBS:
- O valor numérico do polinômio P para x=0 é:
P(0)=a (^) n 0 n + a (^) n − 1 0 n −^1 +... a 202 + a 10 + a 0 = a 0. Isto é, P(0) é igual ao termo independente de x.
- O valor numérico do polinômio P para x=1 é:
P(1)= a (^) n 1 n + a (^) n − 1 1 n −^1 +... a 212 + a 11 + a 0 = an + an − 1 +... a 2 + a 1 + a 0.
Assim, P(1)= ∑
=
n
k
ak 0
, isto é, P(1) é igual a soma dos coeficientes do polinômio.
- Quando P(α)=0, dizemos que α é raiz do polinômio P(x).
3.2. Polinômio nulo
É aquele em que todos os seus coeficientes são iguais a zero (P(x)=0).
3.3. Grau de um polinômio
O grau de um polinômio P(x), não nulo, é o maior expoente da variável x, com coeficiente não nulo, que aparece na expressão que define P(x).
ICEx – Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros Exemplo:
P(x)=5x 4 − x^6 gr(P)=
P(x)= 3x 2 − 5 x + 1 gr(P)= P(x)=5 gr(P)=
OBS: Não se define o grau de polinômio nulo.
3.4. Igualdade de polinômios
Dois polinômios P(x) e Q(x) são iguais, P(x)=Q(x), quando todos os seus coeficientes são ordenadamente iguais.
Sejam P(x)= a (^) n x n + an − 1 xn −^1 +... a 2 x^2 + a 1 x + a 0 e Q(x)= b (^) n x n + bn − 1 xn −^1 +... b 2 x^2 + b 1 x + b 0
P(x)=Q(x) ↔
− −
0 0
1 1
a b
a b
a b n n
n n
Coeficientes de mesmo grau são iguais
3.5. Operações
Sejam P(x) e Q(x) tais que P(x)= a (^) n x n + an − 1 xn −^1 +... a 2 x^2 + a 1 x + a 0 e Q(x)= b (^) n x n + bn − 1 xn −^1 +... b 2 x^2 + b 1 x + b 0 , n ∈IN.
3.5.1. Adição e subtração de polinômios
A adição e subtração de polinômios é feita a partir da adição e subtração dos coeficientes correspondentes a um mesmo grau.
P(x)+Q(x)=( a (^) n + b (^) n ) xn +( an − 1 + bn − 1 ) xn −^1 +...( a 2 + b 2 ) x^2 +( a 1 + b 1 ) x +( a 0 + b 0 )
P(x)-Q(x)=( a (^) n − b (^) n ) xn +( an − 1 − bn − 1 ) xn −^1 +...( a 2 − b 2 ) x^2 +( a 1 − b 1 ) x +( a 0 − b 0 )
Exemplo:
P(x)= 3x 3 − 2 x^2 + 2 e Q(x)=3x 4 − 7 x^3 + x + 1
P(x)+Q(x)= (0+3)x 4 +( 3 − 7 ) x^3 +(− 2 + 0 ) x^2 +( 0 + 1 ) x +( 2 + 1 )= 3 x^4 − 4 x^3 − 2 x^2 + x + 3
P(x)-Q(x) = (0-3)x 4 + ( 3 −(− 7 )) x^3 +(− 2 − 0 ) x^2 +( 0 − 1 ) x +( 2 − 1 )=− 3 x^4 + 10 x^3 − 2 x^2 − x + 1
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- Dispositivo prático de Briott-Ruffini
Este dispositivo é utilizado para dividir um polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da forma x-a. Neste método, trabalha-se apenas com os coeficientes do polinômio e com o valor de a.
Dispositivo: Seja P(x)=a 3 x^3 +a 2 x^2 +a 1 x+a 0 por D(x)=x-a
Exemplo:
OBS: Se o resto da divisão é zero, então o polinômio é divisível pelo binômio divisor.
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Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1ºgrau do tipo x-a é igual ao valor numérico do polinômio P(x) para x=a, ou seja, P(a)=R.
Como o divisor é do 1o^ grau, o resto é nulo ou tem grau zero. De qualquer modo, R é uma constante, isto é, independente de x. Para calcular o valor de R basta substituir na identidade x por a. Note que a é raiz do binômio.
Teorema de D´Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x-a se, e somente se, P(a)=0.
Note que “a” além de ser raiz do binômio x-a é também raiz do polinômio P(x).
OBS: Conhecida uma raiz r do polinômio P(x), podemos obter as demais raízes de P(x) da seguinte maneira:
- Dividimos P(x) por x-r, usando o algoritmo de Briott-Ruffini. As raízes do quociente Q(x) dessa divisão são as demais raízes de P(x).
Divisão por (x-a)(x-b)
Se um polinômio P(x) é divisível separadamente pelos binômios (x-a) e (x-b), com a≠b, então P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b). (A recíproca é verdadeira)
Generalizando, se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a 1 ), (x-a 2 ), ..., (x-an) então P(x) é
divisível pelo produto (x-a 1 ).(x-a 2 )... (x-an).
Exercício proposto:
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As raízes das equações do terceiro e quarto graus podem ser obtidas através de fórmulas gerais que são extremamente trabalhosas.
OBS: As equações de grau superior a 4 não apresentam fórmulas resolutivas. Desta forma, apresentam-se teoremas válidos para quaisquer equações algébricas que possibilitam a resolução ou, ao menos, informações úteis na obtenção das raízes de uma equação.
Teorema Fundamental da Álgebra
O teorema da Álgebra sobre equações algébricas de coeficientes reais diz:
Toda equação algébrica de grau n admite no conjunto dos números complexos n raízes complexas.
O teorema garante a existência de n raízes complexas, não diz como obtê-las. O teorema tem validade no conjunto dos números complexos, ou seja, pode ou não ter raiz real.
Teorema da decomposição
Seja P(x)=a (^) n x n + an − 1 xn −^1 +... a 2 x^2 + a 1 x + a 0 um polinômio de grau n>0. Demonstra-se que
P(x) pode ser decomposto, ou seja, fatorado, na forma seguinte:
OBS: Esta forma fatorada mostra que a equação tem no máximo n raízes distintas, e não
exatamente n, pois não sabemos se os números são todos distintos dois a dois.
Multiplicidade de uma raiz
Dizemos que r é uma raiz de multiplicidade m (m≥1), da equação P(x)=0 se, e somente se, a equação puder ser escrita sob a forma, (x-r)m^. Q(x)=
Isto é, r é raiz de multiplicidade m de P(x)=0 quando o polinômio P é divisível por (x-r)m, ou seja, a decomposição de P apresenta exatamente m fatores iguais a (x-r).
Exemplo: A equação x 5 .( x + 7 )^3 admite as raízes x=0 (com multiplicidade 5) e x=-8 (com
multiplicidade 3).
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Pesquisa de raízes
Quando se conhece uma raiz r de uma equação algébrica P(x)=0, divide-se P(x) por x-r, recaindo-se numa de grau menor.
Exemplo: Se x=-3 é uma raiz da equação x 3 + 3 x^2 + 2 x + 6 = 0 ,determine as outras raízes.
Teorema das raízes inteiras
OBS: Este teorema permite descobrir se a equação tem ou não raízes inteiras; basta para tanto, verificar um por um os divisores do termo independente de x, a 0.
Teorema das raízes racionais
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Exercícios propostos:
)
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3.7 Produtos notáveis
Os produtos notáveis são multiplicações entre polinômios, muito conhecidas em virtude de seu uso extenso.
Igualdade Exemplo (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 (x+2) 2 = x^2 + 2 x + 4
(a+b)^2 = a^2 -2ab+b^2 (4x-2) 2 = 16 x^2 − 16 x + 4
a 2 − b 2 = (a+b)(a-b) (^) x 2 − 5 =( x − 5 )( x + 5 )
(x-a)(x-b)=x 2 − ( a + b ) x + ab (x-5)(x-2)=x 2 − 7 x + 10
x 2 − a^2 =( x − a )( x + a ) x 2 − 4 =( x − 2 )( x + 2 )
x 3 − a^3 =( x − a )( x^2 + ax + a^2 ) x 3 − 8 =( x − 2 )( x^2 + 2 x + 4 )
x 4 − a^4 =( x − a )( x^3 + ax^2 + a^2 x + a^3 ) x 4 − 16 =( x − 2 )( x^3 + 2 x^2 + 4 x + 8 )
x 5 − a^5 =( x − a )( x^4 + ax^3 + a^2 x^2 + a^3 x + a^4 ) x 5 − 32 =( x − 2 )( x^4 + 2 x^3 + 4 x^2 + 8 x + 16 )
x n^ − an =( x − a )( xn −^1 + axn −^2 + a^2 xn −^3 +...+ an −^2 x + an −^1 )
3.8. Fatoração
Fatorar um polinômio significa reescrevê-lo como produto de outros polinômios.
Exemplos:
a) x 3 − x =
b) x 4 − 5 x^2 =
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c) x 4 − 1 =
d) x 3 + 8 =
e) x 6 − 27 =
Exercícios:
Simplifique
Fatore o polinômio do 2o^ grau
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- Determine, caso existam, as raízes inteiras da equação:
3.9. Completar quadrados
O processo de completar quadrados tem base nas fórmulas de produtos notáveis (a+b)^2 e (a-b)^2 , fazendo-se uma comparação direta entre os termos. É uma operação muito utilizada em polinômios de grau 2.
Exemplos: Completar quadrados:
a) x^2 +6x
Temos que comparar com (a+b) 2 (a+b) 2 = a^2 + 2ab + b^2 = x^2 + 6x
Comparando, diretamente, temos a=x e que 2ab=6x 2b=6 b=3. Logo b^2 =9. (a+b) 2 = a^2 + 2ab + b^2 (x+3) 2 = x^2 + 6x + 9
Assim: x^2 + 6x = x^2 + 6x + (9-9) = (x^2 + 6x + 9) – 9 = ( x + 3)^2 - 9
b) x^2 – x + 2 = (x^2 – x ) + 2
Inicialmente, vamos desconsiderar a constante. Podemos comparar essa expressão com (a-b) 2 , pois o coeficiente do termo de grau 1 é negativo. Assim: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 x^2 - x
Comparando, diretamente, temos que a=x e que 2ab=x. Daí, 2b=1 b=1/2. Logo, b^2 =1/
(a-b) 2 = a^2 –2ab + b^2
2 = −^ +
x − x x
c) Assim, (x^2 – x) + 2 = (x^2 – x) +2 - 4
2 (^2) +
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Exercício: Completar quadrados
a) x^2 -4x b) –x^2 +8x+ c) x^4 -2x^2 +
Exercício proposto
Completar quadrados:
a) x^2 +2x+ b) x-9x^2 c) x^4 -3x^2 +
