algebra linear apostila, Resumos de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI

ÁLGEBRA LINEAR

GUARULHOS – SP

SUMÁRIO

• 1 INTRODUÇÃO
• 2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES
• 2.1 Matriz retangular
• 2.2 Matriz quadrada
• 2.3 Matriz coluna
• 2.4 Matriz linha
• 2.5 Matriz diagonal
• 2.6 Matriz triangular
• 2.7 Matriz escalar
• 2.8 Matriz identidade
• 2.9 Matriz transposta
• 2.10 Matriz simétrica
• 2.11 Matriz nula
• 3 OPERAÇÕES COM MATRIZES
• 4 IGUALDADE
• 5 ADIÇÃO
• 5.1 Propriedade comutativa
• 5.2 Propriedade associativa..............................................................................
• 5.3 Subtração
• 6 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
• 7 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
• 7.1 Propriedade associativa..............................................................................
• 7.2 Propriedade distributiva
• 8 EQUAÇÃO MATRICIAL
• 9 APLICAÇÕES COM MATRIZES
• 10 INVERSA DE UMA MATRIZ
• 10.1 Propriedade
• 10.2 Propriedade
• 10.3 Propriedade
• 11 MATRIZ ORTOGONAL
• 12 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
• 13 SISTEMAS HOMOGÊNEO E NÃO HOMOGÊNEO
• 14 SISTEMAS LINEARES COM UMA EQUAÇÃO MATRICIAL
• 15 SISTEMAS LINEARES COM MATRIZ INVERSA
• 16 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES...........................
• 17 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
• 18 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN
• 19 DETERMINANTES E SUAS PROPRIEDADES
• 19.1 Expansão em cofatores
• 20 DETERMINANTES DA MATRIZ INVERSA
• 21 AUTOVALORES E DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES
• 22 ESPAÇOS VETORIAIS: EXEMPLOS E PROPRIEDADES BÁSICAS
• 22.1 Subespaços vetoriais
• 22.2 Subespaços gerados
• 22.3 Um conjunto como espaço vetorial
• 23 UM SUBCONJUNTO COMO SUBESPAÇO VETORIAL
• 24 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
• 25 GERADOR E MATRIZ INVERSA
• 26 COMBINAÇÕES LINEARES E GEOMETRIA
• 27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• 27.1 Bibliografia Básica
• 27.2 Bibliografia Complementar..........................................................................

1 INTRODUÇÃO

Prezado aluno! O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos para as atividades. Bons estudos!

O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém. Assim, uma matriz é dita ser do tipo (leia-se m por n ) quando ela tem m linhas e n colunas. No exemplo anterior, a matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é do tipo Consequentemente, pode-se desenvolver uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas (SILVA, 2012). 2.1 Matriz retangular É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente, isto é A matriz a seguir é retangular, pois é do tipo 2 × 3: Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte, que é uma matriz do tipo 3 × 2: 2.2 Matriz quadrada É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas, isto é, Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 × 2: 2.3 Matriz coluna É um caso particular de matriz retangular, composta por uma única coluna. Por isso, é do tipo O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 × 1.

2.4 Matriz linha É outro caso particular de matriz retangular, pois é composta por uma única linha e, por isso, do tipo O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 × 2. Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz. Considere a matriz A dada por: O elemento que aparece na intersecção da primeira linha com a segunda coluna é o número 0. Assim, ele pode ser representado de forma mais geral como. Dessa maneira, cada elemento da matriz é representado por uma “coordenada de localização” na matriz dada por em que o índice i indica a linha, e o índice i indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz (SILVA, 20 12). Neste exemplo, os elementos da matriz são identificados como: Ou seja: Para a matriz do tipo 2 × 3 dada por:

2.7 Matriz escalar É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais. 2.8 Matriz identidade É um caso particular da matriz escalar, pois todos seus elementos da diagonal principal são iguais à unidade, isto é, para Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulá-la por (SILVA, 2012). A matriz identidade do tipo 3 × 3 é: E a matriz identidade do tipo 2 × 2 é: 2.9 Matriz transposta Dada uma matriz A : Do tipo 2 × 3, a matriz transposta de A , denotada por, é obtida pela transposição entre a primeira linha e a primeira coluna, e entre a segunda linha e a segunda coluna, resultando em uma matriz do tipo 3 × 2:

2.10 Matriz simétrica Uma matriz quadrada é simétrica quando o que implica na seguinte relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal: Por exemplo, a matriz a seguir é simétrica, uma vez que Em contrapartida, uma matriz quadrada é antissimétrica se Por exemplo, A=[

] são antissimétrica, pois: 2.11 Matriz nula É aquela matriz em que todos os elementos são nulos, isto é, para qualquer valor de (SILVA, 2012).

5 ADIÇÃO

A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da soma direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, A operação de adição tem duas propriedades importantes, descritas a seguir (SILVA, 2012). 5.1 Propriedade comutativa Dadas duas matrizes A e B , o resultado das somas A + B e B + A é igual.

5.2 Propriedade associativa Dadas três matrizes A,B e C , o resultado da soma ( A + B ) com C é igual ao da soma de A com B + C (SILVA, 2012). 5.3 Subtração A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja,

7 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES

A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção. A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes, A e B , é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Assim, se a matriz A é do tipo m × n , e a matriz B é do tipo p × q , então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n = p. Além disso, o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova matriz do tipo m × q, ou seja, com o mesmo número de linhas da matriz A , mas com o mesmo número de colunas da matriz B. Em particular, para o caso de duas matrizes quadradas de mesmo tamanho, a matriz resultante do produto entre elas será do mesmo tamanho que elas. A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre as matrizes (SILVA, 2012). Considere o seguinte exemplo: uma matriz A do tipo 2 × 3, dada por: E uma matriz B do tipo 3 × 1, dada por: Como o número de colunas de A , que é 3, é igual ao número de linhas de B , que também é 3, essa multiplicação é possível. Observe também que a multiplicação de uma matriz do tipo 2 × 3 ( A ) por uma matriz do tipo 3 × 1 ( B ) resulta em uma matriz do tipo 2 × 1 ( AB ). Operacionalmente, a multiplicação ocorre da seguinte maneira: multiplica-se a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B , elemento por elemento na ordem que estão dispostos o primeiro elemento da primeira linha de A , 1, com o primeiro elemento

da coluna de B , 2, segundo elemento da primeira linha de A , 1, com o segundo elemento da coluna de B , 3, e assim por diante somando-se os produtos individuais desses elementos, 1 ∙ 2 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 7, cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B. Repete-se o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A, multiplicando-a com a primeira coluna da matriz B , cujo resultado, 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 13, corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B (SILVA, 2012). Veja: Agora, considere uma nova matriz A do tipo 1 × 2, dada por: E uma nova matriz B do tipo 2 × 2, dada por: Nesse caso, o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz do tipo 1 × 2. Agora, para você calcular o produto AB , deve multiplicar a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B , 1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 8, cujo resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B. O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B , 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 6. Veja: O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas matrizes quadradas. Considere duas matrizes do tipo 2 × 2, dadas por:

Contudo, vale a pena observar que, em geral, o produto entre duas matrizes não é comutativo, isto é, AB ≠ BA (note que o produto entre dois escalares é sempre comutativo, ou seja, 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 = 6). Para que você entenda isso, considere duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2. O produto AB é dado por: O produto BA é dado por: Logo, quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes resultantes de AB e BA (por exemplo, você percebe que eles são todos diferentes (SILVA, 2012). No entanto, a partir desse tratamento geral para o produto de duas matrizes, é possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar AB = BA. Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade. Por exemplo, se B = I , então o produto entre A e I será comutativo: (Faça nos resultados acima de AB e BA.)

A segunda condição particular é aquela em que as duas matrizes são diagonais, ou seja, A= [

] e B= [

]. Nesse caso, o produto entre as duas matrizes é comutativo, pois: (Faça nos resultados acima de AB e BA .) 8 EQUAÇÃO MATRICIAL Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes, assim como ocorre com os escalares por exemplo, 2x – 4 = 0. Algumas equações matriciais típicas são A + B = C; A – 2B = 3C; AX = B; A² = X e assim por diante (SILVA, 2012). 9 APLICAÇÕES COM MATRIZES Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo, em que você e sua amiga são agentes autônomos. A matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é: Para o mês de fevereiro, o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga é: