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Revisado em 08/08/
1- Análise Combinatória
1.1- Introdução
Análise Combinatória estuda a quantidade de grupamentos que podemos formar com certas quantidades de elementos de um conjunto, quer interesse a ordem ou não, quer usemos todos os elementos no grupamento ou não, quer haja elementos repetidos ou não. Convém lembrar que a análise Combinatória não verifica como os elementos se agrupam, mas sim a quantidade máxima de grupamentos que podemos formar.
1.2- Princípios Fundamentais
“Se um evento pode acontecer de qualquer um de n 1 modos e se, quando ele ocorrer, outro evento pode realizar-se de qualquer um de n 2 modos, então o número de maneiras segundo as quais ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será
n 1 .n 2 .”^1
1.3- Fatorial de n
O fatorial de n, representado por n!, é definido por:
n! n n 1 n 1 n 1 ... 3 2 1
exemplos: a) 5! 5.4.3.2.1 120 b) 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 40. c) 10! 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3.628. d) 13! e) 15!
etc. Por definição 0! = 1
1 SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3 e. São Paulo: Makron Books: 1993. (Coleção Schaum), pág. 160
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1.4- Permutações
Uma permutação de n objetos, tomados r de cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se em consideração a ordem de sua disposição. Representação:
n Pr^ ou^ P n r ^ ,^^ ^ ou Pn r ,^ leia-se: O número de permutações de^ n^ objetos, tomados^ r
de cada vez.
P n r , n n 1 n 2 ... n r 1 n n ^! r !
Obs.: é comum chamarmos de Permutação quando: (^) n r e de Arranjo quando: (^) n r e desta forma ficaríamos assim:
Arranjo : A n r , n n ^! r ! e Permutação : Pn n n 1 n 2 ... 3.2.1 n!
a- Permutação Circular Pn ^ com n r
P 1 1 1 ! 0! 1 P 2 2 1! 1! 1 P 2 3 1 ! 2! 2.1 2
ou seja: Pn n 1 !
b- Permutação com elementos de um conjunto que tem elementos repetidos:
a (^) a
b
a
b
c a
b c
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Quando n é grande, a avaliação direta de n! é impraticável. Nesses casos, usa-se uma formula aproximada, que é chamada de aproximação de Stirling para n!, que é:
n! 2 n n e. n^ n
lembrando que e 2,7182818...que é a base dos logaritmos naturais log e ln.
1.7- Exercícios
1- De quantas maneiras 10 pessoas poderão sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares?
2- Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os 10 algarismos (0, 1, 3, .. ,9) se: (a) forem permitidos as repetições; (b) as repetições não forem permitidas e (c) o último algarismo deve ser zero e não forem permitidas as repetições.
3- Calcular: (a) C 7,4; b) C 6,5; c) C 4,4.
4- De quantas maneiras uma comissão de 5 pessoas pode ser escolhida entre 9?
5- Um rapaz tem 5 moedas, cada uma de um valor diferente. Quantas somas diferentes podem ser formadas?
6- Calcular 50!
7- Cinco cartas são tiradas de um baralho de 52 cartas, bem embaralhadas. (a) Quantas escolhas podem ser feitas? (b) Sabendo que 4 cartas são ás (A), de quantas maneiras diferentes podemos descartar duas delas (somente os ás)? (c) Sabendo que todos são de
Ouro(♦), de quantas maneiras diferentes podem ser a mão?
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ATENÇÃO: um baralho tem 52 cartas sendo 13 cartas de Ouro (♦), 13 de Paus (♣), 13 de Copas ()e 13
de Espada (♠). As 13 cartas de cada naipe são A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (rainha), K (rei).
Há também os curingas (2 ou 4), que são usados em muitos jogos, mas em geral (e em nossos exercícios)
consideramos o baralho como tendo 52 cartas.
