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Pêndulo de Torção
Fernanda Gonçalves, Rafaela Vaz, Ravenna Lessa, Verônica Pereira FIS122 – Departamento de Física Geral Universidade Federal da Bahia e-mail: [email protected]
Resumo. Os experimentos realizados tratam do estudo do comportamento dos pêndulos de torção frente às diversas situações. Mais especificamente observou- se o período de oscilação do pêndulo quanto este sofria alterações, como variação no comprimento do fio, variação no comprimento e massa do corpo suspenso e, variações o momento de inércia do corpo. A partir dos dados coletados e da construção de gráficos pôde-se obter o valor módulo de torção para o fio metálico utilizado, as relações entre o período e o comprimento do corpo, entre o período e o comprimento do fio e entre o período e a distância onde é posto a massa M.
Palavras chave: pêndulo de torção, período, oscilação.
Introdução O pêndulo de torção é um sistema físico no qual um corpo com uma distribuição qualquer de massa é suspenso por um fio, de modo que uma leve torção neste fio desloca o corpo de sua posição de equilíbrio, o qual inicia oscilações harmônicas em torno dessa posição inicial. Isso ocorre porque o fio passa a exercer um torque restaurador τ , que é proporcional ao ângulo de torção α e ao módulo de torção k, que depende das características do fio, na tentativa de retornar ao equilíbrio. Quando comparamos esse sistema com o pêndulo simples, as diferenças são as seguintes: no pêndulo de torção, o fio pode ter uma maior densidade linear, a distribuição de massa do corpo pode ser arbitrária e a força restauradora não é devida à gravidade, e sim da tentativa do sistema de eliminar as deformações sofridas. Os seguintes procedimentos experimentais tratam da análise dos fatores que influenciam na freqüência de oscilações do corpo, quando retirado de sua posição de equilíbrio. O momento de inércia I do corpo em torno de um eixo situado no prolongamento do fio é um desses fatores. Além disso, características do fio, como o material de que é constituído, diâmetro e comprimento, são também determinantes. No caso de barras delgadas uniformes de massa m e comprimento L, temos que: I = mL 2 (a) 12 Já para uma régua de massa m e comprimento L, sustentando dois corpos de metal de massa M a uma distância d, do centro da régua, temos I= mL^2 + 2Md 2 (b) 12 As expressões (a) e (b) referem-se ao momento de inércia para corpos diferentes. O momento de inércia corresponde à resistência que o corpo apresenta em iniciar uma rotação a partir do repouso, ou à dificuldade de modificar um movimento de rotação já existente. Conhecendo as equações (a) e (b), e também a freqüência angular ω que é dada por: ω = (k/I)1/2^ = (2π/T) (c)
podemos encontrar o período T de oscilação para as barras delgadas e para a régua, respectivamente: T 2 = mL 2 (d) 4 π^2 12k
T 2 = mL 2 + 2M d 2 (e) 4 π^2 12k k
Como a freqüência é, por definição, o inverso de período, é possível encontrar essa grandeza utilizando as equações acima.
Procedimento Experimental Para realização do experimento foi montado um pêndulo de torção utilizando-se uma base, duas hastes e duas garras. Inicialmente o experimento consistiu em pendurar uma barra cilíndrica através de um furo central, com o uso de um fio de metal de comprimento C fixo e, a partir de leve torção no fio, mediu-se o período de oscilação do pêndulo. Esse procedimento foi realizado com 6 barras cilíndricas de comprimentos e massas variadas, os quais foram medidos previamente. A segunda parte experimental foi feita com o auxílio de uma barra retangular (régua) com furos de massa m e comprimento L. Pendurou-se esta através de seu furo central com o fio metálico que possuía um comprimento C. Colocaram-se duas massas M em furos localizados simetricamente em relação ao furo central da barra. Mediu-se então o período de oscilação quando o fio sofreu uma leve torção. Repetiu-se o procedimento mais 4 vezes com o fio no mesmo comprimento, porém alterando a posição das massas ao longo da barra. Em seguida, fixamos uma posição para as massas na barra retangular, variamos 5 vezes o comprimento do fio metálico, e medimos o período de oscilação para cada situação.
Resultados e Discussão
De acordo com os dados obtidos na primeira parte do experimento (Anexo II), foi traçado o gráfico de T 2 em função de mL^2 (Fig. 1) e
I= 16,20. 7,1196.10 -3+ 2. 0,2198. 0,02 2
- π 2
I= 2,92.10 -3^ kg.m 2. O momento de inércia I para este d de 0, m é de 3,5.10 -3^ kg.m 2 , como pode ser observado na Tabela 2 no Anexo II.
Cálculo do erro rela�vo:
ΔM= | 0,2 – 0,2198| = 0,099 = 9,9% | 0,2 |
ΔI = | 3,5.10-3^ – 2,92.10 -3|= 0,164 = 16% | 3,5.10 -3|
A par�r do cálculo do desvio rela�vo, podemos perceber que o valor encontrado para a massa M se diferencia em apenas 9,9% do medido na balança. Considerando o erro existente na medição dessa massa, na medição dos comprimentos solicitados e, principalmente, dos erros ob�dos na medição do período de oscilação da régua, o desvio é considerado sa�sfatório. Já para o cálculo do momento de inércia experimental houve além de todos esses possíveis erros, o erro acumulado do uso da massa M encontrada no item anterior, o que fez com que este valor se afastasse ainda mais do esperado, mas precisamente em 16,4 %. A par�r dos dados ob�dos na terceira parte do experimento, foi traçado o gráfico de T 2 / I(4 π 2 ) em função de C em escala log-log (Fig. 3) e feito um ajuste da reta que melhor descreve o comportamento da função, u�lizando o método dos mínimos quadrados, como mostrado a seguir:
Fig. 3: gráfico de T 2 /I(4 π^2 ) versus C.
a’’ = (∑log x)( ∑log y) - n(∑logx.logy) (∑ logx) 2 - n(∑logx^2 )
a’’= -3,8185. 2,1133 - (-1,5682) = 1, (-3,8185)^2 - 5. 2,
b’’ = (∑logxlogy)( ∑logx) - (∑logx 2 )( ∑logy) (∑logx) 2 - n (∑logx 2 )
b’’= -1,5682. (-3,8185) - 2,9605. 2,1133 = 1, (-3,8185)^2 - 5. 2,
log T 2 = log Ca’’^ + log10 b’’ I(4 π 2 )
log T 2 = log Ca’’^ .10 b’’ I(4 π 2 )
T 2 = Ca’’^ .10b’’^ (eq.1), como I = k /ω^2 I(4 π 2 )
T 2 = ω 2. Ca’’^ .10b’’^ , subs�tuindo a’’ e b’’ k (4 π 2 )
T 2 = ω 2. C1,03.101, k (4 π 2 )
De acordo com a equação acima encontrada observamos que a C e k são grandezas inversamente proporcionais. Fazendo k = 7,1196.10 -3^ e substituindo o valor de π, temos que: T^2 = 4,558. ω^2. C1, Considerando o valor de a’’ aproximadamente igual a 1, encontramos que T 2 e C são grandezas diretamente proporcionais. Subs�tuindo a equação (b) na (eq.1) obtemos a expressão para o período de oscilação em função de C e d: T^2 = C 1,03. 10 1,21^ .3 π 2 .(mL^2 + 6Md^2 ) T 2 = 480,2.C 1,03^ .(mL^2 + 6Md^2 )
As três etapas do experimento formam prejudicadas pela falta de uniformidade no movimento oscilatório tanto das barras cilíndricas quanto da régua, fazendo com que elas perdessem uma quan�dade significa�va de energia realizando além do movimento oscilatório previsto também um movimento oscilatório na componente ver�cal. Outros fatores que prejudicaram a exa�dão dos dados foram: a resistência do ar, que fez com que o tempo medido (que depois foi dividido pelo n número de oscilações para a obtenção do período) fosse maior do que o ideal, erro na cronometragem, além do desvio padrão do cronômetro; erro na medição do tamanho do fio, que engloba tanto o desvio padrão da régua, quanto o erro de leitura e a impossibilidade de sobrepor exatamente a régua ao fio; erro na
medição da distância entre os furos; erro de pesagem, entre outros.
Conclusão
A partir dos experimentos realizados com o pêndulo de torção, tornou-se possível obter o valor para o módulo de torção, que depende das características do fio metálico utilizado nas experiências, bem como as equações que expressam a dependência do período de oscilação com a massa do corpo suspenso, com o momento de inércia, com a distância entre o ponto por onde é preso o corpo e o ponto onde se adiciona uma massa, com o comprimento do fio e do corpo. Apesar dos erros experimentais, a análise dos dados obtidos confirma todo o entendimento teórico a respeito dos pêndulos de torção.
Referências
[1] Halliday, D.; Resnick, R.; Walker,J, “Fundamentos de Física, vol 2” , pp. 71-79, LTC editora, 2002.
