Algebra Linear, Notas de estudo de Eletrônica

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Série Bibliográfica Unit

ÁLGEBRA LINEAR

Jouberto Uchôa de Mendonça Reitor

Amélia Maria Cerqueira Uchôa Vice-Reitora

Jouberto Uchôa de Mendonça Junior Pró-Reitoria Administrativa - PROAD

Ihanmarck Damasceno dos Santos Pró-Reitoria Acadêmica - PROAC

Domingos Sávio Alcântara Machado Pró-Reitoria Adjunta de Graduação - PAGR

Temisson José dos Santos Pró-Reitoria Adjunta de Pós-Graduação e Pesquisa - PAPGP

Gilton Kennedy Sousa Fraga Pró-Reitoria Adjunta de Assuntos Comunitários e Extensão - PAACE

Jane Luci Ornelas Freire Gerente do Núcleo de Educação a Distância - Nead

Andrea Karla Ferreira Nunes Coordenadora Pedagógica de Projetos - Nead

Lucas Cerqueira do Vale Coordenador de Tecnologias Educacionais - Nead

Equipe de Elaboração e Produção de Conteúdos Midiáticos: Alexandre Meneses Chagas - Supervisor Ancéjo Santana Resende - Corretor Andira Maltas dos Santos – Diagramadora Bruno Costa Pinheiro - Webdesigner Claudivan da Silva Santana - Diagramador Edilberto Marcelino da Gama Neto – Diagramador Edivan Santos Guimarães - Diagramador Fábio de Rezende Cardoso - Webdesigner Geová da Silva Borges Junior - Ilustrador Márcia Maria da Silva Santos - Corretora Matheus Oliveira dos Santos - Ilustrador Monique Lara Farias Alves - Webdesigner Pedro Antonio Dantas P. Nou - Webdesigner Rebecca Wanderley N. Agra Silva - Designer Rodrigo Otávio Sales Pereira Guedes - Webdesigner Rodrigo Sangiovanni Lima - Assessor Walmir Oliveira Santos Júnior - Ilustrador

Redação: Núcleo de Educação a Distância - Nead Av. Murilo Dantas, 300 - Farolândia Prédio da Reitoria - Sala 40 CEP: 49.032-490 - Aracaju / SE Tel.: (79) 3218- E-mail: [email protected] Site: www.ead.unit.br

Impressão: Gráfica Gutemberg Telefone: (79) 3218- E-mail: [email protected] Site: www.unit.br

Banco de Imagens: Shutterstock Copyright © Sociedade de educação Tiradentes.

F475a Figueirêdo. Marcos José Bastos Álgebra Linear / Marcos José Bastos Figueirêdo. – Aracaju: UNIT, 2010. 128 p.: il. : 22 cm. Inclui bibliografia

1. Álgebra Linear I. Universidade Tira- dentes – Educação à Distância. II. Titulo CDU: 512.

Prezado(a) estudante,

A modernidade anda cada vez mais atrelada ao tempo, e a educação não pode ficar para trás. Prova disso são as nossas disciplinas on-line, que possibilitam a você estudar com o maior conforto e comodidade possível, sem perder a qualidade do conteúdo.

Por meio do nosso programa de disciplinas on-line você pode ter acesso ao conhecimento de forma rápida, prática e eficiente, como deve ser a sua forma de comunicação e interação com o mundo na modernidade. Fóruns on-line, chats, podcasts, livespace, vídeos, MSN, tudo é válido para o seu aprendizado.

Mesmo com tantas opções, a Universidade Tiradentes optou por criar a coleção de livros Série Bibliográfica Unit como mais uma opção de acesso ao conhecimento. Escrita por nossos professores, a obra contém todo o conteúdo da disciplina que você está cursando na modalidade EAD e representa, sobretudo, a nossa preocupação em garantir o seu acesso ao conhecimento, onde quer que você esteja.

Desejo a você bom aprendizado e muito sucesso!

Professor Jouberto Uchôa de Mendonça Reitor da Universidade Tiradentes

Apresentação

Sumário

 - Lineares Parte 1: Matrizes e Sistemas de Equações 

• Tema 1: Matrizes
• 1.1 Conceitos básicos de matrizes
  • 1.2 Tipos de matrizes.
  • 1.3 Operações com Matrizes
  • 1.4 Matriz Transposta
  • Resumo
• Tema 2: Sistemas de equações lineares
  • 2.1 Determinantes
  • 2.2 Equação linear
  • 2.3 Classificação de um Sistema Linear
  • 2.4 Sistemas homogêneos
  • Resumo. - Lineares Parte 2: Espaços Vetoriais e Transformações
• Tema 3: Espaços vetoriais
  • 3.1 Vetores
  • 3.2 Espaço Vetorial
  • 3.3 Combinações lineares
  • 3.4 Subespaços vetoriais.
  • Resumo
• Tema4: Transformações lineares. - lineares. 4.1 Conceitos básicos e exemplos de transformações
  • 4.2 Dependência e independência linear
  • 4.3 Base e dimensão
  • 4.4 Noções de Espaço Vetorial com produto interno.
  • Resumo.
• Referências

Orientação para Estudo

A disciplina propõe orientá-lo em seus procedi- mentos de estudo e na produção de trabalhos cien- tíficos, possibilitando que você desenvolva em seus trabalhos pesquisas, o rigor metodológico e o espíri- to crítico necessários ao estudo.

Tendo em vista que a experiência de estudar a distância é algo novo, é importante que você observe algumas orientações:

• Cuide do seu tempo de estudo! Defina um horário regular para acessar todo o conteúdo da sua disciplina disponível neste material impresso e no Ambiente Virtual de Aprendi- zagem (AVA). Organize-se de tal forma para que você possa dedicar tempo suficiente para leitura e reflexão;
• Esforce-se para alcançar os objetivos propos- tos na disciplina;
• Utilize-se dos recursos técnicos e humanos que estão ao seu dispor para buscar escla- recimentos e para aprofundar as suas re- flexões. Estamos nos referindo ao contato permanente com o professor e com os cole- gas a partir dos fóruns, chats e encontros presenciais. Além dos recursos disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem – AVA.

Para que sua trajetória no curso ocorra de forma tranquila, você deve realizar as atividades propostas e estar sempre em contato com o professor, além de acessar o AVA.

Para se estudar num curso a distância deve-se ter a clareza que a área da Educação a Distância pauta-se na autonomia, responsabilidade, coopera- ção e colaboração por parte dos envolvidos, o que requer uma nova postura do aluno e uma nova forma de concepção de educação.

Por isso, você contará com o apoio das equipes pedagógica e técnica envolvidas na operacionaliza- ção do curso, além dos recursos tecnológicos que contribuirão na mediação entre você e o professor.

Parte 1

MATRIZES E SISTEMAS DE

EQUAÇÕES LINEARES

14 Álgebra Linear

1.1 Conceitos básicos de matrizes

Uma matriz do tipo m x n é uma tabela de números dispostos em m linhas e n colunas.

Por exemplo, um volante da Mega-Sena é uma matriz 6 x 10. As dezenas estão dispostas em 6 linhas e 10 colunas.

As linhas de uma matriz são numeradas de cima para baixo, e as colunas da esquerda para a direita.

Veja:

APLICAÇÃO DE MATRIZES EM COMPUTAÇÃO

As matrizes são muito utilizadas na computação para aplicações da teoria dos grafos, computação gráfica, distribuição de temperatu- ra de equilíbrio , tomografia computadorizada, criptografia, genética, para resolver sistemas de equações, etc.

Tema 1 | Matrizes 15

REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES

Os sinais ( ) e [ ] são usados como “molduras” das matrizes; as letras maiúsculas são usadas para dar nomes às matrizes e as letras minúsculas correspondentes representam seus elementos.

Exemplos:

O símbolo aij representa o elemento da matriz A, que se encon- tra na linha i e na coluna j.

Por exemplo, na matriz , tipo, 3 x 2 o elemento

a 32 representa o elemento que se encontra na linha 3 e na coluna 2 , que é o 18. Podemos, então, escrever:

1x

3x

2x

2x

3x

3x

Tema 1 | Matrizes 17

2. Escreva a matriz A = (aij ),3×2 , tal que aij=2i+j

Resolução:

A matriz A é do tipo 3 x 2 , isto é:

Para encontrarmos a matriz A, devemos proceder a substituição de i e de j , pelos seus valores na condição fornecida, ou seja, aij=2i+j.

Lembre-se que: iindica a linha e jindica a coluna.

Então, teremos:

a 11 =2(1)+1=3 a 12 =2(1)+2= a 21 =2(2)+1=5 a 22 =2(2)+2= a 31 =2(3)+1=7 a 32 =2(3)+2=

Após a substituição de i e j , encontramos a matriz

18 Álgebra Linear

INDICAÇÃO DE LEITURA COMPLEMENTAR

KOLMAN, Bernard HILL, David R. Introdução a Álgebra Linear com aplicações. 8a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

BOLDRINI, José Luiz. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra: 2006.

PARA REFLETIR

Neste primeiro tema introduzimos os conceitos básicos de matrizes e suas diversas aplicações em todos os ramos do conhecimento. É importante que você realize uma breve pesquisa sobre as aplicações das matrizes estudadas e as suas aplicações na computação.

Após a leitura e a pesquisa efetuada, reflita sobre a aplicabilidade das matrizes na área da computação e no desenvolvimento de softwares capazes de efetuar interação humana nos processos organizacionais das empresas.