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Funções trigonométricas: Substituições e integração, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Instituto Superior Politécnico de Viseu (ISPV)Geometria Analítica e Álgebra Linear

Documento que apresenta várias equações relacionadas a funções trigonométricas, incluindo as funções tangente hiperbólica, seno e cosseno de ordens superiores, e as equações da área de regiões limitadas pelas curvas trigonométricas. O texto também aborda a substituição de variáveis e a integração.

Tipologia: Exercícios

2020

Compartilhado em 20/11/2020

armindo-lopes-5
armindo-lopes-5 🇵🇹

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bg1
ANÁLISE MATEMÁTICA I
(2014 - 2015)
Mestrado Integrado em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
CADERNO DE EXERCÍCIOS
(exercícios propostos, tabelas e provas de avaliação de anos anteriores)
Docentes: José Carlos Petronilho
Raquel Caseiro
Maria João Rodrigues
Departamento de Matemática
Faculdade de Ciência e Tecnologia
Universidade de Coimbra
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ANÁLISE MATEMÁTICA I

Mestrado Integrado em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

CADERNO DE EXERCÍCIOS

(exercícios propostos, tabelas e provas de avaliação de anos anteriores)

Docentes: José Carlos Petronilho

Raquel Caseiro

Maria João Rodrigues

Departamento de Matemática

Faculdade de Ciência e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matem´atica I (2014/2015)

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores

Fun¸c˜oes Trigonom´etricas

y = sin x

− 2 π −

3 π

−π

π

2 π

3 π

π

π

y

x

y = cos x

− 2 π −

3 π

−π

π

2 π

3 π

π

π

y

x

y = tan x

3 π

−π

π

3 π

π

π

y

x

y = cot x

− 2 π −

3 π

−π

π

2 π

3 π

π

π

y

x

y = sec x =

cos x

3 π

−π −

π

3 π

π

π

y

x

y = csc x =

sin x

− 2 π −

3 π

−π −

π

2 π

3 π

π

π

y

x

Fun¸c˜oes Hiperb´olicas

y = sinh x

y =

e

x

← y = −

e

−x

y

x

y = cosh x

y =

e

x

−→ ← y =

e

−x

y

x

y = tanh x

y

x

y = coth x

y

x

y = sech x

y

x

y = csch x

y

x

Fun¸c˜oes Hiperb´olicas Inversas

y = argsinh x

y

x

y = argcosh x

y

x

y = argtanh x

y

x

y = argcoth x

y

x

y = argsech x

y

x

y = argcsch x

y

x

Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matem´atica I (2014/2015)

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores

PRIMITIVAS IMEDIATAS

Na lista de primitivas que se segue considera-se uma fun¸c˜ao f : I −→ IR diferenci´avel em

I, onde I ´e um intervalo de IR. Al´em disso, denotamos por C a constante de primitiva¸c˜ao

(arbitr´aria) e por a uma constante.

Fun¸c˜ao Primitiva

f

· sin f − cos f + C

f

· cos f sin f + C

f

· tan f − ln | cos f | + C

f

· cot f ln | sin f | + C

f

· sec f ln | sec f + tan f | + C

f

· csc f ln | csc f − cot f | + C

f

· sec

f tan f + C

f

· csc

f − cot f + C

f

· sec f · tan f sec f + C

f

· csc f · cot f − csc f + C

f

1 − f

arcsin f + C

ou

− arccos f + C

f

1 + f

arctan f + C

ou

-arccotf + C

f

|f | ·

f

arcsecf + C

ou

−arccscf + C

Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matem´atica I (2014/2015)

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores

REGRAS DE PRIMITIVAC¸ ˜AO

I - Potˆencias de fun¸c˜oes trigonom´etricas e hiperb´olicas

1. Potˆencias ´ımpares de sin x, cos x, sinh x e cosh x.

Destaca-se uma unidade `a potˆencia ´ımpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸c˜ao

atrav´es das f´ormulas fundamentais:

cos

x + sin

x = 1

cosh

x − sinh

x = 1.

2. Potˆencias pares de sin x, cos x, sinh x e cosh x.

Passam-se para o arco duplo atrav´es das f´ormulas:

sin

x =

(1 − cos 2x)

cos

x =

(1 + cos 2x)

sinh

x =

(cosh 2x − 1)

cosh

x =

(cosh 2x + 1).

3. Potˆencias pares e ´ımpares de tan x, cot x, tanh x e coth x.

Destaca-se tan

x (tanh

x) ou cot

x (coth

x) e aplica-se uma das f´ormulas:

tan

x = sec

x − 1 tanh

x = 1 − sech

x

cot

x = csc

x − 1 coth

x = 1 + csch

x

4. Potˆencias pares de sec x, csc x, sech x e csch x.

Destaca-se sec

x (sech

x) ou csc

x (csch

x) e ao factor resultante aplica-se uma das

f´ormulas:

sec

x = 1 + tan

x sech

x = 1 − tanh

x

csc

x = 1 + cot

x csch

x = coth

x − 1

5. Potˆencias ´ımpares de sec x, csc x, sech x e csch x.

Destaca-se sec

x (sech

x) ou csc

x (csch

x) e primitiva-se por partes come¸cando por

esse factor.

II - Produtos de potˆencias das fun¸c˜oes sin x e cos x (sinh x e cosh x)

1. Potˆencia ´ımpar de sin x (sinh x) por qualquer potˆencia de cos x (cosh x).

Destaca-se sin x (sinh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸c˜ao, atrav´es da f´ormula

fundamental:

sin

x = 1 − cos

x (sinh

x = cosh

x − 1).

2. Potˆencia ´ımpar de cos x (cosh x) por qualquer potˆencia de sin x (sinh x).

Destaca-se cos x (cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸c˜ao, atrav´es da f´ormula

fundamental:

cos

x = 1 − sin

x (cosh

x = 1 + sinh

x).

3. Potˆencia par de sin x (sinh x) por potˆencia par de cos x (cosh x).

Aplicam-se as f´ormulas:

sin 2x = 2 sin x cos x sinh 2x = 2 sinh x cosh x

sin

x =

1 − cos 2x

sinh

x =

cosh 2x − 1

cos

x =

1 + cos 2x

cosh

x =

cosh 2x + 1

III - Produtos em que aparecem factores do tipo sin mx ou cos nx, ou

produtos em que aparecem factores do tipo sinh mx ou cosh nx

Aplicam-se as f´ormulas:

sin x sin y =

(cos(x − y) − cos(x + y)) sinh x sinh y =

(cosh(x + y) − cosh(x − y))

cos x cos y =

(cos(x + y) + cos(x − y)) cosh x cosh y =

(cosh(x + y) + cosh(x − y))

sin x cos y =

(sin(x + y) + sin(x − y)) sinh x cosh y =

(sinh(x + y) + sinh(x − y))

4. C´alculo das constantes

As constantes A

i

, P

i

e Q

i

podem ser determinadas conjuntamente pelo m´etodo dos coefi-

cientes indeterminados. H´a no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,

que descrevemos em seguida.

(a) C´alculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (x − a)

m

(seja ψ(x) tal que g(x) =

ψ(x)(x − a)

m

(i) se m = 1, apenas temos de determinar uma constante A

, que ´e dada por:

A

[

R(x)

ψ(x)

]

x=a

(ii) se m > 1, as constantes calculam-se pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados

(a constante A

ainda pode ser obtida como em (i)).

(b) C´alculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(x − p)

+ q

]

n

(seja ψ(x) tal que

g(x) = ψ(x)[(x − p)

+ q

]

n

(i) se n = 1, obtemos as constantes P

e Q

fazendo

[

P

x + Q

R(x)

ψ(x)

]

x=p+qi

(ii) se n > 1, as constantes calculam-se pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados

(as constantes P

e Q

ainda podem ser obtidas como em (i)).

Nota: Caso apare¸cam elementos simples da forma

[(x − p)

+ c]

n

com n > 1, estes podem ser primitivados usando a seguinte f´ormula de recorrˆencia:

P

[(x − p)

+ c]

n

c

[

2 n − 2

×

x − p

[(x − p)

+ c]

n− 1

2 n − 3

2 n − 2

× P

[(x − p)

+ c]

n− 1

)]

Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matem´atica I (2014/2015)

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores

PRIMITIVAC¸ ˜AO POR SUBSTITUIC¸ ˜AO

Sejam a, b, c e d constantes reais. A nota¸c˜ao R(...) indica que se trata de uma fun¸c˜ao

racional (envolvendo apenas somas, diferen¸cas, produtos e quocientes) do que se encontra entre

parˆentesis.

Tipo de Fun¸c˜ao Substitui¸c˜ao

(x

+ a

k

, k ∈ IN, k > 1 x = a tan t

P (x)

(ax

+ bx + c)

k

, k ∈ IN, k > 1 , b

− 4 ac < 0,

onde P (x) ´e um polin´omio de grau inferior a 2k ax +

b

= t

P (x)

((x − p)

+ q

k

, k ∈ IN, k > 1,

onde P (x) ´e um polin´omio de grau inferior a 2k x = p + qt

R(a

rx

, a

sx

, ...) a

mx

= t onde m = m.d.c.(r, s, ...)

R(log

a

x) t = log

a

x

R

x,

ax + b

cx + d

p

q

ax + b

cx + d

r

s

ax + b

cx + d

= t

m

onde m = m.m.c.(q, s, ...)

R(x, (ax + b)

p

q

, (ax + b)

r

s

, ...) ax + b = t

m

onde m = m.m.c.(q, s, ...)

R(x, x

p

q

, x

r

s

, ...) x = t

m

onde m = m.m.c.(q, s, ...)

R(x,

a

− b

x

) x =

a
b

sin t ou x =

a
b

cos t ou x =

a
b

tanh t

R(x,

a

+ b

x

) x =

a
b

tan t ou x =

a
b

sinh t

R(x,

b

x

− a

) x =

a
b

sec t ou x =

a
b

cosh t

R(x,

x,

a − bx) x =

a
b

sin

t ou x =

a
b

cos

t

R(x,

x,

a + bx) x =

a
b

tan

t

Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra

An´alise Matem´atica I

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores

2014/2015 Caderno de Exerc´ıcios

1. Na figura est˜ao representados os gr´aficos de duas fun¸c˜oes f e g.

f

g

x

y

f

g

f

g

f

g

f

g

(a) Indique os valores de f (−4) e g(0).

(b) Indique os valores de x para os quais f (x) = g(x).

(c) Em que intervalos f ´e decrescente?

(d) Indique o dom´ınio e o contradom´ınio de f e g.

2. Diga, justificando, se a curva dada ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao de x. Se for o caso, indique o dom´ınio

e o contradom´ınio da fun¸c˜ao.

(a)

x

y

(b)

x

y

(c)

x

y

3. Quais dos seguintes subconjuntos de R

s˜ao gr´aficos de fun¸c˜oes? Esboce cada um dos conjuntos, e

se o conjunto for o gr´afico de uma fun¸c˜ao, indique o dom´ınio e o contradom´ınio.

(a) {(x, y) : x

+ y

(b) {(x, y) : x

+ y

= 4 e y ≥ 2 }

(c) {(x, y) : y =

4 − x

(d) {(x, y) : |x| + |y| = 1}

4. Determine o dom´ınio de cada uma das seguintes fun¸c˜oes:

(a) f (x) =

x
x
+2x− 1

(b) f (t) =

t − 1

(c) f (x) =

x(x − 1)(x − 2)

(d) f (x) =

x
x

(e) f (x) =

sen x

5. Determine o dom´ınio e esbo¸ce o gr´afico de cada uma das seguintes fun¸c˜oes:

(a) f (x) = 2x − 3

(b) f (x) = x

+ 2x − 1

(c) f (x) =

x − 5

(d) f (x) = |x|

(e) f (x) = x − |x|

(f) f (x) = sgn x =

x
|x|

(g) f (x) =

x
+5x+
x+

(h) f (x) =

x + 2 se x ≤ − 1

x

se x > − 1

(i) f (x) =

− 1 se x ≤ − 1

3 x + 2 se |x| < 1

7 − 2 x se x ≥ 1

6. Encontre a express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao cujo gr´afico ´e a curva dada.

(a) O segmento de recta unindo os pontos

(− 2 , 1) e (4, −6).

(b) O segmento de recta unindo os pontos

(− 3 , −2) e (6, 3).

(c) A parte inferior da par´abola

x + (y − 1)

(d) A parte superior da circunferˆencia

(x − 1)

+ y

7. Deduza a express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao descrita, e indique o seu dom´ınio.

(a) Um rectˆangulo tem um per´ımetro de 20 metros. Expresse a ´area do rectˆangulo como uma

fun¸c˜ao do comprimento de um dos seus lados.

(b) Um rectˆangulo tem uma ´area de 16 m

. Expresse o per´ımetro do rectˆangulo como uma fun¸c˜ao

do comprimento de um dos seus lados.

(c) Defina a ´area de um triˆangulo equil´atero como uma fun¸c˜ao do comprimento de um lado.

(d) Expresse a ´area da superf´ıcie de um cubo como uma fun¸c˜ao do seu volume.

8. Num determinado pa´ıs, o imposto sobre o rendimento singular ´e cobrado da seguinte forma: ficam

isentos os que tˆem rendimento at´e 10.000 EUR; aos que tˆem um rendimento acima de 10.000 EUR e

at´e 20.000 EUR ´e cobrado um imposto de 10%; e acima de 20.000 EUR ´e-lhes cobrado um imposto

de 15%.

(a) Esboce o gr´afico da percentagem I cobrada sobre o rendimento R.

(b) Qual o montante do imposto cobrado sobre um rendimento de 14.000 EUR? E sobre 26. 000

EUR?

(c) Esboce o gr´afico do montante de imposto T cobrado sobre o rendimento R.

9. Em cada um dos casos, averigue se f ´e uma extens˜ao ou uma restri¸c˜ao de g.

(a) f (x) =

x
x

, g(x) =

x+
x
+x+

(b) f (x) = |x|, g(x) = (

x)

(c) f (x) =

x
x+

, g(x) =

x
x+

(d) f (x) =

1 − x+

|x|, g(x) =

| 1 − x|+

x

10. Considere a fun¸c˜ao

f (x) =

x se 0 ≤ x ≤ 1

2 − x se 1 < x < 2

Represente graficamente uma extens˜ao de f a R que

(a) seja par.

(b) seja ´ımpar.

(c) tenha per´ıodo 2.

(b) Esboce o gr´afico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e

120 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma f´ormula para V (t) em

termos de H(t).

(c) Esboce o gr´afico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 5

segundos e 240 volts forem aplicados instantaneamante no circuito. Escreva uma f´ormula para

V (t) em termos de H(t).

21. A fun¸c˜ao de Heaviside definida no exerc´ıcio 20 pode tamb´em ser utilizada para definir uma fun¸c˜ao

rampa y = ctH(t), que representa um crescimento gradual na voltagem ou corrente do circuito.

(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao rampa y = tH(t).

(b) Esboce o gr´afico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e

a voltagem crescer gradualmente at´e 120 volts num intervalo de 60 segundos. Escreva uma

f´ormula para V (t) em termos de H(t) para t ≤ 60.

(c) Esboce o gr´afico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 7

segundos e a voltagem crescer gradualmente at´e 100 volts num intervalo de 25 segundos.

Escreva uma f´ormula para V (t) em termos de H(t) para t ≤ 32.

22. (a) Expresse cada uma das seguintes fun¸c˜oes como soma de uma fun¸c˜ao par com uma fun¸c˜ao

´ımpar:

i. 3 − 2 x + x

− 5 x

ii. (x + 2) sen x − x

sen (5x)

iii. sen

x +

(b) Seja f : R → R. Observe que

f = E + O,

onde

E(x) =

(f (x) + f (−x))

O(x) =

(f (x) − f (−x)).

Mostre que E ´e par e que O ´e ´ımpar. Mostre que existe uma ´unica decomposi¸c˜ao de f como

soma de uma fun¸c˜ao par com uma fun¸c˜ao ´ımpar.

(c) Mostre que a soma de duas fun¸c˜oes pares (respectivamente ´ımpares) ´e uma fun¸c˜ao par (re-

spectivamente ´ımpar).

(d) O que podemos afirmar a respeito do produto de duas fun¸c˜oes pares? E o de duas fun¸c˜oes

´ımpares? E o de uma fun¸c˜ao par com uma fun¸c˜ao ´ımpar?

(e) Responda `a mesmas quest˜oes, considerando a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes no lugar do produto.

23. Indique quais das fun¸c˜oes cujos gr´aficos s˜ao apresentados a seguir s˜ao injectivas:

(a)

(b)

(c)

24. Considere as fun¸c˜oes definidas pelas seguintes express˜oes anal´ıticas. Supondo que o contradom´ınio

coincide com o conjunto de chegada, indique as fun¸c˜oes que tˆem inversa; se a inversa existir,

determine-a.

(a) f (x) = 7x

(b) f (x) = x

− 2 x + 5

(c) f (x) = sen x

(d) f (x) = arccos x

(e) f (x) = |x − 1 |

(f) f (x) =

2 x− 1
x

(g) f (x) = 3 +

x − 2

(h) f (x) = −3 + ln

x

(i) f (x) = 2

x

(j) f : R] − 1 , 0[ → R

x 7 →

x

se x ≤ − 1

1 − x se x ≥ 0

(k) f : R \ [− 1 , 0[ → R

x 7 →

x

se x < − 1

1 − x se x ≥ 0

25. Esboce o gr´afico de cada uma das seguintes fun¸c˜oes, e indique os respectivos dom´ınio e o con-

tradom´ınio:

(a) 2

x

(b) 2

x+

(c)

x

(d)

−x

(e) 3

−x

(f) − 3

x

(g) 2

|x|

(h) 3 − e

x

(i) − ln x

(j) ln (−x)

(k) ln |x|

(l) | ln x|

(m) log

(x + 5)

(n) log

(x + 5)

(o) 2 + senh(x − 1)

(p) −2 cosh (x + 1)

(q) | tgh (2x)|

(r) argsenh (−x)

(s) argcosh (−x)

(t) − argtgh x

26. Calcule o valor exacto de cada express˜ao:

(a) log

(b) log

(c) log

10 + log

20 − 3 log

(d) 2

log
3+log

(e) e

3 ln 2

27. Prove as seguintes igualdades:

(a) cos x + cos

x +

+ cos

x −

(b) sen (3x) = 3 sen x − 4 sen

x

(c) 1 + cos

x

= 2 cos

x

(d) tg (2x) =

1 −tg x
1+tg x

(e) cosh

x − senh

x = 1

(f) senh (x + y) = (senh x) · (cosh y) + (senh y) · (cosh x)

(g) senh (3x) = 3 senh (x) + 4 senh

(x)

28. Resolva as seguintes equa¸c˜oes:

(a)

x− 1
x+
2 x
x

(b)

x− 1
3 x+

(c) 2 sen x = −

(d) sen (2x) + sen

(e) cos x = sen

x − cos

x

(f) cos x + sen (2x) = 0

(g) 3

sen x+(sen x)·(tg x)

(h) | arcsin(x + 1)| =

(i) log

x =

+ log

(4x + 15)

(j) e

x

+ 4e

−x

(k) log

(sen x + 1) − 1 = 0

(l) log

(arctg x) + 3 log(arctg x) + 2 = 0

29. Para cada uma das seguintes afirma¸c˜oes, diga se ela ´e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique

porquˆe; se falsa, dˆe um exemplo que justifique a sua resposta.

(a) Se f for uma fun¸c˜ao, ent˜ao f (s + t) = f (s) + f (t).

36. Estude a continuidade das seguintes fun¸c˜oes, cujo dom´ınio deve sempre indicar.

(a) f (x) =

2 e

x

− 1 se x < 0

1 se x ∈ [0, 2]

sen(x) se x > 2

(b) f (x) =

x

se x < 0

x se x ≥ 0

(c) f (x) =

x cos

x

se x 6 = 0

0 se x = 0

(d) f (x) = arctg

x
x− 1

(e) f (x) = arccos

x
x

(f) f (x) = ln(cosh(x))

(g) f (x) =

2 senh x se x < 0

e −

e

x

se x ≥ 0

37. A for¸ca gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distˆancia r do centro

do planeta ´e

F (r) =

GMr
R

se r < R

GM
r

se r ≥ R

onde M ´e a massa da Terra, R o seu raio e G a constante gravitacional. F ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua

de r?

38. Seja f a fun¸c˜ao definida por

f (x) =

x

+ ln

sen(πx)

Mostre que f se anula em pelo menos um ponto do intervalo ]1, 2[.

39. Mostre que

(a) a equa¸c˜ao x

− 9 x

+ 7 = 0 tem trˆes solu¸c˜oes, uma em cada um dos intervalos ] − 1 , 0[, ]0, 1[ e

]6, 9[.

(b) a equa¸c˜ao cos x = x tem pelo menos uma solu¸c˜ao no intervalo ]0, 1[.

(c) a equa¸c˜ao ln x = e

−x

tem pelo menos uma solu¸c˜ao no intervalo ]1, 2[.

40. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [0, 1] e tal que 0 ≤ f (x) ≤ 1, para todos os valores de x no intervalo

[0, 1]. Mostre que existe c em [0, 1] tal que f (c) = c.

41. Para cada uma das seguintes afirma¸c˜oes, diga se ela ´e verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique

porquˆe; se falsa, dˆe um exemplo que justifique a sua resposta.

(a) lim

x→ 4

2 x

x − 4

x − 4

= lim

x→ 4

2 x

x − 4

− lim

x→ 4

x − 4

(b) lim

x→ 1

x

+ 6x − 7

x

+ 5x − 6

lim

x→ 1

(x

+ 6x − 7)

lim

x→ 1

(x

+ 5x − 6)

(c) lim

x→ 1

x − 3

x

+ 2x − 4

lim

x→ 1

(x − 3)

lim

x→ 1

(x

+ 2x − 4)

(d) Se lim

x→ 5

f (x) = 2 e lim

x→ 5

g(x) = 0, ent˜ao lim

x→ 5

f (x)

g(x)

n˜ao existe.

(e) Se lim

x→ 5

f (x) = 0 e lim

x→ 5

g(x) = 0, ent˜ao lim

x→ 5

f (x)

g(x)

n˜ao existe.

(f) Se lim

x→ 6

f (x)g(x) existe, ent˜ao ´e igual a f (6)g(6).

(g) Se lim

x→ 0

f (x) = +∞ e lim

x→ 0

g(x) = +∞, ent˜ao lim

x→ 0

(f (x) − g(x)) = 0

(h) Se a recta x = 1 for uma ass´ımptota vertical de y = f (x), ent˜ao f n˜ao est´a definida em 1.

(i) Se f (1) > 0 e f (3) < 0, ent˜ao existe um n´umero c entre 1 e 3 tal que f (c) = 0.

(j) Se f for cont´ınua em [− 1 , 1], e f (−1) = 4 e f (1) = 3, ent˜ao existe um n´umero r tal que |r| < 1

e f (r) = π.

42. A quantidade de carga Q em coloumbs que passa atrav´es de um ponto num fio at´e ao instante t

(medido em segundos) ´e dada por Q(t) = t

− 2 t

+ 6t + 2. Determine o valor da corrente em

amp`eres quando t = 0.5 e quando t = 1.

43. Determine os pontos da curva y = x

− x

− x + 1 onde a tangente ´e horizontal.

44. Uma part´ıcula move-se segundo a lei do movimento s = f (t), t ≥ 0, onde t ´e medido em segundos

e s em metros. Para

  • f (t) = t

− 10 t + 12

  • f (t) = t

− 9 t

+ 15t + 10

  • f (t) =
t
t

resolva os seguintes problemas:

(a) Determine a velocidade da part´ıcula no instante t.

(b) Quando ´e que a part´ıcula est´a em repouso?

(c) Quando ´e que est´a a movimentar-se no sentido positivo?

(d) Determine o espa¸co total percorrido durante os 8 primeiros segundos.

45. Considere a seguinte fun¸c˜ao:

g(x) =

− 1 − 2 x se x < − 1

x

se − 1 ≤ x ≤ 1

x se x > 1

(a) Determine o conjunto dos pontos onde g ´e diferenci´avel.

(b) Determine a express˜ao anal´ıtica de g

(c) Esboce os gr´aficos de g e de g

46. Supondo que h(x) = f (g(x)) e que g(3) = 6, g

(3) = 4, f

(3) = 2, f

(6) = 7, determine h

47. Supondo que w = u ◦ v e que u(0) = 1, v(0) = 2, u

(0) = 3, u

(2) = 4, v

(0) = 5 e v

determine w

48. Calcule a derivada de cada uma das seguintes fun¸c˜oes:

(a) g(x) = x

x

(b) f (x) = 5 +

x
+4x− 3
x

(c) v = x

x +

x
x

(d) y =

3 t− 7
t
+5t− 4

(e) y =

x
+x

(f) y =

e

x

x+e

x

(g) f (x) = sen x + cos x

(h) f (x) = e

x

sen x

(i) f (x) =

tg x− 1
sec x

(j) y = x sen x cos x

(k) y =

1 + x

(l) y = sen (e

x

(m) f (t) =

t −

t

(n) f (t) = tg

1 + tg t

(o) g(x) = (3x − 2)

(5x

− x + 1)

(p) y = e

x cos x

(q) y = senh (cosh x)

(r) y = x argtgh x + ln

1 − x

(s) y = x

argsenh(2x)

(t) y = (sen

x)

(u) y = x arccos x −

1 − x

(v) y = x

arccotg (3x)

(w) y = arctg (arcsen

x)

(x) y = log

(x

− x)

(y) y = ln

x
2 x+

49. (a) Use a diferencia¸c˜ao impl´ıcita para determinar a derivada da fun¸c˜ao y definida implicitamente

por x

+ y

(b) Determine uma equa¸c˜ao da recta tangente `a hip´erbole x

− y

= 1 no ponto (

50. Determine os pontos do gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = 2 sen x + sen

x nos quais a recta tangente ´e

horizontal.