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| iai | | ] ERREI RR ER Alfredo EER Emas STEINBRUCH 8 | “= | Paulo me al WINTERLE 138 problemas resolvidos 381 problemas propostos SUMÁRIO Prefácio da 24 edição Capítulo] VETORES VOS cre Ser nona ERA ENS OOo ape SAD go o mn acre 5 1 Operações CO Vetores... sema va no nenem ee nine eNiosr arepare aimço sro e 3 Vetoresno IR? ......cccccccccceee career rare 5 Igualdade e operações... ........ccccccccisisirarersa rasos 6 Vetor definido por dois pontos ..........ccisicccsisccccceos 8 Produto EsCalAT rs sos quais ra o susaiss rsss 5a puseram su mus 9 Ângulo de dois vetores... ......ccciccccsccscescescrsereso 10 Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores. .. . .......ccccccvco- 12 Vetoresno RÊ ........ccc css cccceeaecerrirana sra 13 Capítulo 2 ESPAÇOS VETORIAIS Introdução. ........ccccccccccecccc crer errar 15 ESPAÇOS VOLORIS... eueenees em scenamro atirera refaça Troia esposa terçãs 18 Propriedades dos espaços vetoriais . .......ccccrenaceceereses 24 Sabespaçõe vetoriais. ss ssa sue eras es aro oprersasema avessas 25 Combinação linear : usos cs nisso rirucnasia ns avesunrerea a dsetenema dm 39 Espaços vetoriais finitamente gerados .........ccccccccereremos 53 Dependência e independência linear .......csccccccccersereos 53 Basce Dimensão ....... essa Ce iomshas Canoas 66 Espaços vetoriais isomorfos 86 Problemas Capítulo 3 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais .........cccccccccesiocos 106 Sumário vir IMBILEZETO va seo arac aserrsciesa danse jariricaetnis duismranacasiça 374 Inialdade de MalZes: sagas ps as qanesnças 374 Adição de matizes. austin cessa ia DDT Lad 374 Produto de uma matriz por um escalar... ........ccisiccsccctsenes 375 Produto de uma matriz por outra .........ccccccsccsesistescem 376 Matriz trANSposta . acatar acess censenirapa mca area rsta ce acute jetsacate de soeperasegaço 398 MAE SSL asse nec cer erre pareceres cane 400 Matriz anti-SIMGMICa, sussa semen nerereenseanasa erre mnapran auras 401 Matriz ortogonal, . ups qu esa ga E a gs tags 402 Matriz triangular superior .......icicsssscisessasiasaersnrares 403 Matriz triangular inferior ........ccccscisccccsisicececrareiaia 403 Potência de uma matiz. «sussa messias ste eres scam + 404 DETERMINANTES Classe de uma permutação: . aspects aereas semseienpersansanare steacemsata 420 Termo pomCipal: pos saeiza secepanesa estoniana Desa na emacs 421 “Themo secundário. suas pus ssa Gus sEajgo quam HEM 44 Determinante de uma matriz... ...ccicseeececrteaeeecreresereo 421 Ordem de um determinante ......ccccccccsecceesesecceeseceeeo 421 Representação de um determinante ........cccccccsesccscccceo 421 Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2º e de 3º ordem... 422 Cálculo do determinante de 2* ordem ...........cccccisiiiiiiooo 423 Cálculo do determinante de 3º ordem ......iccccscsessscsseersra 426 Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432 Propriedades dos determinantes ......icisesenaearenenereeseros 433 Cálculo de um determinante de qualquer ordem ................... 446 INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa... ....cccccccs cics era 466 Matriz singular ......scssisisicescescceceser rr rasaara 466 Matriz nÃo-Singalr . aj sussa puiaieo es mucmaeress nuca cs 467 Propriedades da matriz inversa. .......cccciiciiitctiseis 468 Operações elementares . .......icsscasiiacicisas ese 470 Equivalência de matrizes. .......cccicccicccccrraeranaas au Inversão de uma matriz por meio de operações elementares. ........ 476 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear ............ E EMIIOS 22 PS PURO GMT JU EO 505 Sistemas de equações lineares... ......cccccciciccicctcicio 505 Solução de um sistema linear... .....cccccciccsciis 505 Sistema compatível... ....ciciissasacinitseriteraa tras 506 Sistemas equivalentes... .......ciiciccccicciceraraarad 507 Operações elementares e sistemas equivalentes ........cccccc. 508 Sistema linear homogêneo. .......ccccccccsccrssiacisaea 510 Estudo e solução dos sistemas de equações lineares .............. 510 Tae om Eai ida ad CAPÍTULO VETORES 11 VETORES Este capítulo tem por finalidade precípua revisar resumidamente a noção de vetor no Rº eno Rº e suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento do leitor”. Sabe-se que os vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido € o mesmo com- primento são representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.la, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, e escreve-se v=AB-CD in Figura |, 4 E O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geometria Analítica, dos autores desta Álgebra Linear, Editora McGraw-Hill Vetores 3 E Figura L.id 1.2 OPERAÇÕES COM VETORES 1.2.1 Adição de Vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectiva- mente (Figura 1.2). A u+v Figura 1.2a E cre Os pontos À e C determinam o vetor soma AC = utv. 1.2.1.1 Propriedades da adição D) Associativa:(u+ vw) +tw= u+(vtw). H) Comutativa:u+v=v tu, HI) Existe um só vetor nulo O tai que, para todo vetor v, se tem: v+0=0+v=v IV) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que: vt(v)= v+v7=0 4 Algebra linear Observações 1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + (-v). Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente. Construído o paralelogramo ABCD (Figura 1.2b), verifica-se que a soma u+v é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e que a diferença u -v é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal). Figura 1.2b 2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que: a) asoma u+v (ou v +u) tem origem no referido ponto; b) a diferença u - v tem origem na extremidade de v (e, por conseguinte, a diferença v - u tem origem na extremidade de u). 1.2.2 Multiplicação de um Número Real por um Vetor Dado um vetor vAO e um número real k£0, chama-se produto do nimero real k pelo vetor v ovetor p=kv, tal que: a) módulo: [p]= |kvj=|kllvl; b) direção: a mesma de v; c) sentido: o mesmo de v se k>0; e contrárioao de v se k e se lê “u escalar v”. Por exemplo, se u=(2,3) e v=(4,-1), tem-se: ux=2(4)+3(-1)=8-3=5 1.6.2 Módulo de um Vetor Módulo de um vetor v=(x,y), representado por |vl, é o número real não-negativo: lyl= /v.v ou, em coordenadas: bvl= 06,7) .(x,9) ou, ainda: a Iul= x) +yº Por exemplo, se v=(3, 4), então: Ivl= (32 +(4)] = /9+16=/25=5 A partir de cada vetor v &O é possível obter um vetor unitário u fazendo u = pi ; Por exemplo, é unitário o vetor: 3-4) 0 G-4) (3-4) 43-48) (3,04) 0,3 4 “13,4 /P+C4) /9+16 /35 5 (93) Observação: Dado um vetor AB com extremidades nos pontos A(x,,y1) e B(x,,y2), O módulo desse vetor será: ABI = (x -m) +(ya -y1” Assinale-se que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula, J0 Algebra linear 1.6.3 Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores u, ve w quaisquer e k€ IR, tem-se: Du.u>0 eu.u=0 se,esomentese, u=0=(0,0) u.v=v.u (comutativa) HD v.tvtw)=u.y+u.w (distributiva em relação à adição de vetores) 1V) Emu) .v=m(u.v) = u. (mv) Wu,u=|uf? Observações: Como consegiência das propriedades do produto escalar, vem: WD lutvP=jul+Zu.vtlv Com efeito: ju+vP=(u+w.(uty=u.tu+w)+v(u+v) lu+v[P=uutu vtviutr.v lutvZ=[upl+2Zu vt Iv]? 2) De modo análogo, mostra-se que: lu-vP=|u-2u.v+]v|? 1.7 ÂNGULO DE DOIS VETORES O ángulo de dois vetores u=OA e v=OB, não-nulos (Figura 1.7a), é o ângulo 6 for- mado pelas semi-retas OA e OB (Figura 1.7b) etaique 0<0 <7. Figura 1,72 Figura 1.7b 1 Álgebra linear Por exemplo, se u=(-2,-2) e v=(0,-2), o ângulo 8 pode ser calculado por intermédio da Fórmula (1.7.1): uv (-2,-2).(0,-2) “quilv COP » VT cos 8 0+4 E 4 f4r4 x ra ix vã 2/Ix2 cos é = ” LO cob="E vo Ea 2 8= arc cos 2 8=45º 1,8 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES a) Se dois vetores u=(%,,Y) & V=(X,Y2) são paralelos (ou colineares), existe um número k tal que: u=kv ou: Ou, yi)= Klxo, ya) o que implica: HE sd = xa y2 isto é, dois vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Representa- sepor v//v doisvetores u e y paralelos. Por exemplo, os vetores u=(-2,3) e v=(-4,6) são paralelos, pais: EE ã 4 6 ou seja: uv Fetores 13 b) Se dois vetores u=(x,,7/) & v=(x>,Y) são ortogonais, o ângulo 8 por eles formado é de 90º, e, portanto, cos 8 = cos 90º = 0, o que implica, pela Fórmuia (1.7.1): uv=0 ou. X1Xa + 9172 =0 isto é, dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo. Representa-se por ulv doisvetores u e v ortogonais. Por exemplo, os vetores u=(2,3) e v=(-3, 2) são ortogonais, pois: v.v=MD+I(D=4+6=0 1.9 VETORES NO IRº O conjunto R'=Rx Rx R=[(x,y,7)/x,y,2€ RJ é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. Da mesma forma como fizemos para o plano, consideraremos geralmente vetores repre- sentados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, Z) individualiza o vetor v= OP (Figura 1 9) e escreve-se: v=(*,y,2) identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. CAPÍTULO ESPAÇOS VETORIAIS 21 INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto: Rº=((x,y)/x, ye R) é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x,y) pode ser encarado como um ponto (Figura 2.1a) e, nesse caso, x e y são coprdenadas, ou pode ser encarado como um vetor (Figura 2.1b) e, nesse caso, x e y são componentes (ou coordenadas). Essa mesma idéia, em relação ao plano, estende-se para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto !Rº. Embora se perca a visão geométrica de espaços com dimensão acima de 3, é possível estender essa idéia a espaços como IR*, R$, .., RP. Assim, Figura 2. 1a Figura 2.1b 15 16 Algebra lincar quádruplas de números (x1,x2,X3,X4) podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço R* de quarta dimensão. A quintupla (2,-1,3,5,4) será interpretada como um ponto ou um vetor no espaço IR de dimensão cinco. Então, o espaço de dimensão rn (ou espaço n-dimensional) será constituído pelo conjunto de todas as n-uplas ordenadas € representado por IR", isto é: Rº= (xo, Xo, Xnh4e Rj) A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica âquela vista em IR" cem IRº. Por exemplo, se: U=(x,X,.,kn) € VV, Yao Ya) são vetores no IR” e a um escalar, define-se: a) u=y se, e somentese, X, =Y1,X2 =Y2.-., An 5 Yp- butv=(x tyrão ty Ko t Ya). C) QUu= (0X, QX2, 1, 0X). Duv= xy tXaya tt Aya e lul=y//u,u = MM tag tato Desde já é bom observar que O vetor U=(X,,X>,...,Xn) aparecerá, às vezes, com a notação matricial (matriz-coluna n x 1): eéfácilver que utv e au na notação matricial são os vetores: Xy Yo. [MXty Xa y2 X2 +Y2 u+v= É e: z = Xn Ya Xn *Yn 
