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Engenharia de ProduÁ„o
2a Lista de ExercÌcio de FÌsica III
- O cubo da Fig. 1 tem 1 ; 40 m de aresta e est· orientado da forma mostrada na Ögura em uma regi„o onde existe um campo elÈtrico uniforme. Determine o áuxo elÈtrico atravÈs da face direita do cubo se o campo elÈtrico, em newtons por coulomb, È dado por a) 6 ^{; b) 2 ^|; c) 3 ^{ + 4 ^k. d) Qual È o áuxo total atravÈs do cubo nos trÍs casos?
Fig. 1: Problema 1.
- Considere que a Fig. 1 acima represente uma superfÌcie gaussiana com a forma de um cubo com 1 ; 40 m de aresta. Determine a) o áuxo atravÈs da superfÌcie; b) a carga qcont envolvida pela superfÌcie se E~ = 3y |^ N/C, com y em metros; os valores de c) e d) qcont se E~ = [ 4 i + (6 + 3y) ^|] N/C.
- Um condutor isolado de forma arbitr·ria possui uma carga de 10 10 ^6 C. No interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade est· uma carga pontual q = 3 10 ^6 C. Determine a carga a) da superfÌcie da cavidade; b) da superfÌcie externa do condutor.
- Um Öo reto e longo possui cargas negativas Öxas com uma densidade linear de 3 ; 6 nC/m. O Öo È envolvido por uma casca coaxial cilÌndrica, n„o-condutora, de paredes Önas, com 1 ; 5 cm de raio. A casca possui uma carga positiva na superfÌcie externa com uma densidade superÖcial , que anula o campo elÈtrico do lado de fora da casca. Determine o valor de .
- A Fig. 2 mostra uma seÁ„o reta de uma placa n„o-condutora muito extensa com uma espessura d = 9; 40 mm e uma densidade volumÈtrica de cargas uniforme = 5; 80 fC/m^3. A origem do eixo x est· no centro da placa. Determine o mÛdulo do campo elÈtrico a) em x = 0; b) em x = 2 mm; c) em x = 4; 70 mm; d) x = 26; 0 mm.
Fig. 2: Problema 5.
- Uma distribuiÁ„o de cargas n„o-uniforme, mas com simetria esfÈrica, produz um campo elÈtrico de mÛdulo E = Kr^4 , onde K È uma constante e r È a dist‚ncia do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual È a distribuiÁ„o volumÈtrica de cargas ?
- Uma esfera n„o-condutora tem raio R = 2; 31 cm e uma carga uniformemente distribuÌda q = 3; 50 fC. Tome o potencial elÈtrico no centro da esfera como sendo V 0 = 0. Determine o valor de V a) para uma dist‚ncia radial r = 1; 45 cm; b) para r = R.
- Na Fig. 3 , qual È o potencial elÈtrico no ponto P devido ‡s quatro partÌculas se V = 0 no inÖnito, q = 5 fC e d = 4 cm?
Fig. 3: Problema 8.
- A barra Öna de pl·stico que aparece na Fig. 4 tem um comprimento L = 12 cm e uma densidade linear de cargas n„o-uniforme = cx, onde c = 28; 9 pC/m^2. Com V = 0 no inÖnito, determine o potencial elÈtrico no ponto P 1 sobre o eixo x, a uma dist‚ncia d = 3 cm de uma das extremidades.
Fig. 4: Problema 9.
Respostas
- O cubo da Fig. 1 tem 1 ; 40 m de aresta e est· orientado da forma mostrada na Ögura em uma regi„o onde existe um campo elÈtrico uniforme. Determine o áuxo elÈtrico atravÈs da face direita do cubo se o campo elÈtrico, em newtons por coulomb, È dado por a) 6 ^{; b) 2 ^|; c) 3 ^{ + 4 ^k. d) Qual È o áuxo total atravÈs do cubo nos trÍs casos?
Fig. 1: Problema 1.
Resposta: O áuxo elÈtrico na face direita, paralela ao plano xz (cuja normal È ^|), ser·:
a) E =
Z
E^ ~ d~s = 0
b) E =
Z
E^ ~ d~s = 2
Z
ds = 2 (1; 4)^2 = 3 ; 92 Nm^2 /C
c) E =
Z
E^ ~ d~s = 0.
d) O áuxo total do campo elÈtrico atravÈs do cubo nos trÍs casos dever· ser nulo, isto porque a face oposta a cada face do cubo dever· contribuir ao áuxo do campo elÈtrico com sinais contr·rios.
- Considere que a Fig. 1 acima represente uma superfÌcie gaussiana com a forma de um cubo com 1 ; 40 m de aresta. Determine a) o áuxo atravÈs da superfÌcie; b) a carga qcont envolvida pela superfÌcie se E~ = 3y |^ N/C, com y em metros; os valores de c) e d) qcont se E~ = [ 4 i + (6 + 3y) ^|] N/C. Resposta: a) Como o campo elÈtrico tem somente componente y, vemos que apenas o áuxo sobre a face direita e esquerda apresentam contribuiÁ„o n„o nula. Logo, o áuxo total ser·
E =
I
E^ ~ d~s =
Z
face esq.
E^ ~ d~s +
Z
face dir.
E^ ~ d~s
Z
face esq.
yds + 3
Z
face dir.
yds
Z
face esq.
ydxdz | {z } y=
Z
face dir.
dxdz | {z } y=1; 4 m
= 3 (1; 4)^3 = 8; 23 Nm^2 /C
b) Considerando " 0 = 8; 85 10 ^12 C 2 =Nm^2. Pela lei de Gauss, veriÖcamos que
qcont = " 0 E = 7; 29 10 ^11 C.
c) e d) Visto que agora o campo elÈtrico È o anterior mais um termo constante da forma E^ ~ 0 = 4 i + 6 ^| N/C, concluÌmos que tanto o áuxo quanto a carga n„o se alteram com relaÁ„o ao resultado anterior.
- Um condutor isolado de forma arbitr·ria possui uma carga de 10 10 ^6 C. No interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade est· uma carga pontual q = 3 10 ^6 C. Determine a carga a) da superfÌcie da cavidade; b) da superfÌcie externa do condutor. Resposta: Visto que no interior de um condutor o campo elÈtrico È nulo, qualquer superfÌcie gaussiana inteiramente contida dentro do condutor ter· áuxo do campo elÈtrico nulo. Sendo assim, a carga na superfÌcie da cavidade pode ser determinada pela lei de Gauss. a) Considere uma superfÌcie gaussiana contornando a superÖcie da cavidade com uma pequena "folga de- sprezÌvel". Nesta situaÁ„o temos que o áuxo È nulo e portanto a carga lÌquida tambÈm ser·: portanto temos que qint + q = 0 , qint = q = 3 10 ^6 C : b) Por outro lado temos que qint + qext = 10 10 ^6 C , qext = 1; 3 10 ^5 C.
- Um Öo reto e longo possui cargas negativas Öxas com uma densidade linear de 3 ; 6 nC/m. O Öo È envolvido por uma casca coaxial cilÌndrica, n„o-condutora, de paredes Önas, com 1 ; 5 cm de raio. A casca possui uma carga positiva na superfÌcie externa com uma densidade superÖcial , que anula o campo elÈtrico do lado de fora da casca. Determine o valor de . Resposta: Seja r = 1; 5 cm e = 3 ; 6 nC/m. Utilizando uma superfÌcie de Gauss cilÌndrica que envolva a casca coaxial cilÌndrica com um raio ligeiramente maior que a da casca, veriÖcamos que o áuxo do campo elÈtrico ser· nulo, logo I E^ ~ d~s = 0 , qcont = 0.
Note portanto, que em um comprimento L que a carga dentro da superfÌcie gaussiana ser·
2 rL + L = 0 , =
2 r
= 3; 8 10 ^8 C/m^2.
- A Fig. 2 mostra uma seÁ„o reta de uma placa n„o-condutora muito extensa com uma espessura d = 9; 40 mm e uma densidade volumÈtrica de cargas uniforme = 5; 80 fC/m^3. A origem do eixo x est· no centro da placa. Determine o mÛdulo do campo elÈtrico a) em x = 0; b) em x = 2 mm; c) em x = 4; 70 mm; d) x = 26; 0 mm.
Fig. 2: Problema 5.
Vemos portanto que
a) V (r) =
q 8 " 0 R^3
r^2 = 2 ; 68 10 ^4 V
b) V (r) =
q 8 " 0 R
= 6 ; 81 10 ^4 V.
- Na Fig. 3 , qual È o potencial elÈtrico no ponto P devido ‡s quatro partÌculas se V = 0 no inÖnito, q = 5 fC e d = 4 cm?
Fig. 3: Problema 8.
Resposta: O potencial devido a uma carga pontual È da forma
V (r) =
Z (^) r
1
E^ ~ d~r^0 = q 4 " 0
r
Tomando a origem exatamente no ponto P , veriÖcamos que
V (P ) = 2
q 4 " 0
d
q 4 " 0
d
q 4 " 0
2 d
q 8 " 0 d
= 5; 62 10 ^4 V.
- A barra Öna de pl·stico que aparece na Fig. 4 tem um comprimento L = 12 cm e uma densidade linear de cargas n„o-uniforme = cx, onde c = 28; 9 pC/m^2. Com V = 0 no inÖnito, determine o potencial elÈtrico no ponto P 1 sobre o eixo x, a uma dist‚ncia d = 3 cm de uma das extremidades.
Fig. 4: Problema 9.
Resposta: O potencial elÈtrico de um elemento inÖnitesimal, localizado em x, no ponto P 1 ser·: dV =
dq 4 " 0
x + d
portanto, o potencial total ser·
V (P 1 ) =
Z
dq x + d
Z L
0
dx x + d
c 4 " 0
Z L
0
x x + d
dx
c 4 " 0
Z L
0
x + d d x + d
dx =
c 4 " 0
Z L
0
d x + d
dx =
c 4 " 0
[x d ln (x + d)]L 0
c 4 " 0
L + d ln
d L + d
c 4 " 0
L d ln
L
d
= 1; 86 10 ^2 V.
- Um elÈtron È colocado no plano xy, onde o potencial elÈtrico varia com x e y de acordo com os gr·Öcos da Fig. 5 (o potencial n„o depende de z). Em termos dos vetores unit·rios, qual È a forÁa a que È submetido o elÈtron?
Fig. 5: Problema 10.
Resposta: De acordo com o gr·Öco, vemos que o potencial È da forma
V (x; y = cte) =
Vs 0 ; 2
(x 0 ; 2)
V (x = cte; y) =
3 5 Vs 0 ; 3
(y 0 ; 3) :
Vemos portanto que o campo elÈtrico deve ser da forma
E^ ~ = @
@x
V (x; y = cte) ^{
@y
V (x = cte; y) ^|
= Vs
^{
3 5 0 ; 3
^|
= Vs (5 ^{ 2 ^|) N/C
e assim a forÁa que o elÈtron sente ser·
F^ ~ = q E~ = qVs (5 ^{ 2 ^|) = Vs ( 8 ^{ + 3; 2 ^|) 10 ^19 N.
- Suponha que N elÈtrons possam ser colocados em duas conÖguraÁıes diferentes. Na primeira conÖguraÁ„o todos os elÈtrons s„o distribuÌdos uniformemente ao longo de um anel circular estreito de raio R. Na segunda conÖguraÁ„o N 1 elÈtrons s„o distribuÌdos uniformemente ao longo do anel, e o elÈtron restante È colocado no centro do anel. a) Qual È o menor valor de N para o qual a segunda conÖguraÁ„o possui menor energia que a primeira? b) Para esse
e dN j = R. Portanto a energia total ser·
E T ot(2) =
e^2 4 " 0
NX 1
k=
X^ k ^1
j=
dkj
e^2 4 " 0
NX 1
j=
dN j
e^2 4 " 0 R
NX 1
k=
X^ k ^1
j=
p 2
q 1 cos
N 1 (k^ ^ j)
+^ N^ ^1
a) Fazendo uma tabela para os valores da energia em funÁ„o de N , veriÖca-se que o menor valor de N ser· N = 12. b) Para N = 12 veja que (escolhendo k = N 1 )
dN 1 ;j =
p 2 R
s
1 cos
(11 j)
< R , cos
(11 j)
= cos
e assim verica-se que esta desigualdade È satisfeita para j = 1; 10 , portanto 2 valores.
- Uma esfera met·lica de 15 cm de raio possui uma carga de 3 10 ^8 C. a) Qual È o campo elÈtrico na superfÌcie da esfera? b) Se V = 0 no inÖnito, qual È o potencial elÈtrico na superfÌcie da esfera? c) A que dist‚ncia da superfÌcie da esfera o potencial È 500 V menor que na superfÌcie da esfera? Resposta: a) Pela lei de Gauss temos que I E:d~^ ~ s = E (r) 4r^2 = qesf " 0
; p/ r R
) E~ (R) =
qesf 4 " 0 R^2
r^ = 1; 20 104 r^ N/C.
b) Vemos que o potencial ser·
V (r) =
Z (^) r
1
E:d~^ ~ r^0 = qesf 4 " 0
Z (^) r
1
r^02
dr^0 =
qesf 4 " 0 r ) V (R) =
qesf 4 " 0 R
= 1; 80 103 V.
c) Note que o potencial na posiÁ„o rm deve ser 500 V menor que na superfÌcie da esfera, ou seja, deve ser de V (rm) = 1300 V. Nesta situaÁ„o temos que
V (rm) =
qesf 4 " 0 rm
, rm =
qesf 4 " 0 V (rm)
= 0; 208 m = 20; 8 cm.
Portanto rm est· localizado a cerca de 5 ; 8 cm da superfÌcie da esfera.
