Algebra linear UAN ., Resumos de Álgebra

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CAPÍTULO E SMRESTTH VETORES NO Rº E NO IRº No Capítulo 1, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. No presente capítulo, vamos mostrar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço. 21 Decomposição de um Vetor no Plano À Dados dois vetores E e Nai não colineares, qualquer vetor v (coplanar com v, e Va) pode ser decomposto segundo as direções de vi e va. O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de vi e va e cuja soma seja v. Em outras palavras, iremos determinar dois números reais a, e a, tais que: = > —> Nava ft ãayvo Exemplos 1) Dados os vetores vi e va não colineares e v (arbitrário), a figura mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são determinados pelos vetores a; vi e a va 8, — portanto, a soma deles é o vetor v, que corresponde à diagonal desse paralelogramo: 15 2) Na figura seguinte os vetores v; evo 3) Geometria analítica —> da Va eee rms" cas / y —> mio daVa qn PR e q Para esta figura, tem-se: a, >0 e a, 0 > zados com i e j ea base (1,5) + é chamada canônica (Fig. 2.1-c). Figura 2.1-c Em nosso estudo, a menos que haja referência em contrário, trataremos somente da base canônica. Dado um 1 vetor v =x ty) (Fig. 2.1-d) no qual x e y são as componentes de v em reaçao à base (1d ) o vetor xi éa Prajeção ortogonal de v. sobre j (ou sobre o eixo dos x) e Yi é a projeção ortogonal de v sobre E (ou sobre o eixo dos y). Como a projeção sempre será ortogonal, diremos somente projeção. Figura 2.1-d Vetoresno Rº enoRº 19 2.2 Expressão Analítica de um Vetor dp mad Ora, fixada a base (i,)). fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Nestas condições, a cada vetor v do plano pode-se associar um par (x,y) de números reais que são suas componentes na base dada, razão porque define-se: vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representa por: —+ 4 v=(2,9) —p que é a expressão analítica de v. A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em vez de escrever v =3i - Sj, pode-se escrever v = (3,-5). Assim também, EA + +31= (1,1) — 3 —- (0,3) —+ i -10i =(-10,0) —+ o — e, particularmente, i = (1,0), j = (0,1) e O = (0,0). Observação Deve ter ficado claro quê a escolha proposital da base (1,1) deve-se à simplificação. Assim, para exemplificar, quando nos referimos a um ponto P(x, y), ele pode ser identificado com o vetor v = OP = xi + yj, sendo O a origem do sistema (Fig. 2.2). Figura 2,2 Desta forma, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Vetores no Rº e no Rº ZE Figura 2.3-b As definições acima e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades citadas em 1.5: . —+ — — a) para quaisquer vetores u,v e w, tem-se + + + /í—> tv v + +00 —+ > 0 —+ -—+ (u+v)tw=u+t+(vtw) > +05 u+0=u + — —+ u+(-u)=0 = Lo a b) para quaisquer vetores u e v eos números reais a e b, tem-se a(bv)= = (ab) (a +bju= au + bu — a(u +v)=au +av —+ 0 —+ va 2.3.3 Problemas Resolvidos — É a + |j5> 5 — k l) Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u SE +w, sendo dados u=(3,-1) e pa v=(-2,4). Solução =p Ei 1. Esta equação 3w + 2u Roy v+w w pode ser resolvida como uma equação numérica: meio —+ jo —+ 6w +4u = v+2w EE = —+ ip 6w -2w = v-4u je mo =, dw = v-duy la |l> 5 =-vV-u 4 22 Geometria analítica id a Ed —+ e Substituindo u e v na equação, vem es = (2,4) -(3.-1) b w=(1)-(3,-1) fa wo= (> +(3), 1+(41) 2) ta| w=(- 2) Encontrar os números a, € à» tais que —+ —) & = ad tas, sendo u =(1,2), v=(4,-2) e w = (1,8). Solução Substituindo os vetores na igualdade acima, temos: (1,8)=a,(1,9)tan(4,-2) (-1,8)=(a,,2a1) + (4a,, -2a2) (-1,8)=(a, + 442, 2a, - 2a2) Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que: dy + da, = -] 2a, - 249) = 8 -—+ — v a sistema de solução a, =3 e ay =-1, Logo, w =3v, -va. 24 Vetor Definido por Dois Pontos Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem , - en - “ . ? do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x,,Y1) e extremidade em B(x, 2) (Fig. 2.4-a). 24 Geometria analítica 2.4.1 Problema Resolvido 3) Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que md | cento CD a AB. Solução CD =D-C=(x,y)-(2,9)=(x+(42),7+(-4)) = (442,79) AB=B-A=(3,-D-C1,9)= (3+61),=1+6-2)) = (4,-3) logo: (x+2,7-4)=—(4,-3) G2y-1)-C- to] to ) Pela condição de igualdade de dois vetores: x+2=2 as Ee a Ea o sistema cuja solução é x = O ey 2º Por conseguinte: Eai D (0,5). 2 Decomposição no Espaço Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma análoga, consideradas as adequações necessárias. e mb a : : No plano, qualquer conjunto (vi,vo ) de dois vetores, não colineares, é uma base e, portanto, todo vetor v deste plano é combinação linear dos vetores da base. isto é, sempre Vetores no RºenoRº E) existem os números a, e a, reais tais que v =ajv; tazva. e ed ' ; a 4 (vj,VasV3 ) de trés vetores não coplanares é uma base e, de forma análoga, demonstra-se que No espaço, qualquer conjunto todo vetor v do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais a,,ã, e aa tais que: mio ria da + V “av + avo + daVa + onde aj, à, e ay são as componentes de v em relação à base considerada. Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases Ortonormais existentes, escolhe- —+ remos para nosso estudo a base canônica representada por EA ES k +. Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo Peso O e por este ponto três retas como mostra a Figura 2.5-a. A reta com a direção do vetor 1 é oeixo dos x (das abscissas), a reta com à SE7 a direção do vetor E é o eixo dos y (das ordenadas) c a reta com a direção do vetor k é o eixo dos z (das cotas). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo. Estes eixos são chamados eixos coordenados. Figura 2,5-a Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz eo plano yOz ou yz. As Figuras 2.5-b, 2.5-c e 2.5-d dão uma idéia dos planos xy, xz e yz, respectivamente. . Vetores no Rº e no IRº 27 a Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada octante. A Figura 2.5-e dá uma idéia do 19 octante, a Figura 2.5-f do 20 octante e a Figura 2.5-g do 30 octante. —oe— Figura 2.5-e Figura 2.5-f Fisanii£e A cada ponto P do espaço vai corresponder uma terna (a,b, c) de números reais, chama- das coordenadas de P e denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. Para obter auras de P, Fracemos por P um plano paralelo ao plano yz; o ponto de interseção Plano com o eixo dos x tem, nesse eixo, uma coordenada a, que é a abscissa de P 28 Geometria analítica (Fig. 2.5-h). Para obter a ordenada de P, tracemos por P um plano paralelo ao plano xz; o ponto de interseção deste plano com o eixo dos y tem, nesse eixo, uma coordenada b, que é a ordenada de P (Fig. 2.5-i). De forma análoga, ao traçar por P um plano paralelo ao plano xy, fica determinada a coordenada c, que é a cota de P (Fig. 2.5+). — — — o — Figura 2.5-h Figura 2,5-i Figura 2.5-) Com este procedimento de traçar os trés planos pelo ponto P, fica determinado um na pípedo retângulo como o da Figura 2,5%. Se o ponto fosse P(2,4,3). com idêntico procedimento, teriamos o paralelepípedo da Figura 2.5-f. . 30 | Geometria analítica = pe Ro ==. Figura 2.5-m o plano, este vetor v é igual ao vetor o com o o 0,0) e Px, Y. Z). Na Figura 2.5-n, o vetor a E alla corresponde à diagonal do. paraleler ípedo + Sujos lados se alo pe vetores e zk. E, para simplificar, escreveremos à Vetores no Rº enoRº 31 —+ —>+ + + : Em vez de escrever v=2i-3j +k, pode-se escrever v =(2,-3,1). Assim, também, =» mes = (1,-1,0) 2j-k = (0,2,-1) 4k = (0,0,4) =» l e, em particular, i = (1,0,0). j = (0,1,0)e k = (0,0, 1). Tendo em vista a correspondência biunívoca entre o conjunto de pontos P(x, v,Zz) do espaço e o conjunto de vetores v=0P=xi +y] + zk, o espaço pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Diz-se que este espaço tem três dimensões ou que ele é tridimensional, porque qualquer uma de suas bases tem três vetores e, portanto, o número de componentes de um vetor é três. De forma análoga, o plano tem dimensão 2 ou é bidimensional. Fica fácil entender que a reta tem dimensão 1 ou é unidimensional. O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui um sistema referencial. Em particular, que é o nosso caso, o conjunto formado pelo ponto O e pela base ER k ) é chamado referencial ortonormal de origem O ou, ainda, sistema cartesiano ortonormal Oxyz. Este sistema (Fig. 2.5-a) é indicado por (0,1,), k). Por analogia, no plano, o sistema (0,1,)) é chamado sistema cartesiano ortonorma! xOy ou, simplesmente, sistema cartesiano xOy. Por outro lado, sabemos que a representação geométrica do conjunto IR dos reais é a reta, por isso também chamada reta real (Fig. 2.5-0). Figura 2.5-0 O produto cartesiano IRXIR ou Rº é o conjunto Rº=((x,y)/x,y ER) e sua representação geométrica é o plano cartesiano determinado pelos dois eixos cartesianos ortogonais x e y (Fig. 2.5-p). Vetoresno Rº enoRº Se) 2.7 Condição de Paralelismo de Dois Vetores Em 1.5.3 vimos que, se dois vetores v =(X1,91,21) e v =(X,,Yy2.Z,) são colineares (ou paralelos), existe um número k tal que u= =kv, ou seja, (Xi, Y1,Z))= k(xo,Yy2,22) OouUÍ (x1,Y1,2Z1)=(kxa, kya, kzo) mas, pela definição de igualdade de vetores: = kx, Yi = kyo Z1 = kz; ou: a X2 Ya Za Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas e coordenadas são proporcionais. Representase por u/iv dois vetores u e v paralelos. Exemplo Os vetores u =(-2,3-4) e v =(-4, 6, -8) são paralelos pois: RS ou seia é Sid =-4 6 Er ja, 2 ão V É claro que se uma componente ”y um vetor é nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. 2.7.1 Problemas Resolvidos 4) Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u =(2,-1,1), o Q, -1) é —t w =( -2,2,2), verificar se existem os números a,,a, e a; tais que w=a; AB +açu tasv. 34 Geometria analítica Solução ETA À : Temse: AB=B-A=(1,2,-1)-(0,1,-1)=(1-0,2+(-1),-1 +(+))=(1,1,0) Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta: (2,2,2)-2,00,1,0)tas(-2 =|, 1)+as00,0,-1) ou: (-2,2,2)=(a,,a,.0) t(-2a,, -a2,a2) + (343,0, =da ) Somando os três vetores do segundo membro da igualdade, vem: (-2,2,2)=(a; - 2a, + 3a3,a, -d2,ã —à3) Pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema: a, - 2a, t+ 3as = o H t-3 aj - à2 da da 2 que tem por solução a, =3, a =| e ay =-l1. Logo: = == -— uU-v = w = 3AB + 5) Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S talque P,Q,R e S sejam vértices de um paralelogramo. Solução Se PQRS é o paralelogramo da figura, então PQ =SR e PS = QR. B) a RR R