Baixe Algebra booleana e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity!
Tecnologia dos Computadores – Prof. Anibal Alberto Vilcapoma Ignacio
MODULO -I.
ALGEBRA BOOLEANA
Minimização de Funções
Os circuitos digitais de computadores são projetados e contruidos baseado na algebra Boolena. O matemático ingles George Boole propos os principios básicos em
- Em 1938, Claude Shannon sugeriu que a álgebra booleana poderia ser usada para solucionar para solucionar problemas relativos ao projeto de circuitos de comutação de relés. Estas sugerencias foram usadas ná análise e projeto de circuitos eletronícos digitais. Na Análise constitui uma forma economica de descrever a funação de um circuito digital e no projeto a álgebra booleana pode ser usada para desenvolver uma implementação simplificada de uma funação.
A ágebra booleana faz uso de váriáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das variáveis e constantes unicamente podem asumir dois valores: sim/não, verdade/falso, 1/0.
Operadores do algebra Booleana
O três principais operadores da álgebra booleana são os operadores NOT, AND e
OR.
O operador unário NOT é representado como Ā. O resultado desta operação sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. Isto é, se a A = 1 então Ā = 0 e vice-versa. Seu simbolo é a tabela verdade é mostrado na figura 1. A tabela verdade é a descrição dos possiveis valores de entrada junatamente com cada das saidas possiveis.
Figura 1- Operador NOT: simbolo e Tabela verdade
O operador AND é representado pelo símbolo · , como em A · B. O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as
A Ā
variáveis forem iguais a 1. Caso contrário, o resultado é 0. Esta operação é conhecida como produto lógico. Seu simbolo é a tabela verdade é mostrado na figura 2.
Figura 2 – Operador AND: simbolo e Tabela Verdade
O operador OR é representado pelo símbolo + , como em A + B. O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 0. Esta operação é conhecida como soma lógica.
Figura 3 – Operador OR: simbolo e Tabela Verdade
Alem destas operações básicas podemos encontrar outros operações que são resultados destas operações básicas. Uma destas operações é a operação XOR, onde unicamente para valores de entradas iguais tem se o resultado como 0. Como pode ser visto na figura 4.
Figura 4 – Operador XOR: simbolo e Tabela Verdade
Existem várias leis descritas pela álgebra de Boole que são úteis no tratamento das equações lógicas, como por exemplo:
Lei da identidade: A + 0 = A e A · 1 = A;
A B A. B
A B A + B
A B XOR
4 combinações de valores de A,B uma linha para cada combinação
A B F(A,B) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Exemplo 2 : DeMorgan X Y X.Y
X Y X+Y X Y
As 2 tabelas-verdade são idênticas, portanto a igualdade das funções é verdadeira
Funções Booleanas e Circuitos Logicos.
Circuito Lógico Os circuitos lógicos são implementações de funções booleanas. Quando se deseja construir um circuito lógico relativamente simples, faz-se uso de um circuito integrado. Na figura 5 pode-se ver uma imagem de um Circuito Integrado.
Figura 5- Circuito Integrado
Portas Logicas
Portas lógicas são dispositivos que podem operar um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função implementada no circuito.
X Y X Y X.Y
Figura 6- Portas Logicas
Onde x1,x2,...,xn podem tomar os valores 0 ou 1.
Um computador é constituido por uma infinidade de circuitos lógicos, que executam as seguintes funções básicas:
a. realizam operações matemáticas b. controlam o fluxo dos sinais c. armazenam dados
Naturalmente, a cada operação lógica estudada na Álgebra de Boole está associada a respectiva porta lógica.
Atraves de uma função booleanas pode-se construir um circuito logico. Cada expresào que soma dentro de uma função logica é chamada de termo e cada componente que multiplica é chamado de literal. Cada termo é uma porta e cada literal é uma entrada para uma porta. Podem tambem ser considerado como portas adicionais os inversores na entrada.
Exemplo 3. Considere a seguinte funcao Boolena e contrua o circuito logico corespondente
.
F( X,Y,Z) X.Y.Z X.Y.Z X.Z
Termo Literais
Figura 8- circuito simplificado
Mintermos e Maxtermos
O método para definir uma função booleana através de uma tabela verdade a expresão algebrica da função F é igual a soma dos termos-produtos para os quais a saida é igual 1. Cada Mintermo é igual ao termo produto no qual cada variavel aparece exatamente 1 vez complementada ( Se o bit da tabela igual 0) ou não (se bit da tabela igual 1). A tabela verdade da função com n variaveis tem 2n^ Mintermos. Uma forma de representar a função booleana dada pela tabela verdade é igual a soma logica dos Mintermos que produzem 1 na função.
Exemplo 5. Representar a função booleana da seguinte Tabela verdade.
X Y Z F MinTermos (^0 0 0 1) X.Y.Z
0 0 1 0 (^0 1 0 1) X.Y.Z
0 1 1 0 1 0 0 0 (^1 0 1 1) X.Y.Z
(^1 1 0 0) X.Y.Z
1 1 1 1 X.Y.Z
A função booleana é
F X.Y.Z X.Y.Z X.Y.Z X.Y.Z X.Y.Z
Os Maxtermos é o termo-soma no qual cada variavel aparece no qual cada variavel aparece exatamente 1 vez complementada (se o bit da tabela é igual a 1 ) ou não (se bit da tabela é 0)
Exemplo 6.
Representar a função booleana da seguinte Tabela verdade.
X Y Z F (^) F MaxTermos
0 0 0 1 0 (^0 0 1 0 1) X Y Z
0 1 0 1 0 (^0 1 1 0 1) X Y Z
(^1 0 0 0 1) X Y Z
(^1 0 1 1 0) X Y Z
(^1 1 0 0 1) X Y Z
1 1 1 1 0
A função booleana é
F (X Y Z).(X Y Z).(X Y Z).(X Y Z).(X Y Z).(X Y Z)
Exemplo 7.
Representar Tabela verdade, a função booleana e o circuito logico do seguinte problema.
Imaginemos um sistema de segurança de uma loja num centro comercial. Há um sensor de contacto que indica que a porta está fechada. Existe outro sensor infravermelho que, ligado, indica que não há pessoas ou coisas a moverem-se no interior da loja. Há, também, um alarme que é accionado quando um dos dois sensores é desligado. Isto é, basta um único sensor ser desactivado para soar o alarme. Denominando cada sensor pelos símbolos A e B:
A = "sensor de contacto" , {1: porta fechada, 0:porta aberta}
B = "sensor infravermelho", {1:Não há pessoas,0:Existe pessoas}
Temos: S=f(A,B), em que f é a função alarme.
Sugerimos então que tentes completar a tabela de verdade da função S:
A B S
