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CAPÍTULO 5
DETERMINANTES
5.1. INTRODUÇÃO
Historicamente, os determinantes apareceram primeiro no contexto de resolução de sistemas de equações lineares para um conjunto de variáveis em termos de outro conjunto de variáveis. O uso de determinante, que é um número associado a uma matriz quadrada, difundiu-se bastante a partir do século XIX e mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a de saber se uma matriz é invertível, se um sistema admite ou não solução, o que veremos nas próximas seções.
5.2 CONCEITOS PRELIMINARES
b/a. Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes, ou seja,^ Consideremos o sistema^ ax = b^ com^ a^ ^^0.^ A solução deste sistema é^ A =x = [a]. No sistema 22, com x 1 e x 2 como incógnitas temos a a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. quando resolvido, encontramos x 1 = (b 1 a 22 – b 2 a 12 )/(a 11 a 22 – a 12 a 21 ) e x 2 = (b 2 a 11 – b 1 a 21 )/(a 11 a 22 – a 12 a 21 ). Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz A dos coeficientes do sistema. O mesmo pode ser observado para um sistema 33 onde os denominadores de x 1 , x 2 e x 3 são iguais e também associados à matriz dos coeficientes do sistema. Então, chamando esses denominadores de det[A] , temos: det[A] = a , para o 1o^ caso. det[A] = a 11 a 22 – a 12 a 21 , para o segundo caso det[A] = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31. (5-1) Esse número que sempre aparecerá no denominador das incógnitas de qualquer sistema quadrado é chamado de determinante da matriz associada aos coeficientes de tal sistema. DETERMINANTE : Para uma matriz quadrada de ordem n, o conceito de determinante envolve muitos necessárias. símbolos, o que dificulta sua leitura então, algumas definições se fazem
Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ... , n , onde o total de permutações é n! , dizemos que existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Por exemplo, considerando as permutações de para cada permutação. 1, 2, 3 , vejamos quantas inversões temos
PERMUTAÇÃO NÚMERO DE INVERSÕES (1 2 3) 0 (1 3 2) 1 (2 1 3) 1 (2 3 1) 2 (3 1 2) 2 (3 2 1) 3 Tomando como exemplo a equação (5-1), observe que aparecem todos os produtos a1j1a2j2a3j3 , denominados de produtos elementares, onde ( j 1 j 2 j 3 ) são as permutações dos índices 1, 2 e 3 das colunas. Além disso, vemos que o sinal de cada produto é negativo se houver um número ímpar de inversões nas permutações dos índices das colunas. Definição: O determinante de uma matriz quadrada A, denotado por det(A) , é definido como a soma de todos os produtos elementares, considerando os sinais de cada produto (dado pelo número de inversões). Assim, escrevemos: det(A) = (–1)Ja1j1a2j2 ... anjn. (5-2) onde J é o número inversões. DIFICULDADES NO CÁLCULO : O cálculo de determinantes usando a equação (5-2) apresenta dificuldades computacionais devido à grande quantidade de produtos elementares, quando n cresce. Isso ocorre porque o número de produtos num determinante n n é n! = n.(n – 1).(n – 2).... que é um número que cresce rapidamente quando n cresce. Por exemplo, um determinante 10 10 tem 3.628.800 produtos elementares. Um determinante 30 30 tem tantos produtos elementares que um computador pessoal típico de hoje levaria mais de 1010 anos para calcular. Felizmente existem outros métodos para calcular determinantes, que exigem muito menos tempo de computação, principalmente quando associados a algumas propriedades. PROPRIEDADES : i) Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos, det(A) = 0. ii) det(A) = det(AT).
Também chamada de expansão de Laplace , segue o seguinte teorema: Teorema: O determinante da matriz quadrada A é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) por seus respectivos cofatores. Para exemplificar tomaremos uma matriz A de 3a^ ordem. Então, o determinante de A pode ser expandido da seguinte forma: det(A) = a det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13. (ao longo da 1a^ linha). det(A) = a^1121 CC^1121 + a+ a^2122 CC^2122 + a+ a^3123 CC^3123_. (ao longo da 1. (ao longo da 2aa_^ coluna).linha) det(A) = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32. (ao longo da 2a^ coluna). det(A) = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33. (ao longo da 3a^ linha) det(A) = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33. (ao longo da 3a^ coluna). Exemplo 2: Vamos calcular o determinante de a matriz a seguir, eliminando sempre a 1a coluna para cálculo dos co-fatores.
Esse procedimento pode ser generalizado para uma matriz An n , fazendo det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj. (5-3) onde a expansão é feita ao longo da j-ésima coluna, ou det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin. onde a expansão é feita ao longo da i-ésima linha. Exercício: Use a expansão de Laplace para encontrar o determinante da matriz
Resposta: -. SIMPLIFICANDO EXPANSÕES EM CO-FATORES : Podemos introduzir zeros em uma matriz sem alterar o seu determinante somando múltiplos apropriados de uma linha (ou coluna) a outra. Exemplo 3: Use uma expansão em co-fatores para encontrar o determinante da matriz
Chamando as linhas de R 1 , R 2 , R 3 e R 4 , podemos realizar as seguintes operações elementares sobre elas sem alterar o determinante: –3R 2 + R 1 R 1 , 2R 2 + R 3 R 3 e –3R 2 + R 4 R 4. Então, o determinante é dado por
DETERMINANTE POR ELIMINAÇÃO DE GAUSS :
Vamos ver aqui que um determinante pode ser calculado reduzindo a matriz A , a forma escalonada por linhas.
Exemplo 4: Seja calcular o determinante da matriz
TESTE PARA A INVERTIBILIDADE DE UMA MATRIZ :
ADJUNTA DE UMA MATRIZ :
Se A é uma matriz quadrada n n e Cij é o cofator de aij , então a matriz
é denominada a matriz de co-fatores de A. A transposta dessa matriz é denominada a matriz adjunta de A e denotada por adj(A). Ou seja adj(A) = CT
Exemplo 5: Os co-fatores da matriz são:
C 11 = 12 C 12 = 6C 13 = – 16 C 21 = 4C 22 = 2C 23 = 16 C 31 = 12 C 32 = – 10 C 33 = 16. Então a matriz de co-fatores e a matriz adjunta são respectivamente:
UMA FÓRMULA PARA A INVERSA :
Se A é uma matriz invertível, então A-1^ = [1/det(A)]adj(A). (5-4) Exemplo 6: A inversa da matriz do exemplo 5 é:
Observação: A equação (5-4) fornece uma maneira razoável de inverter matrizes 3 3 à mão, mas para matrizes de ordem superior, o algoritmo de redução por linhas visto no capítulo anterior é geralmente melhor. Exercício matriz A dada por:: Utilizando a definição de adjunta de uma matriz, encontre a matriz inversa da
REGRA DE CRAMER :
lineares de n equações a n incógnitas.^ O teorema a seguir nos fornece a regra de Cramer para a solução de sistemas Teorema: Se A x = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0 , caso em que a solução é: x 1 = det(A 1 )/det(A), x 2 = det(A 2 )/det(A), ..., xn = det(An)/det(A). onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b. Observe que essa regra nos fornece a solução apenas para sistemas quadrados com det(A) ≠ 0.
Exemplo 7: Resolva, usando a regra de Cramer, o seguinte sistema: x x 1 + x 2 + x 3 = 5 2x 11 – 2x+ x 22 – 3x– x 33 = 3=^ –.^1 Solução:
Assim, a única solução do sistema é: x 1 = det(A 1 )/det(A) = 4, x 2 = det(A 2 )/det(A) = –2, x 3 = det(A 3 )/det(A) = 3 Isto é, a solução é o vetor u = (4,-2,3).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS DETERMINANTES :
a) Se A é uma matriz 2 2 , então o valor absoluto do determinante de A representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores-coluna de A , com seus
x – A x = 0 ou (I – A) x = 0. (5-6) que é um sistema linear homogêneo cujas soluções são os pontos fixos de A. Teorema: Se A é uma matriz n n então as seguintes afirmações são equivalentes: (a) A têm pontos fixos não-triviais. (b) I – A é singular (não tem inversa). (c) det(I – A) = 0. Exemplo 9: Encontre os pontos fixos da matriz: Solução: utilizando a equação (5-6) temos:
Escrevendo em forma de sistema: 0x 1 + 0x 2 = 0. –2x 1 + 0x 2 = 0. Donde tiramos os pontos fixos de A como sendo:
Exercício: Encontre os pontos fixos das seguintes matrizes:
a) b)
Resposta: a) Só o trivial; b) x = 2t, y = t. AUTOVALORES E AUTOVETORES : Se A é uma matriz n n , para quais valores do escalar , se houver, existem vetores não-nulos em Rn^ tais que A x = x? Definição valor próprio : Se (^) ) de A é uma matriz n A se existe um vetor não-nulon, então um escalar x tal que é denominado A x = x. autovalor Se é um (ou autovalor de A , então cada vetor não-nulo x é denominado um autovetor de A associado a .
A maneira mais direta de encontrar autovalores de uma matriz A é reescrever a equação A x = x na forma ( I – A) x = 0. (5-7) e então encontrar os valores de , se houver, para os quais esse sistema tem soluções não-triviais. Isso acontece, como já vimos se: det( I – A) = 0. (5-8) A equação (5-8) é denominada de equação característica de A. Também, se é um autovalor de A , então (5-7) tem um espaço-solução não-nulo, denominado de auto- espaço de A , associado a .
Exemplo 10: Encontre os autovalores e autovetores associados da matriz e esboce os auto-espaços de A num sistema de coordenadas xy. Solução: Usando (5-8) escrevemos
I – A =
Então, para det( I – A) = 0 , temos
ou ^2 – 3 – 10 = 0.
Logo, = –2 e = 5. Para encontrar os auto-espaços ligados a esses autovalores, resolvemos o sistema:
Para = –2 , encontramos: x = –t e y = t , ou seja, os autovetores são
Para = 5 , encontramos: x = (3/4)t e y = t , ou seja, os autovetores são
A figura 5-1 mostra o esboço dos auto-espaços para = –2 e = 5.
Solução: Como a matriz é triangular então a equação característica é ( – ½)( + 2/3)( – 6)^2 = 0. e, portanto, os autovalores distintos são: = ½, = –2/3 e = 6. AUTOVALORES DE POTÊNCIAS DE UMA MATRIZ : Se é um autovalor de A e x um autovetor associado, então: A^2 x = A(A x ) = A( x ) = (A x ) = ( x ) = ^2 x. que mostra que ^2 é um autovalor de A^2 e x um autovetor associado. Em geral, temos o seguinte resultado: Teorema: Se é um autovalor de uma matriz A com autovetor associado x e se k é um inteiro positivo qualquer, então k^ é um autovalor de Ak^ com autovetor associado x. MULTIPLICIDADE ALGÉBRICA : Se A é uma matriz n n, então a forma expandida do determinante de ( I – A) é um polinômio de grau n , da forma: det( I – A) = n^ + c 1 n-1^ + ... + cn. O polinômio p( ) = n^ + c 1 n-1^ + ... + cn. (5-9) é denominado polinômio característico de A. Quando tentamos fatorar o polinômio característico distintos: p( ) , pode ocorrer três casos
- Fatoração em fatores reais distintos. Exemplo 12: ^3 + ^2 – 2 = ( ^2 + – 2) = ( – 1)( + 2).
- Fatoração em fatores reais, mas alguns repetidos. Exemplo 13: ^6 – 3 ^4 + 2 ^3 = ^3 ( ^3 – 3 + 2) = ^3 ( – 1)^2 ( + 2).
- Fatoração em que alguns fatores são números complexos (esses fatores são ditos irredutíveis ).
Exemplo 14: ^4 – 1 = ( ^2 – 1)( ^2 + 1) = ( – 1)( + 1)( – i)( + i). Onde ^2 + 1 é o fator irredutível sobre os números reais. Teorema: Se A é uma matriz n n , então o polinômio característico de A pode ser expresso como det( I – A) = ( – 1 )m1( – 2 )m2...( – k)mk. onde 1 , 2 , ..., k , são os autovalores distintos de A com m 1 + m 2 + ... + mk = n.
NO MATLAB :
p=poly(A) fornece os coeficientes do polinômio característico da matriz A na ordem decrescente de graus.
AUTOVALORES DE MATRIZES 2 2 E 3 3 : Vamos agora deduzir a fórmula para os autovalores de matrizes 2 2 e discutir algumas propriedades geométricas de seus auto-espaços. O polinômio característico de uma matriz qualquer de ordem 2, é det( I – A) = ^2 – (a + d) + (ad – bc) que pode ser expresso como det( I – A) = ^2 – tr(A) + det(A). Portanto, a equação característica de A é ^2 – tr(A) + det(A) = 0. (5-10) Então, os autovalores de A são as raízes da equação do 2o^ grau em (5-10). Para matrizes 3 3 pode ser mostrado que a equação característica de A é: ^3 – tr(A) ^2 + (M 11 + M 22 + M 33 ) – det(A) = 0. (5-11) onde M 11 , M 22 e M 33 são os menores dos termos a 11 , a 22 e a 33 , respectivamente. Exemplo 15: Encontre os autovalores das seguintes matrizes
a) b) c)
Solução (a): tr(A) = 7 e det(A) = 12 , de modo que ^2 – 7 +12 = 0. E, portanto, os autovalores de A são: = 4 e = 3.
, primeiro com =1 e depois com = 5.
Com = 1 : Encontramos x = –t e y = t , que são equações paramétricas da reta y = – x. Com = 5 : Encontramos x = t e y = t , que são equações paramétricas da reta y = x. Observe na figura 5-2 que as retas y = –x e y = x são perpendiculares. Vetorialmente podemos escrever estas retas como:
x = e x = Então, os vetores geradores v 1 = e v 2 = dos dois auto-espaços, são ortogonais.
Fig. 5-. EXPRESSÃO DO DETERMINANTE E TRAÇO EM TERMOS DE AUTOVALORES : Se A é uma matriz n n com autovalores 1 , 2 , ..., n (repetidos de acordo com a multiplicidade), então: (a) det(A) = 1 m1 2 m2... nmn. (b) tr(A) = m 1 1 + m 2 2 + ... + mn n. onde m 1 , m 2 , ..., mn são as multiplicidade de cada raiz do polinômio. Exemplo 17: Encontre o determinante e o traço de uma matriz 3 3 cujo polinômio característico é p( ) = ^3 – 3 + 2. Solução: Esse polinômio pode ser fatorado como p( ) = ( - 1)^2 ( + 2) de modo que os autovalores repetido de acordo com sua multiplicidade são: 1 = 1 ,
2 = 1 e 3 = –2. Assim, det(A ) = 12 2 = (1)^2 (–2) = –2 e tr(A) = 2 1 + 2 = 2(1) + (–2) = 0. Solução alternativa: Se p( ) é o polinômio característico de uma matriz An n, então tr(A) é o negativo do coeficiente de n-1^ e det(A) é o termo constante de p( ) se n é par e o negativo do termo constante se n é ímpar. Observações finais: Nas aplicações do mundo real, raramente os autovalores são obtidos resolvendo a equação característica, por duas razões:
- Para construir a equação característica de A , é necessário expandir o determinante det( I – A). Embora aplicativos como Mathematica, Maple e Derive façam isso para matrizes de pequeno tamanho, os cálculos são proibitivos para matrizes do tamanho que ocorre em aplicações típicas.
- Não existe uma fórmula algébrica ou um algoritmo finito que possa ser usado para obter as soluções exatas da equação característica de uma matriz qualquer quando n > 5. Dados esses impedimentos, foram desenvolvidos vários algoritmos para produzir aproximações numéricas dos autovalores e autovetores.
- Nas matrizes a seguir determine, se houver, os pontos fixos não-triviais:
(a) (b) (c) (d)
- Dada as matrizes x = , verifique que x é um autovetor de A e
encontre o autovalor associado.
Dadas as matrizes a seguir, encontre a equação característica, os autovalores e as respectivas multiplicidades algébricas. (a) (b) (c)
Sem fazer contas, encontre o polinômio característico e os autovalores das matrizes seguintes:
(a) (b) (c)
Para as matrizes simétricas dadas a seguir esboce os auto-espaços no sistema de coordenadas xy e use inclinações para confirmar que são retas perpendiculares. (a) (b)
Suponha que uma matriz A tenha polinômio característico p() = ^2 + 3 – 4. Encontre os autovalores das seguintes matrizes: (a) A^2 (b) A^3 (c) AT.
Mostre que se λ é um autovalor da matriz A e x é um vetor associado, então: λ = [(A x )• x ]/|| x ||^2.
Prove que se A é uma matriz quadrada, então A e AT^ têm o mesmo polinômio característico. [Sugestão: considere a equação característica det(λI – A) = 0 e use propriedades do determinante].
Prove que se λ é um autovalor de uma matriz invertível A e associado, então 1/λ é um autovalor de A-1 (^) e x é um autovetor associado. x é um autovetor
Prove que se λ é um autovalor de A e x é um autovetor associado, então sλ é um autovalor de sA para cada escalar s e x é um autovetor associado.
- Prove que se λ é um autovalor de A e x é um autovetor associado, então λ – s é um autovalor de (A – sI) para cada escalar s e x é um autovetor associado.
- Suponha que a matriz A tenha um polinômio característico p(λ) = λ Usando as afirmações dos problemas 16, 17, 18 e 19 encontre os autovalores das^2 + 3λ – 4. seguintes matrizes: (a) A-1^ (b) A-3^ (c) A – 4I (d) 5A (e) 4AT^ + 2I. 21 Utilizando a equação (5-11), determine a equação característica da matriz:
