Análise de Polinômios: Coeficientes, Raízes e Divisores, Notas de estudo de Matemática

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CURSO DE ´ALGEBRA

VOLUME II

(Vers˜ao Preliminar)

Abramo Hefez

12 de novembro de 2002

• 1 POLIN ˆOMIOS
  • 1.1 S´eries de Potˆencias e Polinˆomios
  • 1.2 Divis˜ao de Polinˆomios
  • 1.3 Polinˆomios com Coeficientes em Corpos
  • 1.4 Polinˆomios sobre C e sobre R
  • 1.5 Polinˆomios em V´arias Indeterminadas
• 2 DERIVAC¸ ˜AO E MULTIPLICIDADE
  • 2.1 Derivada Primeira
  • 2.2 Divis˜ao por X − a
  • 2.3 Derivadas de ordem superior
• 3 POLIN ˆOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU
  • 3.1 Ra´ızes em K de polinˆomios em D[X]
  • 3.2 O Teorema de Gauss
  • 3.3 M´etodo de Kronecker para fatora¸c˜ao em Z[X]
  • 3.4 Crit´erios de divisibilidade em Q[X]
  • 3.5 A Resultante
• 4 AS EQUAC¸ ˜OES DE GRAU ≤
  • 4.1 A Equa¸c˜ao do Segundo Grau
  • 4.2 A Equa¸c˜ao do Terceiro Grau
  • 4.3 A Equa¸c˜ao do Quarto Grau
• 5 O GRUPO SIM´ETRICO
  • 5.1 Rela¸c˜oes Entre Coeficientes e Ra´ızes
  • 5.2 Grupos
    • 5.2.1 A no¸c˜ao de grupo
    • 5.2.2 Subgrupos 4 SUM ARIO´
    • 5.2.3 Grupos C´ıclicos
  • 5.3 Estrutura de Orbitas de uma Permuta¸´ c˜ao - ciclos 5.3.1 Decomposi¸c˜ao de uma permuta¸c˜ao em um produto de
  • 5.4 O Grupo Alternante
  • 5.5 Fun¸c˜oes Sim´etricas
  • 5.6 Conjuga¸c˜ao em Sn
• 6 O M´ETODO DE LAGRANGE
• 7 EXTENS ˜OES DE CORPOS
  • 7.1 A Algebra Linear da Extens˜´ ao de Corpos
  • 7.2 Constru¸c˜oes com R´egua e Compasso

SUM ARIO´ 5

NOTAC¸ ˜OES

Anel = Anel comutativo com unidade

N = { 1 , 2 , 3 ,.. .} = Conjunto dos n´umeros naturais

Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} = Anel dos n´umeros inteiros

Z+^ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .} = Subconjunto dos n´umeros inteiros n˜ao negativos

Q = Corpo dos n´umeros racionais

R = Corpo dos n´umeros reais

C = Corpo dos n´umeros complexos

Y X^ = Conjunto da fun¸c˜oes de X em Y

A∗^ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A

Kern ϕ = n`ucleo do homomorfismo ϕ

Cap´ıtulo 1

POLIN ˆOMIOS

Neste Cap´ıtulo iniciaremos o estudo das propriedades alg´ebricas b´asicas dos polinˆomios com coeficientes num anel comutativo com unidade. Nas disciplinas de C´alculo os polinˆomios s˜ao vistos como fun¸c˜oes particu- lares de vari´avel real e como tal s˜ao estudados. A necessidade de se distinguir os polinˆomios das fun¸c˜oes polinomiais surge pela considera¸c˜ao de polinˆomios com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais freq¨uente por causa de suas in´umeras aplica¸c˜oes pr´aticas. Muito do estudo das propriedades dos polinˆomios em uma indeterminada est´a relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equa¸c˜oes Alg´ebricas `a qual est˜ao associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel, culminando com as contribui¸c˜oes fundamentais de Abel e Galois. As propriedades dos polinˆomios em v´arias indeterminadas foram pesqui- sadas inicialmente por suas conex˜oes com a Geometria Anal´ıtica, evoluindo no que hoje se chama Geometria Alg´ebrica. Atualmente os polinˆomios desempenham papel relevante em muitas par- tes da Matem´atica.

1.1 S´eries de Potˆencias e Polinˆomios

Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade, e seja X uma indeterminada sobre A. Uma s´erie de potˆencias f (X) com coeficientes em A ´e uma soma formal infinita do tipo:

f (X) =

∑^ ∞

i=

aiXi^ = a 0 X^0 + a 1 X^1 + a 2 X^2 + · · ·

8 CAP´ITULO 1. POLIN OMIOSˆ

com ai ∈ A, para todo i ∈ Z+. Os Xi^ s˜ao provisoriamente vistos apenas como s´ımbolos indicadores de posi¸c˜ao.

Duas s´eries de potˆencias f (X) =

i=0 aiX

i (^) e g(X) = ∑∞ i=0 biX

i (^) s˜ao con- sideradas iguais se ai = bi para todo i ∈ Z+. Os elementos ai s˜ao chamados de coeficientes e a parcela aiXi^ de monˆomio de grau i. Convenciona-se omitir o monˆomio aiXi^ quando ai = 0 e costuma-se denotar a 0 X^0 por a 0 e a 1 X^1 por a 1 X.

O conjunto de todas as s´eries de potˆencias com coeficientes em A ´e de- notado por A[[X]] e nele definimos as seguintes opera¸c˜oes:

Adi¸c˜ao: ∑∞

i=

aiXi^ +

∑^ ∞

i=

biXi^ =

∑^ ∞

i=

(ai + bi)Xi.

Multiplica¸c˜ao: ( (^) ∞ ∑

i=

aiXi

i=

biXi

∑^ ∞

i=

( (^) i ∑

j=

aj bi−j

Xi.

Note que com esta defini¸c˜ao de produto, temos que Xi^ · Xj^ = Xi+j^ , para todo i e j, dando assim um sentido de potˆencia ao s´ımbolo Xi.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.1. O conjunto A[[X]] com as opera¸c˜oes acima definidas ´e um anel.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ A associatividade e a comutatividade da adi¸c˜ao s˜ao de verifica¸c˜oes imediatas. O elemento neutro da adi¸c˜ao ´e 0 =

i=0 0 X

i, enquanto que o sim´etrico de f (X) =

i=0 aiX

i (^) ´e −f (X) = ∑∞ i=0(−ai)X

i. A comutatividade da multiplica¸c˜ao ´e imediata e a propriedade distributiva ´e f´acil de ser verificada. A ´unica propriedade que merece verifica¸c˜ao ´e a associatividade da multiplica¸c˜ao. Sejam

f (X) =

∑^ ∞

i=

aiXi, g(X) =

∑^ ∞

i=

biXi^ e h(X) =

∑^ ∞

i=

ciXi.

10 CAP´ITULO 1. POLIN OMIOSˆ

PROPOSIC¸ ˜AO 1.2. A[X] ´e um subanel de A[[X]].

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Basta, de acordo com I-7, Proposi¸c˜ao 1, mostrar que 1 ∈ A[X], o que ´e ´obvio; e que se p(X)q(X) ∈ A[X], ent˜ao p(X) − q(X) ∈ A[X] e p(X) · q(X) ∈ A[X]. De fato, se p(X) =

∑n i=0 aiX

i (^) e q(X) = ∑n i=0 biX

i, ent˜ao

p(X) − q(X) =

max ∑{n,m}

i=

(ai − bi)Xi^ ∈ A[X]

e

p(X) · q(X) =

n∑+m

j=

cj Xj^ ∈ A[X] onde cj =

i+k=j

ai · bk.

Dado um polinˆomio p(X) = a 0 + a 1 X + · · · anXn^ ∈ A[X] − { 0 }, define-se grau de p(X) como sendo o inteiro

gr(p(X)) = max{i ∈ Z+; ai 6 = 0}.

Note que o polinˆomio nulo ´e o ´unico polinˆomio que n˜ao possui grau e que gr(p(X)) > 0 se, e somente se, p(X) ∈ A[X] − A.

O coeficiente do tˆermo de grau igual ao gr(p(X)) ´e chamado de coeficiente l´ıder de p(X). Um polinˆomio cujo coeficiente l´ıder ´e igual a 1 ´e chamado de polinˆomio mˆonico. Um polinˆomio nulo ou de grau zero ser´a chamado de polinˆomio constante. Vejamos agora como a hip´otese sobre A de ser dom´ınio se reflete sobre A[X].

PROPOSIC¸ ˜AO 1.3. Seja A um dom´ınio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − { 0 }, ent˜ao p(X) · q(X) 6 = 0 e gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)).

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Considere os polinˆomios p(X), q(X) ∈ A[X] dados por

p(X) = a 0 + a 1 X + · · · + anXn^ e q(X) = b 0 + b 1 X + · · · + bmXm

onde an 6 = 0 e bm 6 = 0. Ent˜ao,

p(X) · q(X) = a 0 · b 0 + (a 0 · b 1 + a 1 · b 0 )X + · · · + an · bmXn+m.

Como A ´e dom´ınio, segue que an · bm 6 = 0, logo

p(X) · q(X) 6 = 0 e gr(p(X) · q(X)) = n + m = gr(p(X) + q(X)).

1.1. S ERIES DE POT ´ ENCIAS E POLIN ˆ OMIOSˆ 11

COROL ´ARIO 1.1. Se A ´e um dom´ınio, ent˜ao A[X] ´e dom´ınio.

Em particular, se K ´e um corpo ent˜ao K[X] ´e um dom´ınio.

COROL ´ARIO 1.2. Seja A um dom´ınio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − { 0 } s˜ao tais que t(X) divide p(X), ent˜ao gr(t(X)) ≤ gr(p(X)).

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Existe por hip´otese, um polinˆomio n˜ao nulo q(X) em A[X] tal que t(X) · q(X) = p(X). Logo pela Proposi¸c˜ao 3, segue que gr(p(X)) − gr(t(X)) = gr(q(X)) ≥ 0. Da´ı segue a desigualdade desejada.

COROL ´ARIO 1.3. Seja A um dom´ınio. Um elemento p(X) ∈ A[X] ´e invert´ıvel se, e somente se, p(X) ∈ A e ´e invert´ıvel em A. Em s´ımbolos,

(A[X])∗^ = A∗.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Se p(X) ∈ A[X] ´e invert´ıvel, ent˜ao p(X) 6 = 0 e existe q(X) ∈ A[X] − { 0 } tal que p(X) · q(X) = 1. Tomando graus e usando a Proposi¸c˜ao 3 temos que gr(p(X)) + gr(q(X)) = 0. Logo gr(p(X)) = gr(q(X)) = 0 e, portanto p(X), q(X) ∈ A e p(X) ´e invert´ıvel em A. A rec´ıproca ´e imediata.

Um fato que merece ser evidenciado ´e a diferen¸caa existente entre po- linˆomios e fun¸c˜oes polinomiais, dois conceitos que freq¨uentemente s˜ao inde- vidamente confundidos. A um polinˆomio p(X) ∈ A[X] associa-se uma fun¸c˜ao p ∈ AA^ chamada fun¸cao polinomial, definida por

p : A −→ A a 7 −→ p(a) = a 0 + a 1 · a + · · · + an · an.

O elemento p(a) de A ´e chamado de valor de p(X) em a. E evidente que a´ dois polinˆomios iguais s˜ao associadas duas fun¸c˜oes polinomiais iguais. Em contrapartida, dois polinˆomios distintos podem dar origem a duas fun¸coes po- linomiais iguais. Por exemplo, p(X) = X^2 − X e q(X) = 0, como polinˆomios de Z 2 [X] s˜ao distintos, por´em, as fun¸c˜oes polinomiais a eles associadas s˜ao iguais. Mais geralmente, se p ´e um n´umero primo positivo, decorre do Pe- queno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinˆomios Xp^ − X

1.1. S ERIES DE POT ´ ENCIAS E POLIN ˆ OMIOSˆ 13

obtemos o sistema: (^)     

¯ 2 · c = ¯ 4 ¯ 2 · d + c^2 = a ¯ 2 · c · d = −¯ 4 d^2 = b

que resolvido, nos fornece c = ¯2, d = −¯1, b = ¯1 e a = ¯2. Portanto,

X^4 + bar 4 X^3 + ¯ 2 X^2 − ¯ 4 X + ¯1 = (X^2 + ¯ 2 X − ¯1)^2

PROBLEMAS 1.1.

1. Um elemento a 6 = 0 de um anel comutativo com unidade A ´e chamado regular ou n˜ao divisor de zero em A se a · b 6 = 0, para todo b ∈ A − { 0 }. Em particular, todo elemento invert´ıvel de A ´e regular.

(a) Se p(X), q(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de p(X) ou de q(X) regular, ent˜ao gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)). (b) Se p(X), t(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de t(X) regular e se t(X) | p(X), ent˜ao gr(t(X)) ≤ gr(p(X)). (c) Calcule gr(p(X) · q(X)) onde p(X) = ¯ 3 X^3 + ¯ 2 X + ¯1 e q(X) = ¯ 2 X^2 + ¯ 3 X + 1 em Z 6 [X].

(d) Mostre que (¯ 2 X^2 + ¯ 2 X + ¯1) | ¯3 em Z 6 [X].

2. Determine a ∈ Z tal que

(a) O polinˆomio X^4 −aX^3 +8X^2 +a seja o quadrado de um polinˆomio de Z[X]. (b) O polinˆomio X^4 + X^3 + aX^2 + X + 1 seja o produto de dois polinˆomios do segundo grau em Z[X].

3. Determine a, b ∈ Z 7 tais que

(a) O polinˆomio X^4 + ¯ 3 X^3 + ¯ 5 X^2 + aX + b seja o quadrado de um polinˆomio de Z 7 [X]. (b) O polinˆomio X^3 + aX + ¯5 seja divis´ıvel por X^2 + ¯ 5 X + ¯6 em Z 7 [X].

14 CAP´ITULO 1. POLIN OMIOSˆ

4. Mostre que a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao em a ∈ A:

Ava : A[X] −→ A p(X) 7 −→ p(a)

´e um homomorfismo de an´eis.

5. Seja p um n´umero primo positivo e f (X) ∈ Zp[X]. Mostre que f (X) e f (Xp) determinam a mesma fun¸c˜ao polinomial. Sugest˜ao: Use o Pequeno Teorema de Fermat.
6. Sejam p(X) ∈ C[X] e ξ uma raiz n-´esima primitiva da unidade em C.

(a) Se gr(p(X)) < n, mostre que p(X) + p(ξX) + p(ξ^2 X) + · · · + p(ξn−^1 X) = n · p(0).

(b) Deduza uma f´ormula para esta soma se gr(p(X)) ≥ n.

7. Mostre que f (X) =

∑∞ i=0 aiX i (^) ∈ A[[X]] ´e invert´ıvel em A[[X]] se, e somente se, a 0 ´e invert´ıvel em A[X]. Sugest˜ao: Seja g(X) = ∑∞ i=0 biXi. Tem-se que^ f^ (X)^ ·^ g(X) = 1 se, e somente se, a 0 · b 0 = 1 e ∑i j=0 aj^ bi−j^ = 0, para todo^ i^ ≥^ 1. Mostre que se^ b^0 =^ a − 1 0 , ent˜ao a equa¸c˜ao acima determina bi em fun¸c˜ao dos a′ j s e de b 0 , b 1 ,... , bi− 1 , determinando assim g(X) = (f (X))−^1.

8. Seja K um corpo. Mostre que 1 − X ´e invert´ıvel em K[[X]] e que

(1 − X)−^1 =

∑^ ∞ i=

Xi.

Se a ∈ K − { 0 }, determine (a − X)−^1.

9. Seja f (X) = ∑∞ i=0 aiXi^ ∈^ A[[X]]^ − {^0 }.^ Defina a^ ordem de^ f^ (X) com sendo ord(f (X)) = min{i | ai 6 = 0}.

Mostre que se A ´e um dom´ınio e se f (X), g(X) ∈ A[[X]] − { 0 }, ent˜ao

ord(f (X) · g(X)) = ord(f (X)) + ord(g(X)). Isto prova que se A ´e um dom´ınio, ent˜ao A[[X]] tamb´em ´e um dom´ınio.

10. Seja K um corpo.

(a) Dado f ∈ K[[X]] − K, mostre que existem m ∈ N e u invert´ıvel em K[[X]] tais que f = Xm^ · u.

16 CAP´ITULO 1. POLIN OMIOSˆ

com r 1 (X) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(p(X)). Se r 1 (X) = 0 ou se gr(r 1 (X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido tomando r(X) = r 1 (X) e q(X) = b− m^1 anXn−m^. Se gr(r 1 (X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r 1 (X) no lugar de p(X), obtendo

r 1 (X) − q 2 (X) · t(X) = r 2 (X), (1.2)

com r 2 (X) = 0 ou gr(r 2 (X)) < gr(r 1 (X)). Se r 2 (X) = 0 ou se gr(r 2 (X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido pois p(X) = (q 1 (X) + q 2 (X)) · t(X) + r 2 (X). Se gr(r 2 (X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r 2 (X) no lugar de r 1 (X), obtendo

r 2 (X) − q 3 (X) · t(X) = r 3 (X), (1.3)

com r 3 (X) = 0 ou gr(r 3 (X)) < gr(r 2 (X)). E assim sucessivamente, obtendo r 1 (X), r 2 (X), r 3 (X),... tais que

gr(r 1 (X)) > gr(r 2 (X)) > gr(r 3 (X)) > · · ·

Segue ent˜ao que para certo s ∈ N, tem-se rs(X) = 0 ou gr(rs(X)) < gr(t(X)). Levando em conta (1), (2), (3),... temos que

p(X) = (q 1 (X) + q 2 (X) + · · · + qs(X)) · t(X) + rs(X)

bastando ent˜ao tomar q(X) = q 1 (X)) + q 2 (X) + · · ·+ qs(X)) e r(X) = rs(X).

Unicidade: Suponha que

t(X) · q(X) + r(X) = t(X) · q 1 (X) + r 1 (X)

com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)) e r 1 (X) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(t(X)). Da igualdade acima, obtemos que

t(X)[q(X) − q 1 (X)] = r 1 (X) − r(X) (1.4)

Pelas condi¸c˜oes impostas a r(X) e r 1 (X) temos que

r 1 (X) − r(X) = 0 ou gr(r 1 (X)) < gr(t(X)).

1.2. DIVIS AO DE POLIN ˜ OMIOSˆ 17

Se r 1 (X) − r(X) 6 = 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que

gr(r 1 (X) − r(X)) ≥ gr(t(X)),

o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto r 1 (X) = r(X) e conseq¨uentemente de (1.4) temos que q 1 (X) = q(X).

OBSERVAC¸ AO 1:˜ Seguindo os passos da demonstra¸c˜ao do Teorema, obtemos o algoritmo da divis˜ao longa de dois polinˆomios:

anXn^ + an− 1 Xn−^1 + · · · · · · · · · + a 0 bmXm^ + · · · + b 0

−anXn^ − b− m^1 bm− 1 anXn−^1 − · · · − b− m^1 b 0 anXn−m^ b− m^1 anXn−m^ + · · ·

r 1 (X) .. .

OBSERVAC¸ AO 2: Se˜ A ´e um corpo ent˜ao ´e sempre poss´ıvel efetuar a divis˜ao por qualquer polinˆomio t(X) 6 = 0.

OBSERVAC¸ AO 3:˜ Suponha que p(X), t(X) ∈ B[X] onde B ´e um su- banel de A e o coeficiente l´ıder de t(X) ´e invert´ıvel em B. Ent˜ao q(X) e r(X) calculados pelo algoritmo da divis˜ao em A[X] ter˜ao necess`ariamente coeficientes em B.

OBSERVAC¸ AO 4: Os polinˆ˜ omios p(X), t(X), q(X) e r(X) no algoritmo da divis˜ao s˜ao chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e resto.

EXEMPLO 1 : E poss´´ ıvel efetuar a divis˜ao de 3X^5 + 2X^3 + X^2 − 5 X + 7 por 2X^3 + 3X + 1 em Q[X] mas n˜ao ´e poss´ıvel fazˆe-lo em Z[X].

1.2. DIVIS AO DE POLIN ˜ OMIOSˆ 19

DEMONSTRAC¸ AO˜ : Pelo Teorema 1, existem q(X), r(X) ∈ A[X] tais que p(X) = (aX + b) · q(X) + r(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < 1. Em qualquer caso r(X) ´e um polinˆomio constante, logo

p

b a

= 0 · q

b a

• r

b a

= r(X).

COROL ´ARIO 1.5. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O polinˆomio p(X) ´e divis´ıvel por aX + b se, e somente se p

− (^) ab

DEFINIC¸ ˜AO 1.1. Se p(X) ∈ A[X] e α ∈ A s˜ao tais que p(α) = 0, dizemos que α ´e raiz do polinˆomio p(X).

Segue do Corol´ario 2 que α ´e raiz de p(X) se e somente se (X − α) divide p(X).

COROL ´ARIO 1.6. Seja A um dom´ınio. Se p(X) ∈ A[X] − { 0 } tem grau n, ent˜ao p(X) tem no m´aximo n ra´ızes distintas.

DEMONSTRAC¸ AO˜ : Vamos provar isto por indu¸c˜ao em n. Se n = 0, ent˜ao p(X) ´e uma constante n˜ao nula e portanto tem zero ra´ızes, estabe- lecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado v´alido para n e seja p(X) um polinˆomio de grau n + 1. Se p(X) n˜ao tem ra´ızes, nada temos a provar. Se p(X) tem uma raiz α, ent˜ao p(X) = (X − α) · q(X), com q(X) ∈ A[X] e gr(q(X)) = n. Pela hip´otese de indu¸c˜ao, q(X) tem no m´aximo n ra´ızes distintas e sendo A um dom´ınio, as ra´ızes de p(X) s˜ao as ra´ızes de q(X) e as ra´ızes de (X −α), logo p(X) tem no m´aximo n+1 ra´ızes.

COROL ´ARIO 1.7. Seja A um dom´ınio infinito. Se p(X), q(X) ∈ A[X] s˜ao tais que p(a) = q(a) para todo a ∈ A (i.e. as fun¸c˜oes polinomiais s˜ao iguais), ent˜ao p(X) = q(X) (i.e. os polinˆomios s˜ao iguais).

DEMONSTRAC¸ AO˜ : Suponha por absurdo que p(X) − q(X) 6 = 0. Ent˜ao, pelo Corol´ario 3, p(X)−q(X) tem um n´umero finito de ra´ızes. Isto contradiz a hip´otese p(a) = q(a) para todo a ∈ A pois A ´e infinito.

Considere a aplica¸c˜ao

ϕ : A[X] −→ AA p(X) 7 −→ fun¸c˜ao polinomial associada a p(X)

20 CAP´ITULO 1. POLIN OMIOSˆ

Usando o exerc´ıcio 1.4 ´e f´acil verificar que ϕ ´e um homomorfismo de an´eis. O Corol´ario 4 mostra que se A ´e um dom´ınio infinito, ent˜ao N(ϕ) = { 0 }.

DEFINIC¸ ˜AO 1.2. Dizemos que um corpo K ´e algebricamente fechado se todo polinˆomio n˜ao constante de K[X] tem pelo menos uma raiz em K.

COROL ´ARIO 1.8. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja ainda p(X) ∈ K[X] um polinˆomio n˜ao constante. Se gr(p(X)) = n, ent˜ao existem elementos α 1 , α 2 ,... , αn ∈ K e a ∈ K tais que

p(X) = a · (X − α 1 ) · (X − α 2 ) · · · (X − αn)

DEMONSTRAC¸ AO˜ : A prova pode ser feita por indu¸c˜ao sobre n e a dei- xamos a cargo do leitor.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.4. Se K ´e um corpo algebricamente fechado, ent˜ao K ´e infinito.

DEMONSTRAC¸ AO˜ : Suponha por absurdo que K seja finito, digamos que K = {a 0 , a 1 ,... , an− 1 } onde a 0 = 0 e a 1 = 1. Considere o polinˆomio

p(X) = (X − a 0 ) · (X − a 1 ) · · · · · · · (X − an− 1 ) + a 1.

Verifica-se diretamente que p(X) n˜ao tem ra´ızes em K o que ´e uma con- tradi¸c˜ao, pois p(X) ´e n˜ao constante e K ´e algebricamente fechado.

Nem todo corpo ´e algebricamente fechado, por exemplo, se p ´e um n´umero primo positivo, o corpo Zp n˜ao ´e algebricamente fechado por ser finito. O corpo R , apesar de infinito, n˜ao ´e algebricamente fechado pois o polinˆomio n˜ao constante X^2 + 1 ∈ R[X] n˜ao possui ra´ızes em R.

O famoso Teorema Fundamental da Algebra´ garante que C ´e algebrica- mente fechado. Este Teorema possui uma longa hist´oria e muitas demons- tra¸c˜oes, nenhuma delas por´em se faz com m´etodos puramente alg´ebricos, devendo-se sempre usar m´etodos da an´alise. Vamos ao longo do texto admi- tir este resultado cuja demonstra¸c˜ao encontra-se no Apˆendice 1.