Álgebra avançada, Notas de estudo de Álgebra

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C´

alculo Avan¸

cado.

Tarcisio Praciano Pereira

Departamento de Matem´

atica

Universidade Estadual Vale do Acara´

u

Sobral, 22 de

maio de

2006

[email protected]

14.5 28.

grafico - Scilab

-5.

-0.

15

O plano de trabalho.

Queremos sugerir-lhe um modo de usar este livro que se poderia se asse-

melhar ao de um

hipertexto

1 .

A ´

ultima parte do livro ´

e um ´

ındice remissivo

alfab´

etico em que

todas

as palavras-chave do texto se encontram al´

ı listadas com

referˆ

encia `

as p´

aginas em que elas se encontram. Verifique agora, por exemplo,

Fourier

, ou

vetor

, e vocˆ

e ver´

a a lista das p´

aginas em que estas palavras se en-

contram pelo menos alguma vez com uma defini¸

c˜ ao adequada.

Esta ´

e forma

que encontramos para algumas vezes lhe sugerir uma leitura l´

a na frente, ilus-

brutal que a indica¸trando algum conceito que ainda viria no futuro. Parece-nos uma forma menos

c˜ ao n´

umerica. Fa¸

ca uso intensivo do ´

ındice remissivo como

se vocˆ

e se encontrasse na frente de um hipertexto e nos desculpe pela demora

de acesso...e n˜

ao se esque¸

ca de colocar um marcador de p´

agina para saber de

onde saiu...

Uma s´

ıntaxe se imp˜

oe nas comunica¸

c˜ oes, tentamos usar o

it´

alico

com duas

inten¸

c˜ oes:

palavras-chave que vocˆ

e poder´

a encontrar no ´

ındice remissivo al-

1 que pretens˜

ao.. mas ´

e mesmo assim!

fab´ 2

etico, ou, palavras das quais vocˆ

e deve desconfiar porque elas est˜

ao mal

definidas ou apresentadas de modo intuitivo.

O negrito se encontra reservado

para as

palavras t´

ecnicas

que tem uma defini¸

c˜ ao bem clara no texto. Esta

regra, entretanto, ainda est´

a em constru¸

c˜ ao e poder´

a falhar aqui ou al´

ı, pelo

menos nesta edi¸

c˜ ao experimental.

Um outro elemento sint´

atico ´

e a

letra pequena

, ela indica que o texto escrito

com ela pode ser ignorado numa primeira leitura, mas que n˜

ao precisa ser igno-

rado definitivamente, representam exemplos ou observa¸

c˜ oes mais aprofundadas

e que podem ser lidas como uma curiosidade te´

orica sem consequˆ

encias maiores

para o resto do texto.

Este uso da

ˆenfase

no texto, tem segundas inten¸

c˜ oes, uma delas (das in-

ten¸

c˜ oes), de salientar uma bolha l´

ogica, nos vai permitir de falar de concei-

tos que n˜

ao podemos definir no momento sem criar um texto ileg´

ıvel.

E uma´

atitude pr´

opria de um livro did´

atico, nele se tem, como primeiro objetivo, a

comunica¸

c˜ ao com o estudante, a exposi¸

c˜ ao de Matem´

atica para quem a quer

aprender, e obviamente, n˜

ao se dirige a quem j´

a a domina. Assim, avan¸

caremos

alguns conceitos cuja defini¸

c˜ ao formal seria cr´

ıtica, mas sua apresenta¸

c˜ ao num

est´

agio inicial completa uma vis˜

ao global que o estudante j´

a deveria at´

e mesmo

ter, n˜

ao fosse a fragilidade do nosso sistema educacional.

O uso de aster´

ısco n’algum exerc´

ıcio, tem o sentido de que o mesmo pode

ser mais dif´

ıcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo n˜

ao

deve ser o de desencorajar quem os tentem resolver.

Afinal,

dif´

ıcil

, n˜

ao ´

e um

do tempo.qualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longo

Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:

1. C´

alculo Diferencial;

2. C´

alculo Integral.

Mas observe que as

departamentaliza¸

c˜ oes

s˜ ao autorit´

arias e artificiais. Elas s˜

ao

feitas para atender uma necessidade pr´

atica de disposi¸

c˜ ao de assuntos, com

objetivo sistˆ

emico, mas n˜

ao se podem tornar camisas de for¸

ca nem sugerir que o

conhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, vocˆ

e ir´

a encontrar muito

estaremos derivada e na segunda a integral).parte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parteuso da integral dentro da primeira parte... e muito uso da derivada na segunda

Vamos a uma r´

apida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento do

assunto que tamb´

em servir´

a de uma introdu¸

c˜ ao.

A primeira raz˜

ao das “coisas”´

e que pretendemos escrever uma cole¸

c˜ ao de pe-

quenos livros cobrindo toda a matem´

atica do que se chama

C´

alculo Avan¸

cado

e que em nossa opini˜

ao deve ser estudado num segundo ano de gradua¸

c˜ ao por

todos os estudantes de ciˆ

encias, sejam eles futuros engenheiros ou futuros pro-

fessores da Escola Secund´

aria, ou futuros professores de Matem´

atica da Univer-

sidade. Observe nossa posi¸

c˜ ao, intencional, de associar profissionais, queremos

dizer, sim, que o professor da Escola Secund´

aria deve ter uma base matem´

atica

Sum´

ario

I

C´

alculo Diferencial no espa¸

co vetorial

R

3

N´

umeros e geometria no

R

3

Opera¸

c˜ oes com vetores........................

Exemplos de espa¸

cos vetoriais....................

Derivadas de fun¸

c˜ oes bivariadas

A derivada

Diferenciabilidade...........................

Opera¸

c˜ oes e derivadas

A f´

ormula de Taylor

Series e aproxima¸

c˜ ao de fun¸

c˜ oes.

A s´

erie de Taylor...........................

O erro m´

edio..........................

O erro integral.........................

Polinˆ

omios Trigonom´

etricos......................

Aproxima¸

c˜ ao polinomial cl´

assica...................

Quadrados m´

ınimos......................

O m´

etodo de Gram-Schmidt.

S´

eries num´

ericas.

Defini¸

c˜ oes e exemplos.

Crit´

erios de convergˆ

encia.

S´

eries de fun¸

c˜ oes............................

S´

eries de potˆ

encias.......................

Generaliza¸

c˜ oes.

Espa¸

cos de fun¸

c˜ oes.

Convergˆ

encia condicional.

Aplica¸

c˜ oes

As s´

eries de Fourier.

Fenˆ

omenos vibrat´

orios, a m´

usica................... 100

As comunica¸

c˜ oes.

Compacta¸

c˜ ao de dados.

Equa¸

c˜ oes diferenciais......................... 103

SUM

ARIO´

Tabelas diversas

II

A integral no espa¸

co vetorial

R

3

Introdu¸

c˜ ao

Dimens˜

ao e variedade

Hiperplano e hipersuperf´

ıcie no

R

4

Um pouco sobre classifica¸

c˜ ao de variedades

Conjunto aberto e fronteira de um conjunto........ 117

Complementos sobre Integra¸

c˜ ao................... 121

Complementos sobre Geometria e Derivada

Somas m´

ultiplas de Riemann

Integral m´

ultipla - Solu¸

c˜ ao

O caso da fronteira curva

A integral de linha

Integral de linha

Derivadas Parciais

Aplica¸

c˜ oes das derivadas....................... 176

Vetor normal e gradiente

Derivadas de fun¸

c˜ oes vetoriais.................... 190

Miscelˆ

anea de Exerc´

ıcios....................... 191

O teorema de Green

Teorema de Green

Campos vetoriais conservativos ou n˜

ao........... 201

Forma trivial do Teorema de Green............. 204

Rota¸

c˜ ao e fluxo............................ 218

Superficie

Superf´

ıcie e ´

area

Aplica¸

c˜ oes............................... 235

10 F´

ormulas Integrais

10.1 Generaliza¸

c˜ oes da integral...................... 241

Bibliografia ............................................................................... i

Lista de Figuras

Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma.

No dom´

ınio de

W

f

−→

R

em volta de um ponto

P

∈

W,

h´ a muitas dire¸

c˜ oes

para escolher e estudar a varia¸

c˜ ao.

Gr´

aficos simultˆ

aneos do polinˆ

omio de Taylor de grau 3 e da fun¸

c˜ ao

f

.

...

Graficos simultˆ

aneos do seno e de seu polinˆ

omio de Taylor de grau 11.

Reta tangente ao gr´

afico de

(^) f

no ponto

x

= (^) −

Polinˆ

omios de grau 11 e 13 do seno desenvolvidos em

x (^) = 0

.

........

polinˆ

omio trigonom´

etrico com 5 termos: aproxima¸

c˜ ao da fun¸

c˜ ao dente de serrote

em

(^) R

.

..................................

polinˆ

omio trigonom´

etrico com 10 termos no intervalo [

− 15

, (^) 15]: aproxima¸

c˜ ao da

fun¸

c˜ ao dente de serrote em

R .

Area associada a uma soma parcial-proje¸´

c˜ ao para traz - proje¸

c˜ ao para frente.

gr´

afico da par´

abola

x

7 →

21 (^) ( x 2 −^

x (^) −

(^) 2) aproximada por um polinˆ

omio trigo-

nom´

etrico, no intervalo [

−

π, π

].

...................... 103

Um conjunto aberto Ω

(^3)

(^) P

e um ponto.

C´ ırculo de centro na origem coberto por uma malha uniforme

O c´

ırculo como dom´

ınio de integra¸

c˜ ao.

Uma curva e sua aproxima¸

c˜ ao poligonal

Uma variedade linear e seu vetor normal

Gr´

afico aproximado da curva plana

Uma malha retangular em Ω induz uma parti¸

c˜ ao no conjunto de sa´

ıda

(^) W

Uma superf´

ıcie com ponto singular

Parametriza¸

c˜ ao do quadrado

Q

de lado 1, com v´

ertices (

,

, (^) (

, 1).

Os distintos caminhos entre

P, Q

no dom´

ınio Ω

,

; α, β, γ

A fronteira de um dom´

ınio inclue as fronteiras dos seus buracos...

a ori-

enta¸

c˜ ao da fronteira pode ser determinada por tangˆ

encia.

A orienta¸

c˜ ao de uma curva pode ser incompat´

ıvel com a orienta¸

c˜ ao da fronteira.

A indepenˆ

encia de caminhos; as curvas s˜

ao percorridas de acordo com a

indica¸

c˜ ao das setas.

LISTA DE FIGURAS

A independˆ

encia de caminhos

Isot´

ermicas e linhas de fluxo

O princ´

ıpio do coseno

As tres t´

ecnicas b´

asicas do C´

alculo

Neste cap´

ıtulo vamos estudar as tres t´

ecnicas b´

asicas do C´

alculo, derivada, integral e limite,

tendo o espa¸

co tridimensional como o cen´

ario de trabalho.

Limite

´e o estudo do

comportamento assint´

otico

, usamos

limite

para definir a

integral

e a

derivada

. Que ´

e a integral? vocˆ

e ver´

a depois que h´

a outras formas de se conceber a integral

e que o pr´

oprio limite ´

e um tipo de integral, mas esta vis˜

ao ainda faz parte do futuro e n´

os

queremos usar o que vocˆ

e recentementre aprendeu. Para compreender o que era a integral,

vocˆ

e, considerou uma fam´

ılia de

n

retˆ

angulos sob o gr´

afico de uma fun¸

c˜ ao e lhes calculou a

´area

A x i =

f ( x i )∆

x i ,

e depois lhe disseram que

quando os

∆

x i se aproximarem de zero a soma

n

i=1P

A x i se apro-

ximar´

a de um n´

umero

, este n´

umero ´

e a integral de

f.

Mas pode n˜

ao ser assim, neste caso a

fun¸

c˜ ao n˜

ao ´

e integr´

avel, ´

e isto que caracteriza um

comportamento assint´

otico

.

O comportamento assint´

otico ´

e a id´

eia central deste cap´

ıtulo.

Cap´

ıtulo 1

N´

umeros e geometria no

R

Resumo.

Vamos estudar os elementos e as estruturas b´

asicas para generalizar o C´

alculo Diferencial e

Enquanto que no caso univariado tinhamosIntegral univariado.

R

⊃

[a, b

] →f

R

e queriamos estudar a

taxa de

varia¸

c˜ ao

(^) instˆ

antanea de

f

num determinado ponto

(^) x

∈ (^) [ a, b

] , (^) n˜ ao havia muita escolha quanto

`a

varia¸

c˜ ao de

x,

para frente

ou

para tr´

as

.

Aqui as fun¸

c˜ oes ser˜

ao multivariadas quer dizer

que num ponto

P

∈ (^) W

de uma fun¸

c˜ ao

W

f

−→

R , h´

a muitas dire¸

c˜ oes em que se pode escolher

para estudar a taxa de varia¸

c˜ ao, veja a (fig. 1.2), p´

agina 15.

Introdu¸

c˜ ao: ´

algebra e Vetores.

O conceito de vetor surgiu na F´

ısica como muitas das no¸

c˜ oes da Matem´

atica. O conceito

f´ ısico estava ligado a uma entidade geom´

etrica, uma “seta”, porque tinha que ter

dire¸

c˜ ao e

intensidade

.

Esta vis˜

ao geom´

etrica ´

e primitiva e tem que ser generalizada para ser melhor

aplicada em distintas situa¸

c˜ oes. Como sempre, ´

e um processo

alg´

ebrico, ou formal

que produz

a generaliza¸

c˜ ao adequada.

Os passos desta generaliza¸

c˜ ao seguem uma an´

alise do conceito que se deseja generalizar.

Com

vetores

, queriam os f´

ısicos, estender o conceito de n´

umero.

Os n´

umeros eram pobres,

representam apenas a

(^) intensidade

, era preciso associar-lhe

dire¸

c˜ ao

(^) e

sentido

. Os tres conceitos

se encontram sintetizados, geometricamente, num “

segmento de reta orientado

”, que tem

m´

odulo

, (^) dire¸

c˜ ao

(^) e (^) sentido

. Entretanto os dois ´

ultimos conceitos se confundem uma vez que n˜

a

´e poss´

ıvel falar de

sentido

(^) sem

dire¸

c˜ ao

. De uma certa forma se pode dizer que existem apenas

dois novos conceitos num “

vetor

”:

intensidade

(ou m´

odulo) e ˆ

angulo

, desde que se tenha

estabelecido um padr˜

a adequado para medi¸

c˜ ao de ˆ

angulos. Mas padr˜

a para medir tamb´

em ´

e

necess´

ario quando se fala em intensidade. A representa¸

c˜ ao geom´

etrica dos vetores conduziu

naturalmente ao conceito geom´

etrico de soma destes objetos: a regra do paralelograma, (fig.

1.1).

As outras “coordenadas”contidas no conceito de vetor:

intensidade, ˆ

angulo, dire¸

c˜ ao,

sentido

, que de alguma forma se sobrep˜

oem, todas surgiram da concep¸

c˜ ao geom´

etrica.

Os conceitos de ˆ

angulo, comprimento ou m´

odulo, ficam todos ge-neralizados pelo conceito

de

produto escalar

. Em Geometria Anal´

ıtica se define o produto escalar de dois vetores, mas

´e na

Algebra Linear que se estende convenientemente o conceito de n´´

umero incluindo os

vetores.

Hoje encontramos a palavra vetor utilizada em computa¸

c˜ ao ou mesmo em economia ou

planejamento e a ideia subjacente ´

e a mesma.

No “vetor” que aparece em computa¸

c˜ ao n˜

a

tem sentido falar em m´

odulo na verdade a palavra certa seria

matriz

(^) que generaliza a ideia de

vetor: um objeto multi-num´

erico, ou

n´ umero generalizado

como algumas vezes as estaremos

chamando aqui para enfatizar.

CAP

ITULO 1.´

N

UMEROS E GEOMETRIA NO´

R

3

(^0)

(^1)

(^2)

3

(^4) (^5) (^6) (^7) (^8) (^9)

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

soma de dois vetores Regra do Paralelograma

Figura 1.1:

Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma.

Uma outra inven¸

c˜ ao da Humanidade foi o n´

umero complexo, que ´

e um tipo de vetor

e surgiu de forma independente para resolver quest˜

oes alg´

ebricas,

como ´

e o caso da raiz

quadrado de

−

1 . Por sua origem alg´

ebrica, os n´

umeros complexos tinham uma capacidade

operat´

oria completa:

soma, multiplica¸

c˜ ao, divis˜

ao e subtra¸

c˜ ao.

Nossos antepassados quase

que reconheciam neles autˆ

enticos n´

umeros, mas deixaram registrada a desconfian¸

ca de que

havia alguma coisa

errada

no nome:

n´ umeros complexos

.

Em seguida se descobriu que os

n´ umeros complexos eram uma

esp´

ecie

de n´

umeros geom´

etricos com uma representa¸

c˜ ao ve-

torial de modo que o conjunto,

C

, dos n´

umeros complexos, era plano, generalizando a reta

R

que representava os n´

umeros reais. Nos s´

eculos 19 e 20 se multiplicaram as tentativas de

constru¸

c˜ oes de

n´ umeros geom´

etricos

de dimens˜

ao maior do que 2, sobre

R . Algumas dessas

constru¸

c˜ oes tiveram sucesso, os

quaternions

s˜ ao um desses exemplos que tˆ

em uma

´algebra

parecida com a dos

n´ umeros complexos

.

Na atual estrutura da Matem´

atica, os vetores s˜

ao

objeto de estudo de uma disciplina chamada

Algebra Linear´

, que ´

e um “departamento” da

Algebra ´

.

Neste primeiro cap´

ıtulo faremos uma introdu¸

c˜ ao sistem´

atica, mas resumida, da ´

algebra

linear que ser´

a necess´

aria para estudar C´

alculo Multivariado ao mesmo tempo em que iremos

desenvolvendo os conceitos do C´

alculo. Vamos descrever o

cen´

ario

em que se vai desenvolver

a

a¸ c˜ ao

. A figura (fig. 1.2) pretende ilustrar isto, num ponto

P

do dom´

ınio h´

a v´

arias dire¸

c˜ oes

sobre as quais podemos estudar a taxa de varia¸

c˜ ao de uma fun¸

c˜ ao

W

f

−→

(^) R

,

sugerindo, ent˜

ao, que a derivada, que guarda o coeficiente angular instantˆ

aneo de uma fun¸

c˜ ao,

tem que ser considerado em v´

arias poss´

ıveis dire¸

c˜ oes.

Opera¸

c˜ oes com vetores

A

regra do paralelograma

, (fig.

1.1), cont´

em os elementos de semelhan¸

ca de

triˆ

angulos necess´

arios para que se transporte

sentido

e

intensidade

, contidos no

objeto geom´

etrico vetor, de modo que possamos

superpˆ

o-los geom´

etricamente

Ao mesmo tempo ela cont´

em, dentro da pr´

opria semelhan¸

ca de triˆ

angulo, os

elementos alg´

ebricos da defini¸

c˜ ao:

u

= (

a, b

v

= (

x, y

u

(^) v

a

(^) x, b

y ) .

EXEMPLOS DE ESPAC

¸ OS VETORIAIS

Exemplo 2

Espa¸

co vetorial de fun¸

c˜ oes cont´

ınuas.

Os polinˆ

omios

as vezes

(^) podem ser vistos como fun¸

c˜ oes, ent˜

ao as fun¸

c˜ oes formam um caso

mais amplo de espa¸

co de vetores.

As fun¸

c˜ oes,

pelo menos numa primeira aproxima¸

c˜ ao

, s˜

ao objetos definidos em pontos de

um determinado conjunto chamado

dom´

ınio

, aos quais se associam valores que se encontram

no

conjunto dos valores

.

O dom´

ınio funciona como um

conjunto de ´

ındices

e podemos ver assim que

R 3

nada

mais ´

e do que o conjunto de todas as fun¸

c˜ oes reais definidas no dom´

ınio

{ 1 , 2 , 3 }

se podendo

entender a nota¸

c˜ ao

x i como

x ( i ) , o valor de

x

no ponto

i.

Esta ideia se pode generalizar para o conjunto de ´

ındices

[ a, b

],

um intervalo da reta.

No C´

alculo univariado se definem as fun¸

c˜ oes cont´

ınuas e se mostra que

soma de fun¸

c˜ oes

cont´

ınuas

´e uma

fun¸

c˜ ao cont´

ınua

, leia-se:

soma de vetores ´

e um vetor

.

Se chamarmos

V

=

C ([ a, b

] , (^) R ) ao espa¸

co vetorial de todas as fun¸

c˜ oes cont´

ınuas definidas

no intervalo

[ a, b

] e tomando valores em

R , podemos verificar que

C ([ a, b

] , R ) tem todas as

propriedades (prop. 4), p´

agina 16, sendo um

espa¸

co vetorial sobre o corpo

(^) R

.

A

dimens˜

ao

deste espa¸

co pode ser rapidamente discutida.

Veja que, no caso do

R 3 , o

conjunto dos ´

ındices, ´

e o dom´

ınio em que se encontram definidas as fun¸

c˜ oes que formam

este espa¸

c o,

que justificamos ser um espa¸

co de dimens˜

ao 3.

Agora estamos discutindo

fun¸

c˜ oes cujo dom´

ınio, leia

(^) conjunto dos ´

ındices

, ´ e o intervalo

[a, b

] , que tem uma “quantidade”

de elementos n˜

ao finita

1 .

Assim, apenas comparando os conjuntos de ´

ındices, concluimos

que as fun¸

c˜ oes cont´

ınuas, definidas no intervalo

[a, b

] tem uma “quantidade” n˜

ao finita de

informa¸

c˜ oes fazendo do espa¸

co

C ([ a, b

] , R ) um espa¸

co vetorial de dimens˜

ao n˜

ao finita.

Os espa¸

cos de polinˆ

omios tamb´

em podem nos conduzir rapidamente `

a

compreens˜

ao de

que existem espa¸

cos de dimens˜

ao n˜

ao finita. Como um polinˆ

omio de grau

(^) n

(^) ´e,

(^) intuitivamente

,

um vetor de dimens˜

ao

n (^) + 1

, porque precisamos de

n (^) + 1

informa¸

c˜ oes para escrevˆ

e-los, ent˜

ao

vemos que existem espa¸

cos de dimens˜

ao finita,

n , arbitr´

arios contidos no espa¸

co de

todos

os polinˆ

omios,

R [x ] , (^) que assim n˜

ao pode ser um espa¸

co de dimens˜

ao finita.

Mas a

natureza

dos dois epa¸

cos,

C ([ a, b

], (^) R

) ou

R [x ] ´e distinta, como tamb´

em ´

e distinta

a natureza da “n˜

ao finitude” de suas dimens˜

oes.

Estes fatos v˜

ao nos levar a discutir no

cap´

ıtulo 2 os problemas de aproxima¸

c˜ ao.

Observa¸

c˜ ao

3

Aproxima¸

c˜ ao, finitude, cardinalidade.

Problemas:

Como aproximar

, com um n´

umero finito de informa¸

c˜ oes, um objeto que

contenha uma

quantidade n˜

ao finita de informa¸

c˜ oes?

Existe alguma

coisa

n˜ ao finita `

a

nossa

volta?

Estes problemas se encontram no centro da investiga¸

c˜ ao tecnol´

ogica dos nossos dias uma

vez que as

informa¸

c˜ oes

que temos guardar ou transmitir s˜

a

fun¸

c˜ oes

, como a quantidade de

energia contida num fenˆ

omeno, voz, figura, etc...

Por outro lado, os instrumentos que temos para medir devem transformar estes fenˆ

omenos

em uma quantidade finita de informa¸

c˜ oes, digitaliz´

a-las, para que possamos guard´

a-las ou

trnsmit´

ı-las.

Outra quest˜

ao que fica para ser aprofundada ´

e esta sobre a “quantidade” de elementos

n˜ ao finita. Esta quest˜

ao se constitue de uma teoria chamada

cardinalidade

.

Al´

em de somar vetores, resultando n’outro vetor, e multiplicar vetores por

escalares, resultando ainda n’outro vetor, precisamos do

produto escalar

de

Defini¸dois vetores:

c˜ ao 2

Produto Escalar.

u

= (

x 1 , (^) · · ·

(^) , x

n )

v

= (

y 1 , (^) · · ·

(^) , y

n )

< u, v >

n

i ∑

x i (^) y i

|u

| · |

v | (^) cos(

θ )

1 N˜ ao se pode usar esta linguagem, “quantidade”, neste conceito, sem incorrer em con-

tradi¸

c˜ oes de natureza l´

ogica.

CAP

ITULO 1.´

N

UMEROS E GEOMETRIA NO´

R

3

Vamos sintetizar o n´

ucleo da id´

eia, o

m´

etodo formal da ´

algebra entra em

cena

: na express˜

ao acima temos um s´

ımbolo que representa o produto escalar,

cuja defini¸

c˜ ao se encontra `

a direita e tem propriedades que podemos facilmente

2

deduzir: Teorema

Propriedades do produto escalar em

R

3 .

< u, v >

< v, u >

< u, λv

1

(^) βv

2

>

=

λ < u, v

1

>

β < u, v

2 >

Estas duas propriedades caracterizam

como uma forma (transforma¸

c˜ ao)

bilinear que chamaremos de

produto escalar

Exerc´

ıcios 1

1. Fa¸

cas contas e mostre que se

< u, v >

n

i ∑

x i y i

ent˜

ao,

< u, v >

< v, u >.

1. Mostre no

R

2

que se

u, v

forem dois vetores unit´

arios, ent˜

ao (veja que

suas coordenadas podem ser escritas usando sen, cos),

< u, v >

= cos

(^) α

(^) cos

(^) β

• sin

(^) α

(^) sin

β

e deduza da´

ı que

< u.v >

= cos

(^) θ

;

θ

=

α (^) −

β

´e o ˆ

angulo entre os dois vetores.

1. Generalize, se

u, v

n˜ ao forem unit´

arios, ent˜

ao eles s˜

ao multiplos de vetores

unit´

arios pelos escalares

u | , (^) | v | e conclua que

< u, v >

u || v | cos

(^) θ

1. defini¸

c˜ ao “abstrata” de ˆ

angulo

(^) Mostre que a partir da defini¸

c˜ ao de

um pro-

duto escalar

num espa¸

co vetorial, podemos definir o ˆ

angulo entre dois ve-

tores dados, (solu¸

c˜ ao mais adiante no texto).

Quando um espa¸

co vetorial tiver um

produto escalar

diremos que ´

e um

espa¸

co

euclidiano

2 N˜ ao permita que o autor o intimide, pergunte se n˜

ao estiver claro...

ou se cale para

sempre.

EXEMPLOS DE ESPAC

¸ OS VETORIAIS

Observa¸

c˜ ao

A estrutura euclidiana.

Se identificarmos alguma

fun¸

c˜ ao

em outro espa¸

co vetorial tendo as mesmas propriedades

do

(^) produto escalar

, ent˜

a

descobrimos

um novo espa¸

co euclidiano e suas propriedades s˜

a muito

parecidas, ou possivelmente as mesmas, do

R 3 .

E desta generaliza¸´

c˜ ao que falavamos: o estudo acurado de um determinado exemplo nos

permite uma estens˜

ao de suas propriedades a uma fam´

ılia de objetos semelhantes a ele. Ao

mesmo tempo isto se constitue de um m´

etodo expositivo que adotaremos que vai do particular

para o geral: a an´

alise dos exemplos permite sua generaliza¸

c˜ ao e uma classifica¸

c˜ ao adequada

cria uma categoria de objetos aos quais a mesma an´

alise se aplica.

Vamos aplicar tudo que estudarmos sobre o

R 3 `as

s´ eries de Fourier, mais adiante, mas o

espa¸

co

onde estaremos trabalhando ter´

a como vetores,

fun¸

c˜ oes

. Veja o exemplo logo a seguir

em que estamos nos exercitando no que ser´

a necess´

ario mais a frente.

Chamamos sua aten¸

c˜ ao para a ambig¨

uidade da defini¸

c˜ ao de produto escalar, (def.

2),

na p´

agina 18, usando

soma

e tamb´

em o

produto de m´

odulos

. Apenas uma deveria ter sido

apresentada como defini¸

c˜ ao, a outra sendo um teorema.

Os exerc´

ıcios tentam sanar esta

ambig¨

uidade, resolva o exerc´

ıcio e escolha quem ´

e a defini¸

c˜ ao e quem ´

eo teorema.

Veja

assim outro fato que passa desapercebido na constru¸

c˜ ao da Matem´

atica, que nem tudo ´

e

absoluto, muitas vezes vocˆ

e pode escolher o que ´

e defini¸

c˜ ao

ou

teorema

. Escolha qual ´

e o

seu

teorema.

O produto escalar ´

e t´

ıpico dos

espa¸

cos vetoriais euclidianos

, e h´

a espa¸

cos em que n˜

ao se

pode definir um produto escalar coerente com a estrutura vetorial, nestes espa¸

cos se perde o

conceito de ˆ

angulo. Neste livro trataremos apenas de espa¸

cos euclidianos.

A parte final da defini¸

c˜ ao (def.

e de “natureza geom´

etrica”, pode ser

utilizada para definir

ˆangulo

quando a

geometria usual n˜

a der mais p´

e :

Defini¸

c˜ ao 3

Angulo. Dados dois vetoresˆ

u, v

o ˆ

angulo entre eles ´

e o n´

umero:

ˆangulo

u, v

(^) ar

(^) cos(

(^) < u, v > | u | · |

v |

)

O exemplo seguinte ilustra o m´

etodo de generaliza¸

c˜ ao.

Exemplo 3

Produto escalar no espa¸

co

C ([

, (^2) π ]) .

O conjunto de fun¸

c˜ oes cont´

ınuas

(^) C

([

, (^2) π ])

´e um espa¸

co vetorial. Podemos somar fun¸

c˜ oes,

de forma semelhante como somamos os n´

umeros, ou os vetores. Podemos multiplicar fun¸

c˜ oes

por

escalares,

como

fazemos

fazemos

com

os vetores.

Falta-nos,

entretanto a

sensa¸

c˜ ao

gem´

etrica de “seta”quando observamos uma fun¸

c˜ ao, e ´

e normal, porque as fun¸

c˜ oes s˜

a ve-

tores de uma “dimens˜

a”muito superior a segunda ou terceira dimens˜

oes.

Na verdade uma

fun¸

c˜ ao

de dimens˜

a “baixa”´

e simplesmente um vetor...

No espa¸

co

C ([

, (^2) π ])

podemos

3

definir o produto escalar,

<, >,

(^) da seguinte forma:

f, g

(^) ∈ C

([

, (^2) π ])

(1.6)

< f, g >

=

Z

2 π

0

f ( t ) g ( t ) dt

(1.7)

ˆangulo

( f, g

) =

(^) ar

(^) cos(

(^) < f, g > | f (^) | · |

g | ) .

(1.8)

E f´ ´

acil mostrar que

(^) <, >

tem as mesmas propriedades que o outro definido anteriormente,

no espa¸sendo assim uma forma bilinear, um produto escalar. Depois veremos que este produto escalar

co de fun¸

c˜ oes usualmente vem multiplicado por uma constante adequada a um certo

objetivo. Veja a defini¸

c˜ ao dos

coeficientes de Fourier

.

3 O uso do n´

umero

π

tem como ´

unica fun¸

c˜ ao assustar o leitor... para n˜

ao ficar assustado,

troque-o e veja que tudo funciona igual.

CAP

ITULO 1.´

N

UMEROS E GEOMETRIA NO´

R

3

Observe ainda que o ˆ

angulo de uma fun¸

c˜ ao com ela mesma ´

e zero, como seria de espe-

rar.

E um pouquinho mais dif´´

ıcil ver a conex˜

ao entre duas fun¸

c˜ oes ortogonais entre si, o que

liza de forma natural a defini¸acontece quando o produto escalar entre elas se anula. Mas existe um significado que genera-

c˜ ao geom´

etrica de vetores ortogonais: os vetores

(

, −

, (^) (

,

porque onde um se anula o outro n˜

ao se anula, mas isto ´

e uma situa¸

c˜ ao bem particular. Nos

exerc´

ıcios vocˆ

e ser´

a convidado a demonstrar um caso que diretamente generaliza este.

Exerc´

ıcio 1

Vetores.

1. equa¸

c˜ ao vetorial. Se

A, B

R

3

forem dois vetores dados, resolva, explici-

tando todas as propriedades usadas, a equa¸

c˜ ao

A

X

B

1. equa¸

c˜ ao vetorial. Se duas fun¸

c˜ oes forem dadas:

f, g

∈ C

([

a, b

]

x

[

c, d

]

R

e se for dado

α

∈

R

, resolva a equa¸

c˜ ao:

f

(^) αX

g.

Em particular, considere

f ( x, y

exp

x 2

−

y 2 ) , g

( x, y

, α

e

encontre

X.

1. ortogonalidade.

(a) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor

R

2

(b) Encontre o conjunto de todos os vetores ortogonais ao vetor

R

3

(c) Verifique que as fun¸

c˜ oes:

f (^) ( x ) =

x

x

∈

[

, π

] ;

(^) f (^) ( x ) = 0

x /

∈

[

, π

]

g ( x ) = 0

x

∈

[

, π

] ;

(^) f (^) ( x ) =

x (^) −

π

x /

∈

[

, π

]

s˜ ao ortogonais em

C

([

π ] , (^) R

)

com o produto escalar da integral.

Verifique tamb´

em que as fun¸

c˜ oes

seno

e

coseno

s˜ ao ortogonais no

mesmo espa¸

co.

Calcule o m´

odulo de todas as fun¸

c˜ oes usando a de-

fini¸

c˜ ao:

f (^) | =

< f, f >.

(d) Encontre todos os vetores ortogonais ao vetor

p ( x ) = 3 + 4

x

(^) x

2

no espa¸

co dos polinˆ

omios de grau menor ou igual a 2, (qual ´

e o

produto escalar que vocˆ

e pretende utilizar ?)

EXEMPLOS DE ESPAC

¸ OS VETORIAIS

1. Mostre que o conjunto

s~ u (^) +

t~ v

; (^) s, t

s

t = 1

´e o segmento de reta

suporte do vetor diferen¸

ca

~u (^) −

(^) ~v.

1. Trace os gr´

aficos das fun¸

c˜ oes

x

=

f (^) ( t )

y

=

g ( t )

com

f ( t ) =

(^) t ; (^) g ( t ) =

t 2

f (^) ( t ) =

t 2 ; (^) g

( t ) =

t 3

indique o sentido do percurso

de cada curva considerando que

t cresce de negativo a positivo.

1. A que tipo de objeto correspondem as equa¸

c˜ oes param´

etricas

x

=

f (^) ( s, t

y

=

g ( s, t

z

=

(^) h

( x, t

um plano, uma reta? qual ´

e a dimens˜

ao deste objeto?

Definimos uma opera¸

c˜ ao entre os vetores do espa¸

co

R

3 , chamada

produto

escalar

, e queremos vˆ

e-la de uma outra forma. Veja que lhe demos o nome de

produto

porque ´

e semelhante ao

produto entre n´

umeros

De fato ´

e esta seme-

lhan¸

ca que interessa, e o produto escalar define uma forma de

multiplicar

vetores

e outras entidades parecidas, as matrizes, objeto do nosso pr´

oximo cap´

ıtulo.

Exerc´

ıcios 2

Exerc´

ıcios de revis˜

ao

1. Propriedades da imagem de uma fun¸

c˜ ao

(^) Se

X

f

Y

for uma fun¸

c˜ ao qual-

quer, e

A, B

X

verifique que

(a)

f (^) ( ∅ ) =

f (^) ( X

) (^) ⊆

Y

(b) Se

A

B

ent˜

ao

f (^) ( A

) (^) ⊂

f (^) ( B

);

(c)

f (^) ( ⋃

i A

i ) =

i f (^) ( A

i );

(d)

f (^) ( ⋂

i A

i ) ⊆

i f (^) ( A

i ) .

Verifique tamb´

em que, para imagem inversa valem

(a)

f (^) −

1 ( ∅ ) =

f (^) −

1 ( Y (^) ) =

X

(b) Se

A

B

ent˜

ao

f (^) −

1 ( A

) (^) ⊂

(^) f

− 1 ( B

);

(c)

f (^) −

1 ( ⋃

i A

i ) =

i f (^) −

1 ( A

i );

(d)

f (^) −

1 ( ⋂

i A

i ) =

i f (^) −

1 ( A

i ) .

(e)

f (^) −

1 ( A

c ) = [

f (^) −

1 ( A

)] c

em que

A, B

Y.

1. Sendo

A, B

dois conjuntos tais que

A

B

calcule

A

B

A

B.

1. Mostre que a interse¸

c˜ ao de dois conjuntos convexos ´

e um conjunto con-

vexo, mas que a uni˜

ao de dois convexos n˜

ao precisa ser um conjunto con-

vexo.

CAP

ITULO 1.´

N

UMEROS E GEOMETRIA NO´

R

3

1. Descreva o dom´

ınio e o conjunto de valores de cada uma das fun¸

c˜ oes

definidas abaixo: f ( x ) =

1

1+

x 2

f (^) ( x ) =

2 x

1+

x 2

f ( x, y

| x |

| y |

f ( x, y

4 − x − y 2

1+

x 2

f (^) ( x ) =

1

y 2 − x 2

f ( x, y

x −

y

x 2

y 2

1. Sendo

γ

uma curva do plano e

γ

f

R

3

como pode ser o gr´

afico de

f

? Se

γ

for uma curva fechada como seria

graf

f (^) ) .

Cap´

ıtulo 2

Derivadas de fun¸

c˜

oes

2.1 bivariadas

A derivada

Mais geral que os vetores ´

e um objeto chamado

matriz

, porque os vetores s˜

a

tamb´

em matrizes.

Vetores s˜

a matrizes de um tipo particular, tem uma ´

unica

linha, ou uma ´

unica coluna.

Exemplo 4

Uma matriz 3

x

Considere o esquema formado por 12 n´

umeros dispostos da maneira regular

que abaixo se vˆ

e.

Podemos a´

ı ver quatro vetores-coluna cada um com tres coordenadas ou pode-

de ver s˜mos ver tres vetores-linha cada um com quatro coordenadas. As duas maneiras

a v´

alidas.

As matrizes generalizam os n´

umeros, enquanto que estes

cont´

em uma ´

unica informa¸

c˜ ao de uma medida feita, agora as matrizes cont´

em

v´ arias informa¸

c˜ oes oriundas de distintas medi¸

c˜ oes feitas que podem at´

e ser de

naturezas diferentes entre si.

Por exemplo, uma matriz pode conter

taxas de

varia¸

c˜ ao de pre¸

cos

, numa linha e na seguinte as

taxas de varia¸

c˜ ao de demanda

por unidade

dos produtos de uma empresa.

As matrizes se aplicam hoje em uma incont´

avel quantidade de situa¸

c˜ oes e

algumas vezes n˜

ao representam n´

umeros, mas

informa¸

c˜ oes estratificadas

E com´

frequˆ

encia

o caso, quando se encontra o termo no contexto de processamento

de dados. Neste livro as matrizes ser˜

ao sempre uma generaliza¸

c˜ ao de n´

umeros,

quase sempre ser˜

ao

taxas m´

ultiplas de varia¸

c~ ao

(^) como nos pr´

oximos exem-

Exemplo 5plos.

Equa¸

c˜ ao de um plano.

CAP

ITULO 2.´

DERIVADAS DE FUNC

OES BIVARIADAS˜

Uma express˜

ao como

y

=

(^) ax

(^) b

=

f (^) ( x ) ,

no plano, representa uma reta,

porque

a

taxa de varia¸

c˜ ao

de

y

em rela¸

c˜ ao a

x

´e constante. Quer dizer, se

x

7 →

(^) x

x

ent˜

ao

y ( x ) 7 →

(^) y

( x (^) + ∆

x )

de tal modo que

y

=

y ( x

• ∆

x ) (^) −

(^) y

=

a ∆

x.

Uma outra forma de repetir o que foi dito acima ´

e: “se construirmos uma

progress˜

ao aritm´

etica de raz˜

ao

x

com a vari´

avel

x , produziremos a progress˜

ao

aritm´

etica de raz˜

ao

a ∆

x

com a vari´

avel

y ”.

O n´

umero

a

´e a derivada constante de

f

:

a

=

f (^) ′ ( x ) .

Se considerarmos, agora, a express˜

ao

z

=

f (^) ( x, y

ax

by

(^) c,

ela ir´

a representar uma figura linear, porque, se associadas a progress˜

oes geom´

etricas

das vari´

aveis

x

ou

y,

separadamente ou em conjunto, correspondem progress˜

oes

aritm´

eticas da vari´

avel

z

com raz˜

oes obtidas por multiplica¸

c˜ ao pelos coeficientes

a, b

f ( x (^) + ∆

x, y

y ) −

(^) f

( x, y

a ∆

x (^) +

b ∆

y.

Esta segunda fun¸

c˜ ao se pode escrever de uma forma bem simples que gene-

raliza imediatamente a anterior:

f (^) ( x, y

z

= (

a b

yx

(^) c,

um produto de matrizes, que ´

e uma nova forma de multiplicar. Se

abstrairmos

a forma particular do coeficiente multiplicativo e da vari´

avel, podemos dizer que

f (^) ( X

) =

A

X

C,

´e a forma comum que tˆ

em as duas express˜

oes, nos dois exemplos, (caso univa-

riado e caso bivariado).

Comparando com o exemplo univariado, vemos sintetizada na matriz os dois

coficientes “parciais” relativamente a

x

ou a

y

separadamente. Estes coeficientes

s˜ ao caracterizados como

∂x∂f

(^) ,

∂y∂f

chamadas

derivadas parciais.

A DERIVADA

compara¸

c˜ ao entre o diferencial nos casos univariado

e multivariado

um “produto de n´

umeros comuns”

df

(^) f

′ ( a ) dx

caso de fun¸

c˜ ao univariada ;

ou o “produto matricial”

df

J

f (^) ) dx

caso de fun¸

c˜ ao multivariada

Podemos unificar a nota¸

c˜ ao, em ambos os casos podemos escrever:

df

(^) f

′ ( a ) dx

que passar´

a a representar o diferencial de uma fun¸

c˜ ao em qualquer caso e apenas

lan¸

caremos m˜

a de

J

f (^) ) se o contexto for amb´

ıguo

1 .

Usamos este exemplo do C´

alculo para mostrar que tem sentido a multi-

plica¸

c˜ ao de matrizes.

O pr´

oximo exemplo pode tamb´

em ser descrito com as

palavras do C´

alculo e n´

os o faremos em seguida.

Exemplo 7

Dependˆ

encia linear.

Uma ind´

ustria depende de quatro itens b´

asicos na composi¸

c˜ ao de seu produto

final e descreve com 3 fun¸

c˜ oes o seu custo de produ¸

c˜ ao:

C

C

1 ( x 1 , ..., x

4 ) =

custo de insumos

C

2 ( x 1 , ..., x

4 ) =

custo de produ¸

c˜ ao

C

3 ( x 1 , ..., x

4 ) =

custo de distribui¸

c˜ ao

Estas fun¸

c˜ oes n˜

a existem na pr´

atica, pelo menos n˜

a sob forma de uma

equa¸

c˜ ao alg´

ebrica, mas sob forma de um processo estat´

ıstico, ou planilha de

c´ alculo, que cuidadosamente levado em dia, permite que a empresa determine

as flutua¸

c˜ oes

2

de mercado dos pre¸

cos dos produtos assim como as flutua¸

c˜ oes

dos custos de

produ¸

c˜ ao

e de distribui¸

c˜ ao:

taxas, parciais, de varia¸

c˜ ao de custo dos insumos/produto

a 11

a 12

a 13

a 14

) ,

taxas, parciais, de varia¸

c˜ ao de custo de produ¸

c˜ ao/produto

a 21

a 22

a 23

a 24

) ,

taxas, parciais, de varia¸

c˜ ao de custo de distribui¸

c˜ ao/produto

a 31

a 32

a 33

a 34

) ,

Estas taxas de varia¸

c˜ ao s˜

a colhidas na unidade m´

ınima de tempo que seja

natural para o planejamento da empresa, digamos, diariamente, numa economia

1 A nota¸

c˜ ao

J ( f (^) ) tem o defeito de n˜

a indicar que as derivadas se calculam num ponto como na

nota¸

c˜ ao

(^) f (^) ′ ( a ).

2 leia: “taxas de varia¸

c˜ ao”

CAP

ITULO 2.´

DERIVADAS DE FUNC

OES BIVARIADAS˜

de infla¸

c˜ ao alta, ou mensalmente numa economia de infla¸

c˜ ao reduzida. Assim,

a matriz

A

a 11

a 12

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

∂C

1

∂x

1

∂C

1

∂x

2

∂C

1

∂x

3

∂C

1

∂x

4

∂C

2

∂x

1

∂C

2

∂x

2

∂C

2

∂x

3

∂C

2

∂x

4

∂C

3

∂x

1

∂C

3

∂x

2

∂C

3

∂x

3

∂C

3

∂x

4

descrita acima linha por linha, representa o coeficiente angular

m´

ultiplo

no

instante

em que foi colhida: dia ou mes.

Mas especificamente,

∂C

1

∂x

1

´e a taxa de varia¸

c˜ ao da fun¸

c˜ ao

C

1 , custo dos insumos relativamente ao produto

x 1 . Identicamente

∂C

1

∂x

2

´e a taxa de varia¸

c˜ ao da fun¸

c˜ ao

C

1 , custo dos insumos relativamente ao produto

x 2 , Suponha agora quee assim sucessivamente.

a 33

significando que o item 3 na composi¸

c˜ ao dos pro-

dutos da empresa est´

a com sua taxa de varia¸

c˜ ao de custos estabilizda: n˜

ao cresce

nem decresce. N˜

ao necess´

ariamente isto implica que

a 23

porque o custo de

produ¸

c˜ ao n˜

ao reflete e nem precisa ser refletido diretamente pelo custo de dis-

tribui¸

c˜ ao.

Uma melhoria nos transportes e outros aspectos de infra-estrutura

podem tornar mais barata a distribui¸

c˜ ao e ao mesmo tempo um aumento de

pre¸

co do item 3 vai acarretar que

a 23

Mostramos assim com um exemplo que as linhas da matriz 3

x

A

acima

s˜ a

independentes

Por defini¸

c˜ ao, duas linhas de uma matriz, ou dois vetores

quaisquer, s˜

a

linearmente dependentes

se um for m´

ultiplo do outro. Ent˜

a, se

forem dependentes uma mesma coordenada n˜

a pode ser num deles zero enquanto

que no outro ´

e diferente de zero. A defini¸

c˜ ao de

dependˆ

encia linear

n˜ a fica t˜

a

Exemplo 8simples para um conjunto com mais de dois vetores.

Diferencial e aproxima¸

c˜ ao.

Consideremos, de acordo com o exemplo anterior, a matriz

A

a 11

a 12

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

representando as varia¸

c˜ oes dos custos da ind´

ustria. Se a fun¸

c˜ ao

C

C

1 , C

2 , C

3 ) t

for a fun¸

c˜ ao de custos desta empresa, ent˜

a

A

representa a matriz de varia¸

c˜ ao

de custos ent˜

a o produto das matrizes 3

x

4, de

varia¸

c˜ ao dos custos

com o a

matriz 4

x

1, de

varia¸

c˜ ao do tempo

resulta na matriz

d

3

x

1 que ´

e o

vetor

da varia¸

c˜ ao de custos da produ¸

c˜ ao da ind´

ustria

dC

A DERIVADA

A ·

(^) dx

a 11

a 12

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

·^

dx

1

dx

2

dx

3

dx

4

 

d 1

d 2

d 3

d

C

′ ( a ) · (^) d

x

=

dC

Uma outra forma de ver o produto de matrizes ´

e como fun¸

c˜ ao linear, neste

caso

d

´e a imagem de

d x

por uma fun¸

c˜ ao cuja equa¸

c˜ ao ´

e um produto pela matriz

A

C

′ ( a ) .

Vimos assim surgir o mesmo exemplo de dois modos diferentes os dois exem-

plos representam a mesma situa¸

c˜ ao,

a ij

=

∂C

i

∂x

j

em que

C

R

4

→

R

3

´e fun¸

c˜ ao

quest˜que modela o custo da economia em que se encontra inserida a empresa em

a cujo universo econˆ

omico se reduz a quatro vari´

aveis neste exemplo. Em

geral um problema econˆ

omico tem muito mais vari´

aveis do que essas que aca-

bamos de expor. O exemplo serve em sua simplicidade para ilustrar o

produto

de matrizes

, mostrando que elas s˜

a

um novo tipo de n´

umero

, um n´

u mero que

cont´

em m´

ultiplas informa¸

c˜ oes a um s´

o tempo: um

multi-n´

umero

A (eq.

e uma express˜

ao Matem´

a tica que na pr´

atica raramente pode

ser usada porque

C

′ ( a )

representa uma deriva¸

c˜ ao exata obtida com um c´

alculo

de limites. A express˜

ao que se vai usar na pr´

atica ser´

a:

A ·

(^) dx

a 11

a 12

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

·^

x 1

x 2

x 3

x 4

 

d 1

d 2

d 3

d

C

′ ( a ) · (^) ∆

x

= ∆

C

Nesta ´

ultima se deixa claro, com as express˜

oes

x i , (^) ∆

x.

∆

C

que se tem

c´ alculos aproximadas e n˜

ao formais.

Observa¸

c˜ ao

Aproxima¸

c˜ ao diferencial e modelagem.

Uma das li¸

c˜ oes que podemos tirar do presente exemplo ´

e que a existˆ

encia de

uma fun¸

c˜ ao, como a fun¸

c˜ ao de custos

C

, n˜

a se d´

a diretamente atrav´

ez de uma

equa¸

c˜ ao mas sim tudo o que temos ´

e sua aproxima¸

c˜ ao diferencial:

C

x ) ≈

C

a ) +

C

′ ( a )∆

x

a partir do valor contabilizado de custos no ponto

a

e com as inform¸

c˜ oes es-

tat´

ısticas que chegam indicando as distintas taxas de varia¸

c˜ ao

J

C

C

′ ( a )

´e

poss´

ıvel determinar-se o custo previs´

ıvel na varia¸

c˜ ao de tempo correspondente

`as taxas de varia¸

c˜ ao dos insumos “

dx

”. O

cronomˆ

etro

de uma empresa ´

e, com

frequˆ

encia, o controle de estoques...

E ainda interessante observar que a pala-´

vra “aproxima¸

c˜ ao”est´

a sendo usada num sentido

hist´

orico e folcl´

orico

: n˜

a existe

CAP

ITULO 2.´

DERIVADAS DE FUNC

OES BIVARIADAS˜

nenhuma fun¸

c˜ ao

C

para ser aproximada. A

aproxima¸

c˜ ao diferencial

´e

tudo que

se sabe sobre a fun¸

c˜ ao

C

, na pr´

atica ´

e

a fun¸

c˜ ao.

A aproxima¸

c˜ ao diferencial representa, desta forma uma modelagem da rea-

lidade a partir de dados obtidos estatiscamente.

Este exemplo tamb´

em mostra que a regra b´

asica para fazer produto de ma-

trizes ´

e que a

dimens˜

a

intermedi´

aria entre elas coincida, no presente caso o 4.

Podemos multiplicar uma matriz de ordem m

x

n por outra de ordem n

x

q

n˜ a interessando o valor de m e de q.

Exemplo 9

O esquema da ordem das matrizes na multiplica¸

c˜ ao.

A

n

x

m

B

m

x

q

→

C

n

x

q

em que os ´

ındices se encontram indicados em cada matriz.

H´

a mais alguma coisa que podemos explorar no exemplo acima: que signifi-

caria se os coeficientes que formam a linha 3 fossem

(^) dependentes dos coeficientes

que formam a linha 2

, proporcionais queremos dizer, neste caso. Seria in´

util e

consequentemente representaria ter um custo superior ao necess´

ario, mantˆ

e-los

no processo pois a terceira coordenada do ve

tor de varia¸

c˜ ao de custos

seria

proporcional `

a

segunda coordenada e portanto poderia ser obtido a partir da

segunda por simples multiplica¸

c˜ ao. A matriz

´otima

para esta analise econˆ

omica,

neste caso seria 2

x

4 eliminando-se uma linha de todas as matrizes.

Se uma matriz tiver linhas que dependam linearmente de outras, o pro-

blema pode ser simplificado eliminando-se as linhas

linearmente dependentes

n˜ a todas, obviamente, de modo que as restantes formem um

conjunto de linhas

linearmente independentes

Observa¸

c˜ ao

Dependˆ

encia linear e otimiza¸

c˜ ao.

A palavra chave aqui ´

e otimiza¸

c˜ ao

, se otimizou o controle eliminando linhas

linearmente

dependentes

da matriz que cont´

em os dados do processo industrial.

Se uma matriz tiver linhas que dependam linearmente uma das outras, o problema pode

ser simplificado eliminando-se as linhas

linearmente dependentes

menos

uma, que passa a

representar as outras.

Voltaremos mais a frente a discutir este conceito de dependˆ

encia linear.

Observa¸

c˜ ao

O que se conhece de uma fun¸

c˜ ao?

Uma pergunta poderia ser feita:

porque colocamos ˆ

enfase em

f (^) ′ ( a ) e n˜

a em

f (^) ( a ) ?

O

exemplo industrial

anterior em certa forma responde a esta quest˜

a.

Em geral n˜

a conhece-

mos

f

mas sim alguns de seus valores, digamos, numa cole¸

c˜ ao de n´

os

( a α ) α . E real´´

ıstico

acrescentar a hip´

otese de que tamb´

em podemos

medir

os valores de

f

numa fam´

ılia

( a α,β

(^) ) β

na vizinhan¸

ca de cada

mega-n´

o a α

de modo que podemos calcular

f (^) ′ ( a α )

aproximadamente

usando, o “levantamento” de dados,

f (^) ( a α,β

(^) ) β . Aqui

α, β

s˜ a multi-´

ındices, sendo

α

o multi-

´ındice que caracteriza os n´

os principais da rede e

β

caracterizam os n´

os finos na vizinhan¸

ca

de cada n´

o

a α . Para diferenci´

a-los chamamos estes diferentes n´

os de

mega-n´

os

(^) ou

micro-n´

os

.

Observe que a linguagem est´

a apenas aparentemente mais complexa que a usada no

C´ alculo univariado, porque agora estamos tratando de problemas multi-dimensionais, agora

tamb´

em os ´

ındices tem que ter mais coordenadas,

em princ´

ıpio o n´

umero de coordenadas das

vari´

aveis do problema.

DIFERENCIABILIDADE

Exerc´

ıcios 3

Deriva¸

c˜ ao parcial

1. Escreva na forma vetorial

3

a equa¸

c˜ ao da reta que passa nos pontos

P

1

= (

, P

2 = (

1. Encontre a equa¸

c˜ ao do plano que passa no ponto

e ´

e paralelo ao

plano

XOY.

1. Encontre a equa¸

c˜ ao do plano que passa pelos pontos

1. Determine a equa¸

c˜ ao do plano tangente ao gr´

afico da fun¸

c˜ ao

f (^) ( x, y

x 2 − y 2

x 2

y 2

no ponto

a, b, f

a, b

para:

(a)

a, b

(b)

a, b

, b

) ;

b

6 = 0

(c)

a, b

a,

(^) 0) ;

a

6 = 0

1. Calcule as derivadas parciais das fun¸

c˜ oes abaixo:

a)

h ( x, y

xy

ycos

( x +3)

b)

h ( x, y

sen

( x 2 )^

( x +3)

cos

( x +1)

c)

h ( x, y

ysen

( x )

y ( x +3)

d)

h ( x, y

1

( y − 2)(

x +3)

e)

h ( x, y

e x 2 ( y (^) + 3)(

x (^) + 1)

f )

h ( x, y

ysen

x ) ln

( x

g)

h ( ρ, θ

cos

( θ )

ρ

h)

h ( x, y

xln

( y )

( x +3)(

x +1)

i)

h ( x, y

sen

( x 2 )

x 2

y 2

j)

h ( x, y

y 2 ( x −

( x +5)(

y +3)(

y +1)

k)

h ( x, y

|x |

|y |

l)

h ( x, y

1

x 2

y 2

m)

h ( x, y

cos

2 ( x )

sen

2 (^ y )

n)

h ( x, y

x 2

y 3

o)

h ( s, t

s 2

| t |

h ( a, b

n

k ∑

be

ka

1. Descreva o dom´

ınio das fun¸

c˜ oes definidas na quest˜

ao anterior.

Todos os teoremas do C´

alculo univariado se aplicam aqui no que diz respeito

a existˆ

encia das derivadas parciais, assim como as regras operat´

orias e deriva¸

c˜ ao.

Uma ´

unica diferen¸

ca vai fazer com a teoria fique um pouco mais complexa.

Enquanto que no C´

alculo univariado a existˆ

encia da reta tangente j´

a dizia tudo,

agora a existˆ

encia das derivadas parciais ´

e apenas uma condi¸

c˜ ao necess´

aria para

a diferenciabilidade.

Vamos tirar da pr´

opria defini¸

c˜ ao a condi¸

c˜ ao necess´

aria e suficiente.

Ela

diz que uma fun¸

c˜ ao ´

e diferenci´

avel se tiver um plano tangente em cada um

dos pontos (

a, b, f

a, b

)) de seu gr´

afico. Tudo que precisamos ´

e “algebrisar” a

express˜

ao geom´

etrica “tangente”.

3 o ponto (

x, y, z

) da reta ´

e m´

ultiplo de um vetor dado.

CAP

ITULO 2.´

DERIVADAS DE FUNC

OES BIVARIADAS˜

Se compararmos com o caso univariado, isto significava que o limite

lim

∆

x

f (^) ( x

• ∆

x ) (^) −

f (^) ( x )

x

existisse. Como agora temos dois acr´

escimos,∆

x,

(^) ∆

y,

ficamos impossibilitadaos

de diretamente escrever a generaliza¸

c˜ ao usando a divis˜

ao, mas podemos dividir

pelo m´

odulo do vetor (∆

x,

(^) ∆

y ) e escrever uma condi¸

c˜ ao suficiente semelhante

`a

do caso univariado:

lim

|(∆

x, ∆

y ) |=

f ( x, y

(^) f (^) ( a, b

∂x∂f

(^) ( x

−

(^) a

) −

∂y∂f

(^) ( y (^) −

b ) |

x,

(^) ∆

y ) |

Se este limite existir, for zero, ent˜

ao

f

´e diferenci´

avel no ponto (

a, b

∈ W

e sua

derivada neste ponto ´

e o plano tangente, sendo os n´

umeros

∂x ∂f

∂y∂f

suas derivadas parciais neste ponto.

Isto ´

e um teorema:

Teorema

Diferenciabilidade de fun¸

c˜ oes bivariadas

Se

W

f

R

estiver definida em todos os pontos de

W

e em cada ponto

a, b

∈ W

se tiver

lim

|(∆

x, ∆

y ) |=

f ( x, y

(^) f (^) ( a, b

∂x∂f

(^) ( x

−

(^) a

) −

∂y∂f

(^) ( y (^) −

b ) |

x,

(^) ∆

y ) |

se e somente se

o plano

z

−

(^) f (^) ( a, b

∂x∂f

x

−

(^) a

) +

∂y∂f

y

−

b )

for tangente ao gr´

afico de

f

no ponto

a, b, f

a, b

Dem

Antes de diretamente prosseguir fazendo a demonstra¸

c˜ ao, vamos fazer alguns coment´

arios.

Uma das condi¸

c˜ oes que n˜

ao fica diretamente vis´

ıvel a partir do teorema ´

e que para que

f

seja

diferenci´

avel ´

e preciso poder calcular o quociente acima considerando um vetor

(∆

x,

(^) ∆

y )

a volta do ponto

( a, b

) ∈ W

. Consequentemente se

W

tiver uma fronteira, n˜

ao poderemos

calcular derivadas na fronteira usando aquela express˜

ao a n˜

ao ser que anexemos a condi¸

c˜ ao

( a

• ∆

x, b

(^) + ∆

y ) ∈ W

,

que equivale, no caso univariado, as derivadas laterais. Para evitar esta complica¸

c˜ ao o teo-

rema em geral ´

e enunciado com a hip´

otese “

W

´e aberto”. Vamos prosseguir com a demons-

tra¸

c˜ ao usando esta hip´

otese para evitar os detalhes do que se possa passar sobre a fronteira.

(

⇒

) Ent˜

ao, por hip´

otese, em cada ponto

( a, b

) ∈ W

vale

lim

| (∆

x, ∆ y )| =

|f ( x, y

) (^) −

(^) f ( a, b

) −

∂x∂f

(^) ( x (^) −

(^) a ) −

∂y∂f

(^) ( y − (^) b ) |

| (∆

x, (^) ∆

y ) |

= 0

DIFERENCIABILIDADE

Como numerador e denominador tem limite

0

ent˜

ao esta condi¸

c˜ ao indica que o zero do

numerador ´

e de

(^) ordem

(^) menor do que o zero do denominador que ´

e uma express˜

ao quadr´

atica

isto quer dizer que o plano

f (^) ( a, b

) (^) −

∂x∂f

(^) ( x (^) −

a ) (^) −

∂y∂f

(^) ( y − (^) b )

e o gr´

afico de

(^) z

=

f (^) ( x, y

) (^) tem um grau de aproxima¸

c˜ ao superior ao de uma fun¸

c˜ ao quadr´

atica,

isto ´

e o que caracteriza uma tangˆ

encia, portanto o plano

f (^) ( a, b

) (^) −

∂x∂f

(^) ( x (^) −

a ) (^) −

∂y∂f

(^) ( y − (^) b )

´e tangente ao gr´

afico de

f

e pela defini¸

c˜ ao de derivada

f

´e diferenci´

avel em todos os pontos

do

interior

de

W

.

(

⇐

) Reciprocamente, se o plano

f (^) ( a, b

) (^) −

∂x∂f

(^) ( x (^) −

a ) (^) −

∂y∂f

(^) ( y − (^) b )

for tangente ao gr´

afico, por defini¸

c˜ ao de tangˆ

encia se tem o limite

lim

| (∆

x,

∆ y ) | =

| f ( x, y

) (^) −

f (^) ( a, b

) (^) −

∂x∂f

(^) ( x

− (^) a ) (^) −

∂y∂f

(^) ( y (^) −

(^) b ) |

| (∆

x,

(^) ∆

y ) |

= 0

q.e.d.

O teorema se generaliza imediatamente para um n´

umero qualquer de vari´

aveis

com alguma dificuldade notacional.

A express˜

ao de

diferenciabilidade

em duas ou mais vari´

aveis ´

e

qualitativa-

mente

superior a defini¸

c˜ ao univariada. Para come¸

car observe que usamos dire-

tamente a express˜

ao da f´

ormula de Taylor do primeiro grau. No caso univariado,

compare, isto ´

e desnecess´

ario, mas pode ser feito, a diferen¸

ca se encontra em

que agora as express˜

oes s˜

ao vetoriais o que nos for¸

cou a correr para uma ex-

press˜

ao mais profunda que se encontra escondida no caso univariado onde tudo

´e n´

Se analisarmos com mais profundidade o teorema 2, vemos que ele afirmaumero.

que o gr´

afico da fun¸

c˜ ao

f

se assemelha fortemente ao plano tangente no ponto

de tangˆ

encia (

a, b, f

a, b

)) que ´

e, afinal de contas o motivo central da

f´ ormula

de Taylor.

. Isto nos indica que o estudo dos gr´

aficos das fun¸

c˜ oes multivariadas

se encontra intimamente ligado ao estudo das transforma¸

c˜ oes lineares que foi o

nosso objetivo inicial neste cap´

ıtulo. Justifica-se assim bem o esfor¸

co que fizemos

em entender as transforma¸

c˜ oes lineares como instrumento para compreender as

superf´

ıcies.

Observa¸

c˜ ao

A verdadeira natureza da derivada

No c´

alculo univariado a derivada ´

e “falsamente” um n´

umero, somente no c´

alculo multi-

variado ´

e que vamos encontrar a verdadeira natureza da derivada, uma matriz. Esta matriz

se chama Jacobiana, quer dizer, quando escrevemos

J ( f (^) ) P

queremos dizer

f (^) ′ ( P (^) )

em que

P

´e um ponto do dom´

ınio da fun¸

c˜ ao

f.

Na express˜

ao da diferenciabilidade, teorema 2, p´

agina 36, aparece a matriz

[ ∂x^ ∂f

∂y∂f

]

aplicado ao vetor

(∆

x, (^) ∆

y ) . Esta ´

e a derivada de

f.

CAP

ITULO 2.´

DERIVADAS DE FUNC

OES BIVARIADAS˜

Defini¸

c˜ ao 5

Jacobiana

A matriz formada pelas derivadas parciais, calculadas em um ponto

P

∈ W

´e a derivada de

f

e se chama “Jacobiana de

f (^) ”.

No caso particular em que

f

: W →

R

for uma fun¸

c˜ ao num´

erica, a

J

f (^) )

se

chama “gradiente”:

J

f (^) ) =

grad

f ) .

Exerc´

ıcios 4

Derivada, diferencial, gradiente

1. Escreva

grad

h )

em cada um dos casos abaixo:

a)

h ( x, y

xy

ycos

( x +3)

b)

h ( x, y

sen

( x 2 )

( x +3)

cos

( x +1)

c)

h ( x, y

ysen

( x )

y ( x +3)

d)

h ( x, y

1

( y − 2)(

x +3)

e)

h ( x, y

e x 2 ( y (^) + 3)(

x (^) + 1)

f )

h ( x, y

ysen

x ) ln

( x

g)

h ( ρ, θ

cos

( θ )

ρ

h)

h ( x, y

xln

( y )

( x +3)(

x +1)

i)

h ( x, y

sen

( x 2 )^

x 2

y 2

j)

h ( x, y

y 2 ( x −

( x +5)(

y +3)(

y +1)

k)

h ( x, y

|x |

| y |

l)

h ( x, y

1

x 2

y 2

m)

h ( x, y

cos

2 ( x )

sen

2 ( y )

n)

h ( x, y

x 2

y 3

o)

h ( s, t

s 2

|t |

h ( a, b

∑n

k

be

ka

1. Em cada um dos casos abaixo escreva a matriz

J

h ) , indique o dom´

ınio e

contra dom´

ınio de

h

e de

J

h ) .

a)

h ( x, y

( x,y

)

ycos

( x +3)

b)

h ( x, y

sen

( x 2 )^

( x +3)

cos

( x +1)

cos

( x )

( x +3)

cos

( x +1)

c)

h ( x, y

(^) sen

( x )

y ( x +3)

cos

( y )

y ( x +3)

d)

h ( x, y

1

( y − 2)(

x +3)

x

( y − 2)(

x +3)

e)

h ( x, y

e x 2 , e

y 2 )

f )

h ( x, y, z

ysen

x ) ln

( x

, xyz

g)

h ( ρ, θ

(^) cos

( θ )

ρ

(^) sen

( θ )

ρ

h)

h ( x, y

xln

( y )

( x +3)(

x +1)

yln

( x )

( x +3)(

x +1)

i)

h ( x, y, z

(^) sen

( x 2 )

x 2

y 2

, x, z

j)

h ( x, y, z

y 2 ( x −

( x +5)(

y +3)

(^) , xy, yz

k)

h ( x, y

| x |

|y | , | y |

| x | )

l)

h ( x, y

1

x 2

y 2 (^) ,

x

x 2

y 2 )

m)

h ( x, y

cos

2 ( x )

sen

2 ( y )

n)

h ( x, y, z

x 2

z

y 3

o)

h ( s, t

(^) s 2

| t | , t 2

|t | )

h ( a, b

n

k ∑

be

ka

,

n

k=0∑

ae

kb

)

Opera¸

c˜ oes e derivadas

Come¸

camos por multiplicar matrizes, acima o fizemos com matrizes 3

x

4 e

x

1. Falemos agora da soma de matrizes. A soma de matrizes traduz um con-

ceito da f´

ısica: a

superposi¸

c˜ ao

. Se

A

J

f ) =

f (^) ′ ( a ) e

B

J

g ) =

g

(′ a ) e se pu-

dermos somar as duas fun¸

c˜ oes

f, g

ent˜

a tamb´

em poderemos somar

f (^) ′ ( a ) , f

(^) ′ ( b ) . E´

um princ´

ıpio do C´

alculo:

se pudermos somar duas fun¸

c˜ oes, poderemos tamb´

em