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Algebra Linear´
Giuliano Boava
Introdu¸c˜ao
Nos problemas ol´ımpicos, principalmente nos de n´ıvel universit´ario, ´e comum encon- trarmos espa¸cos e subespa¸cos vetoriais, transforma¸c˜oes lineares, matrizes, autovalores, autovetores, entre outros conceitos de ´algebra linear. O objetivo deste texto ´e mos- trar que, usando apenas ferramentas b´asicas, ´e poss´ıvel resolver diversos problemas envolvendo este tema. Como a ´algebra linear ´e um assunto amplo, optamos por tratar apenas dos problemas que abordam matrizes e suas propriedades. O texto est´a dividido em duas se¸c˜oes: uma se¸c˜ao com defini¸c˜oes e teoremas e outra com resolu¸c˜ao de problemas. Na primeira se¸c˜ao, faremos uma breve introdu¸c˜ao a teoria de matrizes, tratando desde as opera¸c˜oes b´asicas at´e a fatora¸c˜ao de uma matriz na sua forma canˆonica de Jordan^1. Na segunda se¸c˜ao, veremos como aplicar a teoria em problemas ol´ımpicos. Apesar de o texto n˜ao requerer conhecimento pr´evio, ´e aconselh´avel que o leitor tenha alguma familiaridade com a ´algebra linear. Al´em disso, o conte´udo aqui exposto ´e extremamente resumido, n˜ao sendo recomendadoaqueles que pretendem iniciar um curso de ´algebra linear. Por fim, visto que o nosso foco s˜ao as aplica¸c˜oes da teoria, n˜ao demonstraremos os teoremas aqui apresentados. O leitor interessado nas demons- tra¸c˜oes pode consultar as referˆencias dispostas no final do texto.
Defini¸c˜oes e Propriedades
Uma matriz real (ou complexa) A com m linhas e n colunas ´e uma fun¸c˜ao
A : { 1 , 2 ,... , m} × { 1 , 2 ,... , n} −→ R (ou C) (i, j) 7 −→ A(i, j).
Esta ´e uma maneira formal de dizer que uma matriz ´e uma “tabela” de n´umeros. Apesar de a defini¸c˜ao tratar uma matriz como fun¸c˜ao, veremos uma matriz A com m (^1) Camille Marie Ennemond Jordan (1838-1922) foi um matem´atico francˆes. Assim, a pron´uncia de seu sobrenome ´e “Jordˆan”.
linhas e n colunas sob a forma usual
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... am 1 am 2 · · · amn
em que a entrada aij da tabela corresponde a A(i, j) (isto ´e, o valor da fun¸c˜ao A em (i, j)). Uma maneira compacta de denotar a matriz acima ´e A = (aij ). O valor aij da matriz A ´e denominado entrada (i, j) ou (i, j)-´esima entrada de A. No contexto matricial, um n´umero, real ou complexo, ´e normalmente chamado de escalar. Uma matriz com m linhas e n colunas ´e dita uma matriz m × n (lˆe-se m por n). Uma matriz em que n = 1 (respectivamente, m = 1) ´e denominada um vetor co- luna (respectivamente, vetor linha). Quando m = n, a matriz ´e dita quadrada de ordem n. Em uma matriz quadrada A = (aij ) de ordem n, denominamos por diagonal principal a parcela da matriz formada pelos elementos a 11 , a 22 ,.. ., ann. Uma matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo (respectivamente, acima) da diagonal principal iguais a 0 ´e denominada matriz triangular superior (respec- tivamente, triangular inferior). Uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal s˜ao iguais a 0 ´e denominada matriz diagonal. A matriz diagonal de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal s˜ao iguais a 1 ´e denominada matriz identidade e ´e denotada por In (ou simplesmente I, quando a ordem estiver subentendida). Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes reais (ou complexas) de dimens˜oes m × n, m × n e n × p respectivamente, e seja λ ∈ R (ou C) um escalar. A soma das matrizes A e B, denotada por A + B, ´e definida como a matriz m × n dada por A + B = (aij + bij ). O produto das matrizes A e C, denotado por AC, ´e definido como a matriz m × p dada por AC = (dij ), em que dij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + · · · + ainbnj. A multiplica¸c˜ao do escalar λ pela matriz A, denotada por λA, ´e definida como a matriz m × n dada por λA = (λaij ). A transposta^2 da matriz A, denotada por At, ´e definida como a matriz n × m dada por At^ = (aji). E claro da defini¸´ c˜ao que a opera¸c˜ao de soma de matrizes ´e comutativa, associativa e distributiva com rela¸c˜ao `a multiplica¸c˜ao por escalar. Tamb´em ´e f´acil verificar que a soma tamb´em ´e distributiva com rela¸c˜ao ao produto matricial (por ambos os lados). (^2) A transposta de uma matriz ´e, normalmente, utilizada para matrizes reais. A defini¸c˜ao tamb´em ´e v´alida para matrizes complexas mas, neste caso, tal defini¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao ´util. No caso complexo, a opera¸c˜ao frequentemente utilizada no lugar da transposta ´e a opera¸c˜ao que associa a uma matriz A, uma outra matriz A∗, denominada adjunta de A. A adjunta da A ´e a transposta de A com seus elementos conjugados.
Defini¸c˜ao 3. Seja A = (aij ) uma matriz quadrada de ordem n. O determinante da matriz A, denotado por det(A) ou |A|, ´e definido por
det(A) =
σ
sign(σ)a 1 σ(1)a 2 σ(2)... anσ(n),
em que a soma ´e tomada sobre todas as permuta¸c˜oes^3 σ de { 1 , 2 ,... , n}.
Exemplo 3. Se A = [a 11 ] ´e uma matriz 1 × 1, ent˜ao s´o h´a uma permuta¸c˜ao de { 1 } (a saber, a permuta¸c˜ao σ = (1)). Como n˜ao h´a pares (i, j) com i < j neste caso, ent˜ao a paridade de σ ´e 0 e, consequentemente, sign(σ) = 1. Logo, det(A) = a 11. Notemos h´a duas permuta¸c˜oes para { 1 , 2 }: σ 1 = (1, 2) (com paridade 0) e σ 2 = (2, 1) (com paridade 1). Assim, no determinante de uma matriz 2 × 2, h´a dois termos na soma. Aplicando a defini¸c˜ao a uma matriz A = (aij ) de ordem 2, obtemos
det(A) = sign(σ 1 )a 1 σ 1 (1)a 2 σ 1 (2) + sign(σ 2 )a 1 σ 2 (1)a 2 σ 2 (2) =
(−1)^0 a 11 a 22 + (−1)^1 a 12 a 21 = a 11 a 22 − a 21 a 12 ,
que ´e a f´ormula passada no ensino m´edio. Fica como exerc´ıcio ao leitor desenvolver a defini¸c˜ao acima para uma matriz de ordem 3 e verificar que ela ´e equivalente `a defini¸c˜ao dada no ensino m´edio, isto ´e,
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33.
A proposi¸c˜ao abaixo lista algumas propriedades do tra¸co e do determinante de uma matriz.
Proposi¸c˜ao 1. Se A e B s˜ao matrizes quadradas de ordem n, ent˜ao:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B);
(ii) tr(AB) = tr(BA); (iii) Se A = (aij ) ´e triangular superior, triangular inferior ou diagonal, ent˜ao det(A) = a 11 a 22... ann;
(iv) det(AB) = det(A) det(B);
(v) det(A) = det(At); (^3) Note que h´a n! permuta¸c˜oes de { 1 , 2 ,... , n}. Assim, h´a n! parcelas na soma.
(vi) Se uma matriz A˜ ´e obtida a partir de A pela troca da posi¸c˜ao de duas linhas (ou colunas), ent˜ao det( A˜) = − det(A); (vii) Se uma matriz A˜ ´e obtida a partir de A multiplicando-se uma dada linha (ou coluna) por um n´umero λ ∈ C, ent˜ao det( A˜) = λ det(A);
(viii) Se uma matriz A˜ ´e obtida a partir de A acrescentando-se a uma linha (ou coluna) um m´ultiplo de uma outra linha (ou coluna), ent˜ao det( A˜) = det(A). Defini¸c˜ao 4. Seja A uma matriz m × n. Uma matriz B ´e dita uma inversa a direita de A se AB = Im. Uma matriz C ´e dita uma inversaa esquerda de A se CA = In. Se A possui inversa a direita (respectivamente,a esquerda), ent˜ao a dita invert´ıvel a direita (respectivamente,a esquerda). Exemplo 4. Considere as matrizes
A =
[
]
e B =
Como AB = I 2 , ent˜ao A ´e uma inversa a esquerda para B e B ´e uma inversaa direita para A. Muitos problemas com matrizes s˜ao resolvidos analisando o posto das matrizes en- volvidas. Por´em, para se falar de posto, normalmente ´e necess´ario falar de espa¸cos vetoriais, combina¸c˜oes lineares e dependˆencia linear. Nos pr´oximos par´agrafos, de- finiremos o posto de uma matriz evitando desenvolver a teoria de espa¸cos vetoriais. Para isso, teremos que “mascarar” propriedades gerais dos espa¸cos vetoriais em casos espec´ıficos. O produto cartesiano^4 R × R × · · · × R (n vezes) ´e denotado por Rn. Os elementos v ∈ Rn^ s˜ao denominados vetores e s˜ao da forma v = (v 1 , v 2 ,... , vn), em que vi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Sejam v = (v 1 , v 2 ,... , vn) e w = (w 1 , w 2 ,... , wn) vetores e λ ∈ R um escalar. A soma dos vetores v e w, denotada por v + w, ´e definida como o vetor v + w = (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ,... , vn + wn). A multiplica¸c˜ao do escalar λ pelo vetor v, denotada por λv, ´e definida como o vetor λv = (λv 1 , λv 2 ,... , λvn). O vetor (0, 0 ,... , 0) ´e usualmente denotado por 0. E f´´ acil ver que uma matriz 1 × n ou n × 1 (vetor linha ou vetor coluna) pode ser vista como um vetor de Rn. Generalizando, as linhas de uma matriz m × n podem ser vistas como vetores de Rn, assim como as colunas determinam vetores de Rm. Precisaremos destas identifica¸c˜oes na defini¸c˜ao de posto. (^4) A partir daqui, at´e a defini¸c˜ao de posto, tudo o que for feito para R tamb´em ser´a v´alido para C.
(iv) x = 0 ´e ´unico vetor coluna tal que Ax = 0 (aqui, 0 representa a matriz n × 1 formada somente por zeros);
(v) Para todo vetor coluna b de tamanho n × 1 , existe ´unico vetor coluna x tal que Ax = b;
(vi) det(A) 6 = 0.
Uma matriz A que n˜ao satistaz uma (portanto, todas) das condi¸c˜oes acima ´e dita singular. Se uma (consequentemente, todas) das condi¸c˜oes acima ´e satisfeita, ent˜ao A ´e denominada n˜ao singular. Neste caso, A possui ´unica inversa a esquerda, ´unica inversaa direita e tais inversas coincidem. A (´unica) inversa ´e denotada por A−^1 e A ´e dita invert´ıvel. Al´em disso, posto(A−^1 ) = n, det(A−^1 ) = det(A)−^1 , (A−^1 )−^1 = A e x = A−^1 b ´e o ´unico vetor coluna x do item (v).
Proposi¸c˜ao 4. Se A e B s˜ao matrizes quadradas do mesmo tamanho, ent˜ao AB ´e n˜ao singular se, e somente se, A e B s˜ao n˜ao singulares. Neste caso (AB)−^1 = B−^1 A−^1.
Defini¸c˜ao 7. Seja A uma matriz quadrada. Um escalar^5 λ ∈ C ´e dito um autovalor de A se existe um vetor coluna x (com entradas em C) n˜ao nulo tal que Ax = λx. Neste caso, x ´e denominado um autovetor de A associado a λ.
Exemplo 7. Sejam
A =
[
]
e x =
[
]
Como Ax = (−1)x e x ´e n˜ao nulo, ent˜ao λ = −1 ´e autovalor de A e x ´e autovetor associado a λ.
Sejam A uma matriz quadrada e λ um autovalor de A. Por defini¸c˜ao, existe x n˜ao nulo tal que Ax = λx. Tal equa¸c˜ao pode ser reescrita na forma (λI − A)x = 0 , sendo I a matriz identidade. Como x ´e n˜ao nulo, segue do item (iv) do teorema 3 que a matriz λI − A ´e singular. Assim, pelo item (vi) do mesmo teorema devemos ter det(λI − A) = 0. Por outro lado, se A ´e uma matriz quadrada e λ ∈ C satisfaz det(λI − A) = 0, ent˜ao segue dos itens (iv) e (vi) do teorema 3 que existe vetor coluna x n˜ao nulo tal que (λI − A)x = 0 e, portanto, Ax = λx. Em outras palavras, um escalar λ ∈ C ´e autovalor de uma matriz A se, e somente se, det(λI − A) = 0. Conforme defini¸c˜ao de determinante, se A possui ordem n, ent˜ao det(xI − A) tem como resultado um polinˆomio mˆonico (isto ´e, um polinˆomio com coeficiente l´ıder igual (^5) At´e agora, em todas as defini¸c˜oes, poder´ıamos trabalhar em R ou C. No caso de autovalores e autovetores, a teoria produz melhores resultados em C.
a 1) de grau n na vari´avel x. Tal polinˆomio ´e denominado polinˆomio caracter´ıstico de A e ´e denotado por pcA(x). Como visto anteriormente, as ra´ızes complexas de pcA(x) s˜ao, exatamente, os autovalores de A. Pelo teorema fundamental da ´algebra, pcA(x) possui n ra´ızes complexas (contando multiplicidades). A partir daqui, consideraremos que toda matriz A de ordem n possui n autovalores: as n ra´ızes de pcA(x). Se λ ´e uma raiz de multiplicidade r do polinˆomio caracter´ıstico, ent˜ao dizemos que λ ´e um autovalor de multiplicidade r.
Proposi¸c˜ao 5. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e λ 1 , λ 2 ,... , λn ∈ C seus autovalores. Ent˜ao:
(i) tr(A) = λ 1 + λ 2 + · · · + λn; (ii) det(A) = λ 1 λ 2... λn;
(iii) Para qualquer λ ∈ C, os autovalores de A + λI s˜ao λ + λ 1 , λ + λ 2 ,... , λ + λn; (iv) Se λ 1 , λ 2 ,... , λr s˜ao distintos e x 1 , x 2 ,... , xr s˜ao autovetores associados, ent˜ao o conjunto {x 1 , x 2 ,... , xr} ´e linearmente independente;
(v) A ´e n˜ao singular se, e somente se, λi 6 = 0, para todo i; (vi) Se A ´e n˜ao singular, ent˜ao os autovalores de A−^1 s˜ao λ− 1 1 , λ− 2 1 ,... , λ− n 1 ;
(vii) Se A ´e uma matriz real e sim´etrica (isto ´e, A = At), ent˜ao λi ∈ R, para todo i.
Seja A uma matriz triangular superior, triangular inferior ou diagonal. Aplicando o item (iii) da proposi¸c˜ao 1 `a matriz xI − A, conclu´ımos que os elementos da diagonal principal de A s˜ao seus autovalores. Se A ´e uma matriz quadrada real, ent˜ao pcA(x) ´e um polinˆomio com coeficientes reais. Logo, os autovalores n˜ao reais de A aparecem em pares conjugados. Para qualquer matriz quadrada A de ordem n defina A^0 = In e, para qualquer n´umero inteiro positivo k, defina Ak^ = AA... A︸ ︷︷ ︸ k vezes
. Dessa forma, se q(x) = arxr^ +
ar− 1 xr−^1 + · · · + a 1 x + a 0 ´e um polinˆomio com coeficientes complexos, podemos definir q(A) = arAr^ + ar− 1 Ar−^1 + · · · + a 1 A + a 0 I. Observe que q(A) ´e uma matriz e n˜ao um escalar.
Defini¸c˜ao 8. Seja A uma matriz quadrada. O polinˆomio minimal de A, denotado por pmA (x), ´e o polinˆomio mˆonico q(x) (com coeficientes em C) de menor grau tal que^6 q(A) = 0. (^6) Aqui, 0 representa a matriz quadrada do mesmo tamanho de A formada por zeros em todas as entradas.
Pela proposi¸c˜ao 2 e pelo teorema 3, a matriz X ´e invert´ıvel. Logo,
AX = XΛ =⇒ AXX−^1 = XΛX−^1 =⇒ A = XΛX−^1 ,
isto ´e, A ´e semelhante a uma matriz diagonal Λ formada pelos autovalores de A. Al´em disso, a matriz de semelhan¸ca X ´e dada pelos autovetores de A. Por outro lado, se A = M DM −^1 e D ´e uma matriz diagonal, ent˜ao ´e poss´ıvel provar que os autovalores de A est˜ao na diagonal principal de D e que as colunas de M s˜ao os autovetores de A. Logo, o processo de encontrar uma matriz diagonal que seja semelhante a uma matriz A dada est´a intimamente relacionado com os autovalores e autovetores de A. Sempre que uma matriz A ´e escrita sob a forma A = M DM −^1 com D uma matriz diagonal, os problemas que envolvem A s˜ao consideravelmente simplificados. Por´em, nem sempre uma matriz ´e diagonaliz´avel.
Exemplo 9. Seja
A =
[
]
Afirmamos que A n˜ao ´e diagonaliz´avel. Calculando o polinˆomio caracter´ıstico de A, obtemos pcA(x) = det(xI − A) = x^2. Assim, os dois autovalores de A s˜ao iguais a
- Se A fosse diagonaliz´avel, ent˜ao A = M DM −^1 , com D uma matriz diagonal com os autovalores de A. Como os autovalores s˜ao iguais a 0, D ´e a matriz nula. Assim, ter´ıamos M DM −^1 = 0 independente da matriz M. Logo, A n˜ao ´e diagonaliz´avel.
A pr´oxima proposi¸c˜ao fornece algumas condi¸c˜oes suficientes para que uma matriz seja diagonaliz´avel.
Proposi¸c˜ao 8. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao:
(i) A ´e diagonaliz´avel se, e somente se, A possui n autovetores linearmente inde- pendentes; (ii) A ´e diagonaliz´avel se, e somente se, toda raiz do polinˆomio minimal de A ´e simples; (iii) A ´e diagonaliz´avel se possui n autovalores distintos; (iv) A ´e diagonaliz´avel se A ´e uma matriz real e normal (isto ´e, AAt^ = AtA). Em particular, toda matriz real sim´etrica ´e diagonaliz´avel. Nosso ´ultimo objetivo ´e definir matrizes na forma de Jordan. Uma matriz na forma de Jordan ´e uma matriz que ´e “quase” diagonal. A utilidade deste conceito ´e que toda matriz ´e semelhante a uma matriz na forma de Jordan.
Defini¸c˜ao 10. Uma matriz quadrada de ordem r da forma
λ 1 0
...... ... (^1) 0 λ
´e denominada um bloco de Jordan de ordem r associado a λ. Uma matriz quadrada A ´e dita estar na forma canˆonica de Jordan se
A =
M 1 0
M 2
0 Mm
em que cada Mi representa um bloco de Jordan.
Exemplo 10. A matriz
A =
est´a na forma canˆonica de Jordan.
Teorema 9. Toda matriz quadrada A ´e semelhante a alguma matriz J na forma canˆonica de Jordan. Al´em disso, se J˜ ´e uma outra matriz na forma canˆonica de Jordan semelhante a A, ent˜ao J e J˜ possuem os mesmos blocos de Jordan, com uma poss´ıvel diferen¸ca na ordem dos blocos.
O teorema acima, al´em de garantir uma decomposi¸c˜ao de qualquer matriz quadrada A na forma A = XJX−^1 , tamb´em afirma que J ´e ´unica, a menos da ordem dos blocos. A partir daqui, duas formas de Jordan que diferem apenas pela ordem dos blocos ser˜ao consideradas “iguais”. Dessa maneira, toda matriz possui ´unica forma de Jordan associada.
Problemas Envolvendo Matrizes
Esta se¸c˜ao cont´em uma sele¸c˜ao de problemas ol´ımpicos envolvendo matrizes. Re- solveremos alguns deles e o restante ficar´a como desafio ao leitor. As siglas IMC, OBM e OIMU que aparecem nos problemas se referem a Olimp´ıada Internacional de Ma- tem´atica para Estudantes Universit´arios,a Olimp´ıada Brasileira de Matem´atica e `a Olimp´ıada Iberoamericana de Matem´atica Universit´aria, respectivamente. As solu¸c˜oes dos problemas deixados como exerc´ıcio podem ser encontradas nos sites das com- peti¸c˜oes.
Problema 1 (IMC 1995). Seja X uma matriz quadrada n˜ao singular com colunas x 1 , x 2 ,... , xn. Seja Y uma matriz com colunas x 2 , x 3 ,... , xn, 0. Mostre que as matri- zes A = Y X−^1 e B = X−^1 Y tˆem posto n − 1 e que seus autovalores s˜ao todos iguais a 0.
Solu¸c˜ao. Notemos que as colunas de Y s˜ao combina¸c˜oes lineares das colunas de X (neste caso, as combina¸c˜oes lineares s˜ao triviais). Sempre que isso ocorre, ´e poss´ıvel encontrar uma matriz T tal que Y = XT. E f´´ acil ver que, nesse caso,
T =
Como T ´e uma matriz triangular, ent˜ao seus autovalores est˜ao na diagonal principal. Logo, todos os autovalores de T s˜ao iguais a 0. Al´em disso, as n − 1 primeiras colunas de T s˜ao LI e, portanto, posto(T ) = n − 1 (note que a ´ultima coluna ´e nula). Por fim, observemos que A = Y X−^1 = XT X−^1 e que B = X−^1 Y = X−^1 XT = T. Assim, B = T tem as propriedades requeridas. Usando a proposi¸c˜ao 12 e o fato de A e T serem semelhantes, conclu´ımos que os autovalores de A s˜ao todos nulos e que posto(A) = n − 1.
Problema 2 (IMC 1996). Sejam a 0 e d n´umeros reais fixados. Para j = 0, 1 ,... , n,
defina aj = a 0 + jd. Calcule det(A), sendo
A =
a 0 a 1 a 2 · · · an a 1 a 0 a 1 · · · an− 1 a 2 a 1 a 0 · · · an− 2 ... ... ...... ... an an− 1 an− 2 · · · a 0
Solu¸c˜ao. Resolveremos o problema aplicando repetidas vezes os itens (vii) e (viii) da proposi¸c˜ao 1. Para facilitar a escrita, adotaremos a nota¸c˜ao Li = Li + λLj para expressar que `a linha i da matriz acrescentamos a linha j multiplicada por λ. Uma nota¸c˜ao an´aloga ser´a utilizada nas opera¸c˜oes por colunas.
det(A) =
a 0 a 1 a 2 · · · an a 1 a 0 a 1 · · · an− 1 a 2 a 1 a 0 · · · an− 2 ... ... ...... ... an an− 1 an− 2 · · · a 0
C 1 =C (^1) =+Cn+
2 a 0 + nd a 1 a 2 · · · an 2 a 0 + nd a 0 a 1 · · · an− 1 2 a 0 + nd a 1 a 0 · · · an− 2 ... ... ...... ... 2 a 0 + nd an− 1 an− 2 · · · a 0
= (2a 0 +nd)
1 a 1 a 2 · · · an 1 a 0 a 1 · · · an− 1 1 a 1 a 0 · · · an− 2 ... ... ...... ... 1 an− 1 an− 2 · · · a 0
Li=Li−Li− 1 i=n+1^ =,n,..., 2 (2a 0 +nd)
1 a 1 a 2 · · · an 0 −d −d · · · −d 0 d −d · · · −d ... ... ...... ... 0 d d · · · −d
= (2a 0 + nd)dn
Li=L =i+L 1 i=2, 3 ,...,n (2a 0 + nd)dn
= (2a 0 + nd)dn(−1)(−2)n−^1 = (−1)n(2a 0 + nd)2n−^1 dn.
No ´ultimo passo, usamos que a matriz ´e triangular superior e, com isso, seu determi- nante ´e o produto dos elementos da diagonal principal.
Problema 3 (IMC 2000). Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho tais que posto(AB − BA) = 1. Mostre que (AB − BA)^2 = 0.
Solu¸c˜ao. Denote por C a matriz AB − BA. Como posto de C ´e um, segue do item (iv) da proposi¸c˜ao 11 que C possui, pelo menos, n − 1 autovalores iguais a 0. Notemos
as n linhas de A ser˜ao LD e, por consequˆencia, posto(A) ≤ n − 1. Portanto, A n˜ao ´e invert´ıvel se nx + y = 0. Exibiremos a inversa de A se y 6 = 0 e nx + y 6 = 0. Observemos que A = xU + yI, em que U ´e a matriz com todas as entradas iguais a 1. Sempre que uma matriz B invert´ıvel pode ser escrita como um polinˆomio de uma matriz C, ent˜ao a inversa de B tamb´em ´e um polinˆomio em C. Em nosso caso, A ´e um polinˆomio na matriz U e, portanto A−^1 tamb´em ´e um polinˆomio em U. Visto que U k^ = nk−^1 U , ent˜ao todo polinˆomio em U pode ser escrito como um polinˆomio de grau 1. Com isso, A−^1 ´e da forma aU + bI. Impondo que I = AA−^1 = (xU + yI)(aU + bI), obtemos b = (^1) y e a = − (^) y(nxx+y). Isto mostra que A−^1 = (^1) y I − (^) y(nxx+y) U.
Problema 7 (OBM 2008, n´ıvel universit´ario, 2a^ fase). Prove que n˜ao existe uma matriz real 7 × 7 com entradas n˜ao negativas cujos autovalores (contando com multi- plicidade) s˜ao: 6, − 5 , − 5 , 1, 1, 1 e 1.
Solu¸c˜ao. Suponha, por contradi¸c˜ao, que exista uma matriz A 7 × 7 com entradas n˜ao negativas com tais autovalores. Note que Ak^ tamb´em ´e uma matriz com entradas n˜ao negativas, para qualquer k ≥ 1. Em particular, tr(Ak) ≥ 0. Pelo teorema 7, os autovalores de Ak^ s˜ao 6k, (−5)k, (−5)k, 1, 1, 1 e 1. Logo, tr(Ak) = 6k^ + (−5)k^ + (−5)k^ + 1 + 1 + 1 + 1 ≥ 0, para todo k ≥ 1. Tomando k = 3, obtemos uma contradi¸c˜ao.
Problema 8 (OIMU 2005). Considere matrizes reais quadradas A, B e C de ordem n tais que A^3 = −I, BA^2 + BA = C^6 + C + I e C ´e sim´etrica. E poss´´ ıvel ter n = 2005?
Solu¸c˜ao. Como A^3 = −I, ent˜ao o polinˆomio minimal de A divide q(x) = x^3 + 1. Em particular, todo autovalor de A deve ser uma raiz de q(x), as quais s˜ao x 1 = −1, x 2 = 1+
√ 3 i 2 e^ x^3 =^ 1 −√ 3 i
- Afirmamos que^ −1 n˜ao ´e autovalor de^ A. De fato, suponha por contadi¸c˜ao que exista x 6 = 0 tal que Ax = −x. Assim, (C^6 + C + I)x = (BA^2 + BA)x = Bx − Bx = 0 , isto ´e, 0 ´e autovalor de C^6 + C + I. Sabemos do teorema 7 que os autovalores de C^6 + C + I s˜ao da forma λ^6 + λ + 1, em que λ ´e um autovalor de C. Visto que C ´e sim´etrica, ent˜ao seus autovalores s˜ao reais (proposi¸c˜ao 5). Portanto, os autovalores de C^6 +C +I s˜ao da forma λ^6 +λ+1, com λ real. Com ferramentas b´asicas de c´alculo, ´e poss´ıvel mostrar que q(x) = x^6 + x + 1 > 0, para todo x ∈ R. Logo, 0 n˜ao pode ser um autovalor de C^6 + C + I, contradi¸c˜ao! Assim, os poss´ıveis autovalores de A s˜ao x 2 = 1+
√ 3 i 2 e^ x^3 =^ 1 −√ 3 i
- Como^ A^ ´e real, tais autovalores aparecem aos pares, mostrando que a dimens˜ao de A ´e par. Isto mostra que n˜ao podemos ter n = 2005.
Os pr´oximos problemas ficam como exerc´ıcio. Bom trabalho!
Problema 9 (IMC 1994). (a) Seja A uma matriz n × n, n ≥ 2 , real, sim´etrica, in- vert´ıvel e com entradas positivas. Mostre que zn ≤ n^2 − 2 n, sendo zn o n´umero de entradas nulas em A−^1.
(b) Quantas entradas nulas h´a na inversa da matriz n × n
A =
Problema 10 (IMC 1997). Seja M uma matriz invert´ıvel de ordem 2 n, representada na forma de blocos como
M =
[
A B
C D
]
e M −^1 =
[
E F
G H
]
em que cada bloco possui ordem n. Mostre que det(M ) det(H) = det(A).
Problema 11 (IMC 1999). (a) Mostre que, para qualquer m ∈ N∗, existe uma matriz real A m × m tal que A^3 = A + I.
(b) Mostre que det(A) > 0 para toda matriz real A m × m que satisfaz A^3 = A + I.
Problema 12 (IMC 2002). Calcule o determinante da matriz n × n A = (aij ), em que
aij =
(−1)|i−j|, se i 6 = j, 2 , se i = j.
Problema 13 (IMC 2004). Sejam A uma matriz real 4 × 2 e B uma matriz real 2 × 4 tais que
AB =
Encontre BA.
Problema 14 (IMC 2005). Seja A = (aij ) uma matriz n × n tal que aij = i + j. Encontre o posto de A.
Problema 15 (IMC 2009). Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de mesmo tamanho e suponha que A seja invert´ıvel. Mostre que se (A − B)C = BA−^1 , ent˜ao C(A − B) = A−^1 B.
