Universidade Federal do Recˆ
oncavo da
Bahia - UFRB
Centro de Formac¸˜
ao de Professores - CFP
N´
ucleo de Gest˜
ao de Pesquisa
EXERC´
ICIOS RESOLVIDOS DE AN´
ALISE
Wendell Otero Prates
Amargosa-Bahia
Janeiro 2014
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Alguns exercícios resolvidos do livro "Curso de Análise vol.1" do Elon Lages Lima.
Tipologia: Exercícios
2014
1 / 43
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Algumas Soluções e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Universidade Federal do Recˆoncavo da
Bahia - UFRB
Centro de Formac N´ucleo de Gest˜¸˜ao de Professores - CFPao de Pesquisa
EXERC´ICIOS RESOLVIDOS DE AN ALISE´
Wendell Otero Prates
Amargosa-Bahia Janeiro 2014
Sum´ario
1 EXERC´ICIOS DO CAP´ITULO II 3
2 EXERC´ICIOS DO CAP´ITULO III 24
3 EXERC´ICIOS DO CAP´ITULO V 40
Como s(N) = N − { 1 }. Logo, ∃p ∈ Xc; p ∈ s(X) ⇒ ∃n ∈ X; p = s(n). Pela propriedade de X, s(n) ∈ X. Logo, p ∈ X, que ´e uma contradi¸c˜ao. Quest˜ao 2: ∀a, b ∈ N, ∃m ∈ N; m.a > b. Solu¸c˜ao:
- a = 1: Tome m = s(b) que, m.a = s(b).1 = b + 1 > b.
- a 6 = 1: Tome m = b que, a 6 = 1 ⇒ a > 1 ⇒ m.a > m. ⇒ m.a > b. Quest˜ao 3: [(a ∈ X) ∧ (n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X)] ⇒ X ⊃ {n ∈ N : n ≥ a}. Solu¸c˜ao: Equivalente a mostrar que ∀p ∈ N, sp(a) ∈ X. De fato, j´a que n > a ⇒ ∃p ∈ N; n = a + p = sp(a). Seja A = {p ∈ N : sp(a) ∈ X}
- 1 ∈ A: a ∈ X ⇒ s(a) ∈ X, pela propriedade de X.
- Suponha que algum k ∈ A. Logo,
sk(a) ∈ X ⇒ s(sk(a)) ∈ X, pela propriedade de X. ∴ sk+1(a) ∈ X
⇒ k + 1 ∈ A ∴ A = N. Quest˜ao 4: N AO ˜ E COBRADO.´ Quest˜ao 5: Prove que, exceto 1, todo n´umero natural possui um antecessor. Solu¸c˜ao:
- b = 1 possui um antecessor ⇒ ∃a ∈ N; a < 1 ⇒ ∃p ∈ N; a + p = 1. p = 1 : a + 1 = 1 ⇒ s(a) = 1, absurdo, pois 1 n˜ao pode ser sucesor de ningu´em. p 6 = 1 :
citado.^ p^ =^ s(q), para algum^ q^ ∈^ N^ ⇒^ a^ +^ s(q) = 1^ ⇒^ s(a^ +^ q) = 1, absurdo j´a
- b 6 = 1 ⇒ ∃a ∈ N; s(a) = b ⇒ ∃a ∈ N; a + 1 = b ⇒ ∃a ∈ N; a < b. Al´em disso, caso ∃c ∈ N; a < c < b ⇒ ∃p 1 , p 2 ∈ N; a + p 1 = c e c + p 2 = b ⇒ a + 1 = s(a) = b = c + p 2 = a + p 1 + p 2
´unica bije¸c˜ao poss´ıvel ´e a que f (a) = b.
- Suponha que k ∈ N.
B =Quando {b^ ]A^ =^ ]B^ =^ k^ + 1, ou seja,^ A^ =^ {ai^ : 1^ ≤^ i^ ≤^ k^ + 1}^ e das as bije¸j^ : 1c˜oes de^ ≤^ j^ F≤(^ A, Bk^ + 1) tais que}.^ Para cada f (a 1 ) =^ j^ b∈ {j.^1 ,^2 , ..., k^ + 1}^ considere to- Pela H.I. F(A − {a 1 }, B − {bj }) possui k! bije¸c˜oes. Como j varia de 1 a k + 1, ent˜ao F(A, B) possui (k + 1) · k! ∴ k + 1 ∈ N ∴ N = N. Quest˜ao 9.a: ](X ∪ Y ) + ](X ∩ Y ) = ](X) + ](Y ). Solu¸c˜ao: Do exerc´ıcio 9, do cap´ıtulo 1 sabemos que (X − Y ) ∪ (Y − X) = (X ∪ Y ) − (X ∩ Y ). Logo, (X − Y ) ∪ (Y − X) ∪ (X ∩ Y ) = (X ∪ Y ). Como (X − Y ), (Y − X) e (X ∩ Y ) s˜ao dois a dois disjuntos, tem-se ](X − Y ) + ](Y − X) + ](X ∩ Y ) = ](X ∪ Y ). (1) Al´em disso, X − Y = X − (X ∩ Y ) ⇒ X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ) e como, (X − Y ) e (X ∩ Y ) s˜ao disjuntos, tem-se ](X) = ](X − Y ) + ](X ∩ Y ) ⇒ ](X − Y ) = ](X) − ](X ∩ Y ). (2) Analogamente,
](Y − X) = ](Y ) − ](X ∩ Y ). (3)
Substituindo (2) e (3) em (1), tem-se ](X) − ](X ∩ Y ) + ](Y ) − ](X ∩ Y ) + ](X ∩ Y ) = ](X ∪ Y ) ⇒ ](X) + ](Y ) − ](X ∩ Y ) = ](X ∪ Y ) ∴ ](X) + ](Y ) = ](X ∪ Y ) + ](X ∩ Y ). Quest˜ao 9.b: F´ormula para 3 conjuntos. Solu¸c˜ao: Sejam X, Y e Z conjuntos finitos e seja V = Y ∪ Z. Da´ı, ](X ∪ Y ∪ Z) = ](X ∪ V ) = ]X + ]V − ](X ∩ V ) = ]X + ](Y ∪ Z) − ](X ∩ (Y ∪ Z)) = ]X + ]Y + ]Z − ](Y ∩ Z) − ](X ∩ (Y ∪ Z)) = ]X + ]Y + ]Z − ](Y ∩ Z) − ]((X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)) = ]X +]Y +]Z −](Y ∩Z)−[](X ∩Y )+](X ∩Z)−]((X ∩Y )∩(X ∩Z)) = ]X + ]Y + ]Z − ](Y ∩ Z) − ](X ∩ Y ) − ](X ∩ Z) + ](X ∩ Y ∩ Z) = ]X + ]Y + ]Z + ](X ∩ Y ∩ Z) − [](Y ∩ Z) + ](X ∩ Y ) + ](X ∩ Z)] ∴ ]X+]Y +]Z = ](X∪Y ∪Z)+](Y ∩Z)+](X∩Y )+](X∩Z)−](X∩Y ∩Z) Quest˜ao 9.c: Generaliza¸c˜ao da f´ormula. Solu¸c˜ao:
mos uma contradi¸F(Ip, X) n˜ao possui nenhuma fun¸c˜ao do C1T4. c˜ao injetiva, pois caso contr´ario, teria-
- p ≤ n: Possui
p ∏− 1 j=0^ (n^ −^ j) fun¸c˜oes injetoras. De fato, Seja X = {x 1 , x 2 , ..., xn} e defina Y = {p ∈ N : F(Ip, X) possua ∏^ p−^1
fun¸c˜oes injetoras}.^ j=0^ (n^ −^ j) Note que 1 ∈ Y , pois I 1 = { 1 } ⇒ F(I 1 , X) = {f 1 (1) = x 1 , f 2 (1) = x 2 , ..., fn(1) = xn} ⇒ F(I 1 , X) possui n =
j=0^ (n^ −^ j) fun¸c˜oes injetoras.
dada porAo supormos que f (1) = x^ k^ ∈^ Y^.^ Para cada^ f^ ∈^ F(Ik, X), onde^ f^ :^ Ik^ →^ X^ ´e em F(Ik+1, X), dadas por^1 , f^ (2) = g^ (xi) =^2 , ..., f f (i^ (), quando 1k) =^ xk^ obtemos ≤ i ≤^ nk^ −e gp(^ fun¸k + 1) =c˜oes injetivas xj ; xj ∈ X − f (Ik).
Como F(Ik, X) possui
k∏− 1
sas fun¸c˜oes obtem-se n − k^ j =0em^ (n F^ −(I^ jk) fun¸+1, Xc˜), ent˜oes injetivas e para cada uma des-ao F(Ik+1, X) possui (n − k) · k∏− 1 j=0^ (n^ −^ j) =
(k+1) ∏− 1 j=0^ (n^ −^ j) fun¸c˜oes injetivas. Logo^ k^ + 1^ ∈^ Y^. ∴ Y = { 1 , 2 , ..., n}. Quest˜junto Xao 13:, sabendo que Quantos subconjuntos com p elementos possui um subcon- X tem n elementos?
Solu¸c˜ao:
Afirma¸c˜ao: X possui Cpn subconjuntos com p elementos.
Al´em disso, iremos considerar apenasEssa afirma¸c˜ao ser´a demonstrada por indu¸ p ≤ n (j´a que n˜c˜ao emao faz sentido um sub-^ n, deixando^ p^ livre. conjunto ter mais elementos que o pr´como v´alida, ou seja, ∀n, p ∈ N, Cn oprio conjunto) e a identidade de Stifel p− 1 +^ Cpn =^ C pn +1. Seja Y = {n ∈ N : n = ]X e atenda a afirm¸c˜ao }.
com 0 elementos.Note que 0^ ∈^ Y^ , pois^ ]X^ = 0^ ⇒^ X^ =^ ∅^ e^ ∅^ s´o possui^ C^00 = 1 suconjunto Ao supormos que k ∈ Y. Sendo X = {x 1 , x 2 , ..., xk} temos que X possui Cpn subconjuntos com p elementos, pela H.I. Desse modo, ao adicionarmos xk+1 em X, X ter´a os mesmos subconjun- tos com {x p elementos sem xk+1, mais os subconjuntos formados pela uni˜ao de indu¸k+1c˜}ao s˜^ e os subconjuntos deao Cn^ X^ com^ p^ −^ 1 elementos, que por hip´otese de elementos. Logo,p−^1. Logo,k + 1 ∈^ X Y^ .possuiria^ Cpk^ +^ Cpk−^1 =^ C^ pk^ +1subconjuntos com^ p ∴ Y = N. Quest˜ao 14: ]A = n ⇒ ]P(A) = 2n. Solu¸c˜ao: Seja X = {n ∈ N : ]A = n ⇒ ]P(A) = 2n}.
- 1 ∈ X: De fato, pois ]A = 1 ⇒ A e φ s˜ao os ´unicos subconjuntos de A.
- Supondo que haja algum k ∈ X e considerando ]A = k + 1, tome algum a ∈ A, que por hip´otese de indu¸c˜ao, ]P(A − {a}) = 2n.
mento dado pela uni˜Note que para cada elemento deao do mesmo com^ P( A{a^ − {}, formando mais 2a}), podemos formar outro ele-n^ subconjuntos
Quest˜de X ´e infinito enumer´ao 16: X ´e infinito enumer´avel. avel ⇒ O conjuntos das partes de finitas
Solu¸c˜ao: Sabendo que o conjunto Pf das partes finitas de N ´e dado por Pf = (^) i⋃∈N Pi, onde Pi = {A ⊂ N : ]A = i}. Basta mostrar que Pi ´e infinito enumer´avel. De fato, pois sendo assim, teriamos Pf infinto enumer´avel por se tratar de uma uni˜obtida da enumerabilidade deao enumer´avel de enumer´ X, estabeleceria uma bije¸aveis. Al´em disso, a bije¸c˜aoc˜ aoψ ϕ: P: N → X, onde Xf ´e o conjunto das partes finitas de X, dada por A 7 → ϕ(fA^ →), que^ Xf indicaria sua enumerabilidade.
amente, considere a seguinte fun¸Para demonstrar que^ Pi^ ´e enumer´c˜ao:avel, para todo^ i^ ∈^ N, fixado arbitrari- Dado A ∈ Pi, com A = {a 1 < a 2 < ... < ai}, seja φ : Pi → Ni^ dada por φ(A) = (a 1 , a 2 , ..., ai). Claramente φ ´e injetiva. Logo, por C1T8, Pi ´e enumer´avel. Quest˜est´aveisao 17: ∅ e X (^) .X ´e finito ⇔ ∃f : X → X que s´o admite os subconjuntos
Solu¸c˜ao: ⇒] X ´e finito ⇔ X = {x 1 , x 2 , ..., xn}.
e f (Desse modo, considerex^ f^ :^ X^ →^ X^ dada por^ f^ (xi) =^ xi+1, se 1^ ≤^ i^ ≤^ n−^1 n) =^ x 1.
Afirma¸c˜ao: f ´e a fun¸c˜ao procurada.
est´aveis porDe fato, pois os ´ f , ´e o pr´unicos subconjuntos deoprio X e o ∅. Uma vez que dado^ X, tal que sejam relativamente Y ⊂ X e
⇒ x^ ∃i^ ∈ {^1 ,^2 , ..., n};^ xi^ ∈^ Y ⇒ xi+1^ =^ f^ (xi)^ ∈^ Y^ ⇒ · · · ⇒^ xn^ =^ f^ (xn−^1 )^ ∈^ Y 1 =^ f^ (xn)^ ∈^ Y^ ⇒^ x 2 =^ f^ (x 1 )^ ∈^ Y^ ⇒ · · · ⇒^ xi− 1 =^ f^ (xi− 2 )^ ∈^ Y^. ∴ Y = X. ⇐] Suponha que X seja infinito. Para toda fun¸c˜ao f : X → X, tome x 1 ∈ X. Se f (x 1 ) = x 1 , ent˜ao ∃mente est´ Y = {xavel por 1 } ⊂ X fsubconjunto pr´ e isto seria uma contradi¸oprio de X (^) c˜(poisao. Caso X ´e infinito) relativa- f (x tome x^1 ) =^ x^2 6 =^ x^1 , ent˜ao ∃^2 Y^ ∈=^ X {^ xe repita o processo, ou seja, se 1 , x 2 } ⊂ X subconjunto pr´oprio de^ f^ (x 2 X) = (j´^ a quex^2 ou Xf^ (´xe infinito)^2 ) =^ x^1 , relativamente est´com x avel por f , causando uma contradi¸c˜ao. Caso f (x 2 ) = x 3 , k − 1 vezes, obtivermos que^3 6 =^ x^1 e^ x^3 6 =^ x^2 , repita o processo. f (xk) = xk+1 ∈ {^ Se ao repetirmos o processox 1 , x 2 , ..., xk}, teriamos uma contradi¸ X (lembrando quec˜ao de existir um X ´e infinito) relativamente est´ Y = {x 1 , x 2 , ..., xk} ⊂ Xavel por subconjunto pr´ f. Contudo, seoprio de para todo f (x k ∈ N, f (xk) = xk+1 6 ∈ {x 1 , x 2 , ..., xk}, ent˜ao para Y = {x 2 = que^1 f), x (Y^3 ) =^ =^ f {^ (xx^2 ), ..., xk+1^ =^ f^ (xk), ...}^ tamb´em teremos uma contradi¸c˜ao, j´a pois x 1 6 ∈ Y. Tornando^3 =^ f^ (x^2 Y), x relativamente est´^4 =^ f^ (x^3 ), ..., xk+2avel por^ =^ f^ (x kf+1 .), ...} ⊂^ Y^ e^ Y^6 =^ X, ∴ X ´e finito. Quest˜ ∀x ∈ Xao 18: − f (X Seja), tem-se f : X x, f → (^) (Xx) (^) , fuma fun¸ (f (x))c˜, ...ao injetiva ; dois a dois distintos. f (X) 6 = X. Prove que,
Solu¸c˜ao: Claramente, ∀n ∈ N, x 6 = f n(x), j´a que x 6 ∈ f (X).
∃ f : X → Y sobrejetiva ⇒ f possui inversa a direita ⇒ ∃ g : Y → X; f ◦ g = id ⇒ ∃ g : Y → X que possui inversaa esquerda ⇒ ∃ g : Y → X injetiva. Quest˜ao 20 a): X finito e Y enumer´avel ⇒ F(X, Y ) ´e enumer´avel. Solu¸c˜ao: X finito ⇒ ∃ uma bije¸c˜ao ϕ : Ip → X para algum p ∈ N.
porDesse modo, podemos definir uma bije¸ ψ(f ) = f ◦ ϕ−^1. c˜ao^ ψ^ :^ F(Ip, Y^ )^ →^ F(X, Y^ ), dada Bije¸c˜ao porque
ψ(f 1 ) = ψ(f 2 ) ⇒ f 1 ◦ ϕ−^1 = f 2 ◦ ϕ−^1 ⇒ f 1 ◦ ϕ−^1 ◦ ϕ = f 2 ◦ ϕ−^1 ◦ ϕ ⇒ f 1 = f 2. Logo, injetora. Al´em disso, ∀ h ∈ F(X, Y ), ∃ f = h ◦ ϕ ∈ F(Ip, Y ); ψ(f ) = f ◦ ϕ−^1 = (h ◦ ϕ) ◦ ϕ−^1 = h. Logo, sobrejetora. Desse modo, basta mostrar que F(Ip, Y ) ´e enumer´avel. Como Y ´e enumer´avel, aplicando T10 (p − 1) vezes, segue que Y p^ ´e enu- mer´avel. Temos tamb´em que ∀ f ∈ F(Ip, Y ), tem-se f = (f (1), f (2), ..., f (p)) = (y 1 , y 2 , ..., yp) ∈ Y p^ ⇒ F(X, Y ) ⊂ Y p.
Logo, por C1T8, F(Ip, Y ) ´e enumer´avel. Quest˜Prove que o conjuntoao 20 b): Para cada fun¸ X das fun¸c˜aoc˜oes f : fN :→ N N→ seja N tais queAf = {n A∈ N : f (n) 6 = 1}. conjunto enumer´avel. f^ ´e finito ´e um Solu¸c˜ao: Seja Nn o conjunto das fun¸c˜oes f : N → N, tais que ]Af = n. Vimos no Cap.I, que cadasequˆencia. Al´em disso, f ∈ ]A Nn ´e uma fam´ılia com ´ındices em N, ou seja, uma ki ∈ N da sequˆencia (f (1)f, f^ = (2)^ n, ..., f, diz que para cada (k), ...) tais que^ f^ ∈f (^ Nkin), existem 6 = 1.^ n^ ´ındices Desse modo, podemos definir ϕ : Nn → Nn^ dada por ϕ(f ) =^ ( P (^) kfi^ (ki)^ ) ki∈Af onde cada Pk ´e o k-´esimo primo. Note que, ϕ(f 1 ) = ϕ(f 2 ) ⇒^ ( P (^) kfi^1 (ki)^ ) ki∈Af 1 =^ ( P (^) jfi^2 (ji)^ ) ji∈Af 2 ⇒ P (^) kfi^1 (ki)= P (^) jfi^2 (ji), ∀ i ∈ { 1 , 2 , ..., n}. Por T.F.A. ⇒ ki = ji e, consequentemente, f 1 (ki) = f 2 (ji), ∀ i ∈ { 1 , 2 , ..., n}. ⇒ f 1 = f 2. Logo, ϕ ´e injetiva. ∴ Por C1T8, Nn ´e enumer´avel. Portanto, X ´e enumer´avel, j´a que ´e uni˜ao enumer´avel de enumer´aveis X = (^) n⋃∈N Nn.
Quest˜que os conjuntosao 21: Obtenha uma decomposi¸ X c˜ao N = X 1 ∪ X 2 ∪ · · · ∪ Xn ∪ · · · tal 1 , X 2 , ..., Xn, ...^ s˜ao infinitos e dois a dois disjuntos.
Solu¸c˜ao: Como C2T8 garante a existˆencia, iremos mostrar apenas a unicidade.
cente, fixada arbitrariamente, eSendo^ f^ a bije¸c˜ao crescente de T8, sejam N = {n ∈ N :^ gg^ (:n^ N) =^ → f^ (Xn^ )uma bije¸}. c˜ao cres-
- 1 ∈ N : Caso contr´ario, ter´ıamos que ∃ n > 1, onde g(n) = menor elemento de X < g(1) e seria contr´ario ao fato de g ser crescente.
B^ •^ Ao supormos que^ k^ ∈^ N^ , teremos^ g(k) =^ f^ (k)^ ⇒^ g(k)^ < x,^ ∀^ x^ ∈ k(∗). Caso,
menor elemento de^ g(k^ + 1)^6 =^ f^ (k B^ + 1)^ ⇒ ∃^ n^ ∈^ N;^ n > k^ + 1 e^ g(n) =^ f^ (k^ + 1) = ser crescente. Logo, kk + 1< g ∈( kN^ + 1)..^ O que iria de contr´ario ao fato de^ g ∴ N = N. (∗) definido na prova de T8. Quest˜ao 24: X ∈ R ´e infinito ⇒ X = ⋃ i∈N
Xi, com Xi infinito e dois a dois disjuntos. Solu¸c˜ao: Como todo conjunto infinito X possui um subconjunto enumer´avel E e X = (Ora, comoX − E) ∪E E ´e enumer´. Basta mostar queavel, ∃ ϕ : N E → satisfaz a proposi¸ E que ´e uma bije¸c˜ao acima.c˜ao. Vimos que na quest˜Desse modo, para Nao 22 que f : N × N → N ´e uma bije¸c˜ao. i =^ {f^ (i, n) :^ n^ ∈^ N} ⇒ ∀i^ ∈^ N,^ Ni ´e infinito e Ni∩Nj = ∅ quando i 6 = j, j´a que f ´e bije¸c˜ao. Al´em disso, N = Im(f ) = ⋃ i∈N Ni.
i 6 = Portanto, paraj, pois ϕ ´e bije¸^ c˜Eao.i^ =^ ϕ(Ni)^ ⇒^ Ei^ ´e infinito e^ Ei^ ∩^ Ej^ =^ ∅^ sempre que ∴ E = ⋃ i∈N Ei,
do jeito que foi solicitado na quest˜ao. Quest˜a somaao 25: f +g : (^) ASeja → AN (^) , o produtoum conjunto. Dadas duas fun¸ f.g : A → N, e dˆe o significado da afirma¸c˜oes f, g : A → N, definac˜ao f ≤ g. Indicando com ξX a fun¸c˜ao caracter´ıstica de um subconjunto X ⊂ A, prove: a)b) ξξX∩Y = ξX · ξY ; ξXX∪∪YY == ξξXX ++ ξξYY −⇔^ ξ XX∩ ∩Y^. Em particular,Y = ∅; c) X ⊂ Y ⇔ ξX ≤ ξY ; d) ξA−X = 1 − ξX. Solu¸c˜ao: As defini¸c˜oes s˜ao triviais. 25a): Sabendo que, ∀ X ⊂ A a fun¸c˜ao caracter´ıstica , ξX : A → { 0 , 1 }, ´e dada por
ξX (t) =
{ (^1) , se t ∈ X 0 , se t 6 ∈ X. Teremos que, dados X, Y ⊂ A,
- t ∈ X ∩ Y ⇒
{ (^) ξX∩Y (t) = 1. t ∈ X e t ∈ Y ⇒ ξX (t) = ξY (t) = 1. ∴ ξX∩Y (t) = 1 = ξX (t) · ξY (t) = (ξX · ξY ) (t).
- t 6 ∈ X ∩ Y ⇒
{ (^) ξX∩Y (t) = 0. t 6 ∈ X ou t 6 ∈ Y ⇒ ξX (t) = 0 ou ξY (t) = 0.