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- N⁄MEROS REAIS AN¡LISE NO CORPO R - 2018.
1.1 ConstruÁ„o Axiom·tica do Corpo R
Devido ‡ sua import‚ncia fundamental, faremos aqui breves referÍncias a algumas idÈias que con- duziram ‡ construÁ„o dos n˙meros reais. Dentre as v·rias formas de construÁ„o do corpo R, preferimos ‡quela que invoca o PrincÌpio do Encaixe. O ponto de partida È o conjunto dos n˙meros naturais N = f 1 ; 2 ; 3 ; : : :g e as operaÁıes fundamen- tais de adiÁ„o e multiplicaÁ„o destes n˙meros, cuja caracterizaÁ„o È estabelecida do seguinte modo axiom·tico: AXIOMA 1.1 Existe uma funÁ„o injetiva s : N! N. O n˙mero natural s (n) È o sucessor de n:
AXIOMA 1.2 Existe um ˙nico n˙mero natural 1 2 N tal que 1 6 = s (n) ; 8 n 2 N;
AXIOMA 1.3 Se um conjunto X N È tal que 1 2 X e n 2 X =) s (n) 2 X, ent„o X = N:
O Axioma 1.3 È conhecido como PrincÌpio de InduÁ„o Finita, de larga aplicaÁ„o em matem·tica. Por exemplo, desejamos provar que:
2 + 4 + 6 + : : : + 2n = n (n + 1) ; 8 n 2 N.
Denotando essa sentenÁa por P (n), construimos o conjunto X = fn 2 N; P (n) ocorreg e com auxÌlio do Axioma 1.3 provaremos que X = N. De fato:
(i) P (1) È simplesmente 2 = 2; que È uma sentenÁa verdadeira!
(ii) Admitindo que P (n) ocorre, teremos:
2 + 4 + 6 +| {z : : : + 2n} P (n)
e isto mostra que P (n + 1) tambÈm ocorre.
As operaÁıes de adiÁ„o e multiplicaÁ„o em N ser„o, agora, caractrizadas pelas sentenÁas:
(i) n + 1 = s (n) :
(ii) n + s (m) = s (m + n) :
(iii) n 1 = n:
2 AN¡LISE NO CORPO R MARIVALDO P. MATOS
(iv) m (n + 1) = m n + m:
A necessidade da operaÁ„o inversa da adiÁ„o conduz ‡ introduÁ„o do n˙mero zero e dos n˙meros negativos. Representamos por Z o conjunto dos inteiros
Z = f: : : ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; : : :g
e este conjunto com a operaÁ„o de adiÁ„o, isto È, o par fZ; +g possui estrutura de Grupo Abeliano. Isso signiÖca que a operaÁ„o adiÁ„o "+"goza das seguintes propriedades:
(a) A operaÁ„o soma (+) È associativa: (x + y)+z = x+(y + z) e comutativa: x+y = y+x, 8 x; y; z 2 Z:
(b) Existe em Z um elemento neutro, isto È, um elemento 0 tal que 0 + x = x; 8 x 2 Z:
(c) Todo elemento de Z tem inverso, isto È, dado x 2 Z, existe y 2 Z, tal que y + x = 0:
A operaÁ„o multiplicaÁ„o () deÖnida em N estende-se de forma natural ao grupo Z. Este conjunto com as operaÁıes de adiÁ„o e multiplicaÁ„o possui estrutura de Anel Abeliano com Unidade, isto È, o terno fZ; +; g È tal que:
ESTRUTURA ABELIANA: fZ; +g È um grupo abeliano. EXIST NCIA DA UNIDADE: existe em Z um elemento 1 ; tal que x 1 = x, 8 x 2 Z. ASSOCIATIVIDADE: x (y z) = (x y) z ; 8 x; y; z 2 Z. COMUTATIVIDADE: x y = y x 8 x; y; z 2 Z. DISTRIBUTIVIDADE: (x + y) z = x z + y z; 8 x; y; z 2 Z: A necessidade de deÖnir a operaÁ„o inversa do produto em Z leva ao aparecimento dos n˙meros racionais ou fraÁıes, cuja totalidade È representada pela letra Q. Este conjunto, equipado das operaÁıes de adiÁ„o "+"e multiplicaÁ„o "", dadas por:
a b +^
c d =^
ad + bc bd e^
a b ^
c d =^
a c bd
possui estrutura de Corpo NumÈrico, isto È, o terno fQ; +; g È um anel abeliano com unidade e o par fQn f 0 g ; g um grupo. No corpo algÈbrico Q, È sempre possÌvel dividir um elemento qualquer b por outro elemento a 6 = 0; devido ‡ equaÁ„o ax = b ter soluÁ„o x = ba ^1 , onde a ^1 representa o inverso multiplicativo de a: Notamos, ainda, que no corpo Q n„o se pode dividir por zero, porque a equaÁ„o 0 x = b È impossÌvel, no caso em que b 6 = 0 (isso È consequÍncia do fato 0 x = 0; 8 x 2 Q): Dado x em Q, representa-se por x o inverso aditivo (simÈtrico) de y e a soma y + ( x) anota-se y x, que È a diferenÁa entre y e x:A Öm ordenar o corpo Q, consideremos em Q um subconjunto Q+, denominado conjunto dos elementos positivos de Q, o qual goza das propriedades:
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que dado p=q 2 Q existe n 2 N tal que n > p=q. Se p=q 0 , consideramos n = 1; se p=q > 0 ; n„o h· perda de generalidades em admitir p; q > 0 e, neste caso, consideramos n = p + 1 e obtemos:
p q <
p + 1 q ^ p^ + 1 =^ n: O fato de ser N n„o limitado superiormente em Q È uma propriedade intrÌnseca do corpo Q. Existem corpos ordenados mais gerais onde N È limitado superiormente. Por exemplo, consideremos o corpo Q (t) das funÁıes racionais com coeÖcientes inteiros e denominador n„o identicamente nulo, onde deÖnimos os elementos positivos de Q (t) como aquelas funÁıes racionais p (t) =q (t) tais que o coeÖciente do termo de maior grau do polinÙmio p (t) q (t) È positivo. O elemento p (t) = t È um majorante do conjunto N, uma vez que, p (t) n = t n È uma funÁ„o racional positiva.
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA Com o exemplo fundamental estabelecemos uma propriedade adicional do corpo Q, denominada propriedade arquimediana: dados x; y 2 Q+, existe n 2 N tal que nx > y: Essa propriedade È facilmente comprovada, tendo em vista que N n„o È limitado superior- mente em Q. … oportuno observar que o corpo ordenado Q (t) referido acima e no qual N È limitadao superiormente n„o È arquimediano. O corpo Q, alÈm de ordenado e arquuimediano, possui a propriedade de densidade, isto È, dados a; b 2 Q com a < b, existe c 2 Q tal que a < c < b. De fato, sendo a < b, ent„o:
a + a < a + b < b + b =) (1 + 1) a < a + b < (1 + 1) b =) a < a 1 + 1^ +^ b < b:
Esta propriedade de densidade permite escolher em Q elementos t„o prÛximos quanto desejarmos de outro elemento previamente escolhido e, assim, deÖnir a mais importante noÁ„o da An·lise Matem·tica, a noÁ„o de limite na sua forma mais simpliÖcada, que È a de limite de sequÍncia.
A DIAGONAL DE UM QUADRADO DE LADO 1 Ao que se sabe, foi Pit·goras quem primeiro abordou a quest„o de determinar um n˙mero x tal que x^2 = 2. Prove que esta equaÁ„o n„o tem soluÁ„o em Q. A inexistÍncia de uma fraÁ„o p=q tal que (p=q)^2 = 2 deve-se ‡ propriedade de densidade do corpo Q. Embora Q contenha uma inÖnidade de pontos (n˙meros) n„o contÈm o suÖciente para medir a diagonal de um quadrado de lado 1. … necess·rio ampliar o conjunto dos racionais Q, ou seja, tapar os buracos da reta, para que esta possa servir de rÈgua graduada capaz de medir qualquer comprimento com rigor. Assim, suporemos a existÍncia de um corpo ordenado arquimediano R, contendo Q, onde È v·lido o PrincÌpio do Encaixe, utilizado em algumas literaturas para a caracterizaÁ„o axiom·tica dos n˙meros reais. A propriedade arquimediana do corpo R È decisiva na comprovaÁ„o de que 1 =n torna-se arbitrariamente prÛximo de zero, ‡ medida que o n˙mero natural n cresce. Traduzimos isto escrevendo 1 =n! 0 , com n! 1: O mesmo raciocÌnio se aplica a outras sucessıes a exemplo da sucess„o x= 2 n:
COMPLEMENTOS 1 N⁄MEROS REAIS 5
Esta noÁ„o de convergÍncia (proximidade) ser· tratada mais tarde com bastante rigor. No momento enfatizamos o seguinte: (i) se an an+1 e bn bn+1, seja qual for n 2 N, e se bn an! 0 , ent„o para todo x 2 [an; bn] tem-se an se aproxima de x pela esquerda (anota-se: an! x ) e bn se aproxima de x pela direita (anota-se: bn! x+) (ii) se an y e an! x, percebe-se que x y:
1.1.1 Valor Absoluto & Intervalos
Dado x 2 R deÖnimos o valor absoluto ou mÛdulo de x como sendo o n˙mero real jxj = max fx; xg. … claro que jxj = x, se x 0 e jxj = x, no caso em que x < 0 : Existe uma classe importante de subconjuntos de R; denominados intervalos, com notaÁ„o e car- acteÌsticas especÌÖcas. Se a e b s„o dois n˙meros reais e a < b, deÖnimos os intervalos:
[a; b] = fx 2 R; a x bg (a; + 1 ) = fx 2 R; x > ag [a; b) = fx 2 R; a x < bg [a; + 1 ) = fx 2 R; x ag (a; b] = fx 2 R; a < x bg ( 1; b] = fx 2 R; x bg (a; b) = fx 2 R; a < x < bg ( 1; b) = fx 2 R; x < bg :
Dado um intervalo limitado I com extremos a e b, o comprimento de I È o n˙mero real jb aj, que representaremos por m (I) : Um intervalo pode ser caracterizado da seguinte forma (veja o ExercÌcio 1.20): um conjunto I R È um intervalo se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se a; b 2 I e a < x < b, ent„o x 2 I:
PRINCÕPIO DO ENCAIXE Dada uma famÌlia inÖnita fIngn 2 N de intervalos fechados n„o vazios
de R, com In In+1, para qualquer n 2 N, ent„o
^1
n=
In 6 = ?. AlÈm disso, se m (In)! 0 , ent„o existe
um ˙nico x comum a todos os In: No PrincÌpio do Encaixe, a hipÛtese dos intervalos serem fechados È essencial. De fato, note que ^1 n=
(0; 1 =n) =? e que
^1
n=
[n; + 1 ) = ?:
Passemos agora ‡ construÁ„o do n˙mero p 2 que È precisamente a raiz positiva da equaÁ„o x^2 = 2: Com efeito, consideremos um intervalo [a; b] tal que a^2 2 b^2 (por exemplo, o intervalo [1; 2]). Ora, ou 2 (^) a+b 2
ou 2 (^) a+b 2
e dividindo [a; b] ao meio, um dos intervalos da divis„o, digamos [a 1 ; b 1 ], È tal que a^21 2 b^21. Representemos esse intervalo por I 1 e uma repetiÁ„o sucessiva do processo de divis„o do intervalo ao meio nos conduz a uma famÌlia fIng de intervalos encaixados In = [an; bn] ; tal que a^2 n 2 b^2 n: Como cada intervalo In tem a metade do comprimento do intervalo anterior, ent„o bn an = (b a) 2 n^! 0 e, portanto, existe um ˙nico x pertencente a todos os intervalos In e ainda an! x e bn! x: Assim, tomando o limite, com n! 1; na desigualdade a^2 n 2 b^2 n, encontramos
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inferior n„o. Denotemos por I 1 = [a 1 ; b 1 ] tal intervalo. Repetindo o processo com o intervalo I 1 no lugar do intervalo I, produzimos um intervalo I 2 nas condiÁıes de I 1 e assim sucessivamente. Dessa forma, obtemos uma famÌlia de intervalos encaixados
I I 1 I 2 : : : In : : : ;
onde In = [an; bn] È tal que: (i) bn an = b 2 na! 0 e (ii) bn È majorante de X e an n„o È. Se s o ˙nico ponto comum a todos os intervalos In, ent„o an! s e bn! s e aÖrmamos que s = sup X: De fato: (a) dado x 2 X, ent„o x bn; 8 n; e fazendo n! 1, encontramos x s; (b) se s^0 for um majorante de X tem-se an s^0 ; 8 n, e fazendo n! 1, encontramos s s^0 :
PRINCÕPIO DO ÕNFIMO Uma parte X R n„o vazia, limitada inferiormente, tem ÌnÖmo.
1.1.2 Caracterizando o sup X e o inf X
Decorrem diretamente dos conceitos de supremo e inÖmo de um conjunto limitado X as seguintes caracterizaÁıes: (a) Com relaÁ„o a uma cota superior de X R, as aÖrmaÁıes abaixo s„o equivalentes:
(i) = sup X; (ii) Dado " > 0 , existe x 2 X tal que " < x:
(b) Com relaÁ„o a uma cota inferior de X R, as aÖrmaÁıes abaixo s„o equivalentes:
(i) = inf X; (ii) Dado " > 0 , existe x 2 X tal que + " > x:
1.1.3 Densidade
Um subconjunto X R diz-se denso em R se, dados a; b 2 R com a < b, existe c 2 X tal que a < c < b: Por exemplo, Q È denso em R. Com efeito, dados a; b 2 R com a < b, existe, pela propriedade arquimediana, um n 2 N tal que n (b a) > 1 , isto È, 1 =n < b a. Marcando na reta real os pontos da forma k (^1) n ; k 2 Z, a reta Öca subdividida em intervalos de comprimento (^1) n < b a e necessariamente ao menos um ponto da forma kn Öcar· entre a e b: Da mesma forma, o conjunto RnQ dos n˙meros irracionais tambÈm È denso em R. Nesse caso, consideramos n 2 N tal que
p 2 n < b^ ^ a^ e marcam-se na reta os pontos da forma k
p 2 n , com^ k^2 Zn f^0 g. Toda reta, exceto o intervalo^
p 2 =n; p 2 =n (^) ; Öca
dividida em intervalos de comprimento p 2 =n < b a e, por Öm, adicionamos os irracionais p 2 = 2 n: Agora, aplicamos o raciocÌcio anterior.
8 AN¡LISE NO CORPO R MARIVALDO P. MATOS
1.1.4 Raiz n-Èsima
Dados um n˙mero real a > 0 e n 2 N, existe um ˙nico b > 0 tal que bn^ = a. O n˙mero b È denominado raiz n-Èsima positiva de a e anota-se b = pna. A comprovaÁ„o desse fato È estabelecida por etapas e comeÁamos enfatizando duas relaÁıes que ser„o utillizadas: Desigualdade de Bernoulli: Se x 1 , ent„o (1 + x)n^ 1 + nx; 8 n 2 N; Se b > 0 e bn^ < a, ent„o (b + )n^ < a, para suÖcientemente pequeno.
Agora, consideremos os subconjuntos:
X = fx 2 R; x 0 e xn^ < ag e Y = fy 2 R; y > 0 e yn^ > ag :
Temos que X 6 =? e X È limitado, porque 0 2 X e 0 x max f 1 ; ag ; 8 x 2 X. Se b = sup X; ent„o:
(i) b = 2 X, do contr·rio existiria > 0 ; tal que (b + )n^ < a e, portanto, b + 2 X, contradizendo a deÖniÁ„o de b:
(ii) b = 2 Y; pois se È tal que 0 < < min
b; (bn^ a) =nbn ^1 ; segue da Desigualdade de Bernoulli:
(b )n^ = bn^ (1 =b)n^ bn^ (1 n=b) = bn^ nbn ^1 > a
e, portanto, b 2 Y. Isto n„o È possÌvel, porque b = sup X inf Y , j· que x < y; 8 (x; y) 2 XY:
O PrincÌpio do Supremo È tambÈm conhecido como Axioma de Completeza do corpo R. Ser completo È uma propriedade fundamental que diferencia o corpo R do corpo Q dos n˙meros racionais. O conjunto
X =
x 2 Q; x^2 < 2
È limitado superiormente e, contudo, n„o possui supremo em Q. Note que sup X = p 2 2 = Q:
AS POT NCIAS am=n^ Dados m; n 2 N e um n˙mero real a > 0 , deÖnimos a potÍncia am=n^ por:
am=n^ =
a^1 =n
m : (1.5)
Se m È um inteiro negativo, escrevemos am=n^ = 1=a m=n^ e temos as seguintes propriedades:
(a) ar^ as^ = ar+s; r; s 2 Q: (b) (ar)s^ = ars; r; s 2 Q:
10 AN¡LISE NO CORPO R MARIVALDO P. MATOS
f (m) 2 ff (1) ; f (2) ; : : : ; f (n 1)g e f (n) 2 Xn ff (1) ; f (2) ; : : : ; f (n 1)g. … claro que f (N) È um subconjunto de X inÖnito enumer·vel.
:::::::::::::::::::::::::::::^ 5.^ N^ ^ N^ È enumer·vel. Em primeiro lugar, lembramos que a representaÁ„o de um n˙mero natural em fatores primos È ˙nica. A funÁ„o : N N! N deÖnida por (m; n) = 2n^ 3 m^ estabelece uma injeÁ„o entre N N e N. Decorre desta propriedade que se X e Y s„o enumer·veis, ent„o o produto cartesiano X Y È enumer·vel. De fato, a partir das bijeÁıes ' : N! X e : N! Y deÖnimos a bijeÁ„o : N N! X Y; pondo (m; n) = (' (m) ; (n)).
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::^ 6.^ Uma decomposiÁ„o interessante do conjunto^ N. Vamos decompor o conjunto N em uma uni„o inÖnita N = N 1 [ N 2 [ : : : [ Nn [ : : : de subconjuntos inÖnitos dois a dois disjuntos. ComeÁamos exibindo uma bijeÁ„o entre N e N N. De fato, deÖnamos ' : N! N N por: ' (2n 1) = (1; n) e ' (2m^ (2n 1)) = (m + 1; n). Agora, seja : N N! N dada por (m; n) = n e consideremos Nk = [ '] ^1 (k) : Dado n 2 N, ent„o n 2 Nk, se n = 2k 1 ou n 2 Np, se n = 2m^ (2p 1) e, portanto, N = N 1 [ N 2 [ : : : [ Nn [ : : :. … claro que cada Nk È inÖnito e se n 2 Np \ Nq, ent„o p = q = (' (n)), de modo que a uni„o È disjunta. Note que:
N 1 =
1 ; 2 ; 22 ; 23 ; : : : ; N 2 =
3 ; 3 2 ; 3 22 ; 3 23 ; : : : ; N 3 =
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::^ 7.^ Sobre a reuni„o enumer·vel Se X 1 ; X 2 ; X 3 ; : : : Xn; : : : s„o enumer·veis, ent„o X =
[^1
n=
Xn È enumer·vel. De fato, considerado
para cada n uma jijeÁ„o fn : N! Xn , a aplicaÁ„o : N N! X deÖnida por (i; j) = fi (j) È
sobrejetiva e, dos fatos j· estabelecidos, deduzimos que X È enumer·vel. Como consequÍncia, olhamos a decomposiÁ„o Z = N [ f 0 g [ ( N) e a aplicaÁ„o sobrejetiva : Z (Zn f 0 g)! Q; dada por (m; n) = m=n; e concluÌmos as respectivas enumerabilidade de Z e Q.
Teorema 1.7 O corpo R dos n˙meros reais È n„o enumer·vel.
DEMONSTRA«√O ::::::::::::::::::: Provaremos que uma funÁ„o f : N! R n„o pode ser sobrejetiva. Com efeito, seja I 1 = [a 1 ; b 1 ] tal que f (1) < a 1 , de modo que f (1) 2 = I 1. Se f (2) 2 = I 1 , escolhamos I 2 = I 1. Se f (2) 2 I 1 , isto È, a 1 f (2) b 1 , ent„o ou f (2) > a 1 ou f (2) < b 1 e, ocorrendo a primeira
opÁ„o, consideramos I 2 = [a 2 ; b 2 ], com a 2 = a 1 e b 2 = a^1 + 2 f (2) (como seria I 2 caso ocorresse a segunda opÁ„o?). Dessa forma, construÌmos, indutivamente, uma sucess„o de intervalos encaixados
I 1 I 2 I 3 : : : In : : : com f (n) 2 = In = [an; bn] ; 8 n. Se c 2
^1
n=
In, n„o existe n 2 N tal que
f (n) = c:
COMPLEMENTOS 1 N⁄MEROS REAIS 11
Corol·rio 1.8 O conjunto RnQ dos n˙meros irracionais È n„o enumer·vel
DEMONSTRA«√O ::::::::::::::::::: Se fosse, ent„o R = Q [ (RnQ) seria enumer·vel.
Corol·rio 1.9 O intervalo aberto ( 1 ; 1) È n„o enumer·vel
DEMONSTRA«√O ::::::::::::::::::: A fÛrmula g (x) = x= (1 jxj) deÖne uma bijeÁ„o de ( 1 ; 1) ! R, com inversa g ^1 (y) = y= (1 + jyj) :
Corol·rio 1.10 Se a < b, o intervalo aberto (a; b) È n„o enumer·vel
DEMONSTRA«√O ::::::::::::::::::: A fÛrmula f (x) = 12 [(b a) x + a + b] estabelece uma bijeÁ„o entre os intervalos ( 1 ; 1) e (a; b).
Corol·rio 1.11 O conjunto RnQ dos n˙meros irracionais È denso em R
DEMONSTRA«√O ::::::::::::::::::: Se n„o fosse, existiria um intervalo aberto (a; b) inteiramente contido em Q e, assim, (a; b) seria enumer·vel.
1.2 Escrevendo para Aprender
- Comprove as seguintes aÖrmaÁıes no corpo R dos n˙meros reais.
(a) Se a b = a c e a 6 = 0, ent„o b = c: (b) Se a b = 0, ent„o ou a = 0 ou b = 0: (c) Se a a = a, ent„o ou a = 0 ou a = 1: (d) N„o existe um n˙mero racional r tal que r^2 = 6: (e) Se r È um n˙mero racional n„o nulo e È um n˙mero irracional, ent„o os n˙meros + r e r tambÈm s„o irracionais. (f ) Se r e s s„o n˙meros racionais, ent„o r s e r + s tambÈm o s„o. (g) Se e s„o n˙meros iracionais, ent„o e + podem ser racionais. (h) Se a 2 R e m; n 2 N, ent„o am+n^ = am^ an^ e (am)n^ = amn: (i) Dados a; b 2 R, ent„o: ou a > b; ou a = b, ou a < b:
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(c) Se 0 < < 1 , mostre que m^ < n^ () m > n:
- Mostre que ja bj jaj + jbj e que jjaj jbjj ja bj : Como consequÍncia, deduza que:
ja bj < " ) jaj < jbj + ":
- Mostre que ja + bj = jaj + jbj se, e somente se, ab 0 :
- Mostre que ja + bj = jaj + jbj se, e somente se, ab 0 :
- Dados trÍs n˙meros reais x; y e z, mostre que jx yj + jy zj jx zj. Se x < z; mostre que x y z se, e somente se, jx yj + jy zj = jx zj. Interprete os resultados geometricamente.
- Mostre que jx aj < , a < x < a + :
- Se x; y 2 (a; b) ; mostre que jx yj < b a: Interprete o resultado geometricamente.
- Esboce no produto cartesiano R R os seguintes subconjuntos:
(a) f(x; y) : jxj jyjg (b) f(x; y) : jxj + jyj 1 g (c) (x; y) : jyj x^2 :
- Dados r; s 2 Q, com 0 < 2 r < s, mostre que = r p 2 r + s= 2 È irracional e que r < < s:
- Sejam b 1 ; b 2 ; : : : ; bn n˙meros reais n„o nulos, com mesmo sinal. Se a bk k 2 ( ; ), k = 1; 2 ; 3 ; : : : ; n, mostre que: a 1 + a 2 + + an b 1 + b 2 + + bn^2 (^ ;^ )^ :
- Sejam a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : ; an 2 Z e x uma soluÁ„o da equaÁ„o xn^ + an 1 xn ^1 + a 1 x + a 0. Se x = 2 Z, mostre que x È irracional. Como consequÍncia deduza que 3 p 5 È irracional.
- IdentiÖque o erro no seguinte argumento: se x = y, ent„o:
x^2 = xy ) x^2 y^2 = xy y^2 ) (x + y) (x y) = (x y) y ) x + y = y ) 2 y = y ) 2 = 1:
- A respeito de um conjunto X R, mostre que as seguintes aÖrmaÁıes s„o equivalentes:
(a) Existem constantes m e M tais que m x M; 8 x 2 X: (b) Existe uma constatnte C > 0 ; tal que jxj C; 8 x 2 X:
- Seja " > 0 um n˙mero real dado. Construa uma famÌlia inÖnita fIngn 2 N de intervalos abertos com as seguintes propriedades:
(P 1 ) Cada intervalo In contÈm o n˙mero natural n
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(P 2 ) A soma dos comprimentos de todos os intervalos da famÌlia È ":
- Prove que um conjunto I R È um intervalo se, e somente se, cumpre a seguinte condiÁ„o: se a; b 2 I e a < x < b; ent„o x 2 I:
- Designe a _ b e a ^ b o maior e o menor entre os n˙meros a e b, respectivamente. Mostre que
a _ b = a^ +^ b^ + 2 ja^ ^ bj e a ^ b = a^ +^ b^ j 2 a^ ^ bj:
- Determine o sup e o inf dos seguintes conjuntos:
(a) A =
n^2 + n; n 2 N (b) B =
m ^
n ;^ m; n^2 N
(c) C =
n ;^ n^2 N
[ f 0 g :
- Se È uma cota superior de S e 2 S; mostre que sup S =. Idem para o inf :
- Seja S R um subconjunto n„o vazio, limitado superiormente. Mostre que 2 R È uma cota superior de S se, e somente se, as condiÁıes: (i) x 2 R e (ii) x > ; implicam que x = 2 S: Enuncie um resultado an·logo para cota inferior:
- Mostre que = sup S se, e somente se, para todo natural n o n˙mero 1 =n n„o È cota superior de S, mas + 1=n o È:
- Seja S um subconjunto limitado n„o vazio de R. Dado a 2 R, deÖna os conjuntos aS e a + S por
aS = fax; x 2 Sg e a + S = fa + x; x 2 Sg :
(a) Se a 0 , mostre que sup (aS) = a sup S e inf (aS) = a inf S: (b) Se a < 0 ; mostre que sup (aS) = a inf S e inf (aS) = a sup S: (c) Para qualquer a real, mostre que sup (a + S) = a + sup S e inf (a + S) = a + inf S:
- Se A e B s„o subconjuntos limitados de R, mostre que A [ B È um subconjunto limitado e que sup (A [ B) = max fsup A; sup Bg : Quanto vale inf (A [ B)?
- Sejam A B dois subconjuntos da R, sendo B limitado. Mostre que:
inf B inf A sup A sup B:
- Seja S R limitado superiormente e suponha que sup S est· em S: Se x 2 = S; mostre que sup (S [ fxg) = max fx; sup Sg. Usando este resultado e o mÈtodo de induÁ„o, prove que todo subconjunto Önito de R contÈm seu supremo.
16 AN¡LISE NO CORPO R MARIVALDO P. MATOS
Existe um raio r > 0 tal que Vr (x) X: Nesse caso, dizemos que o ponto x È interior ao conjunto X e anotamos x 2 int (X) : Existe um raio r > 0 tal que Vr (x) Xc: Nesse caso, dizemos que o ponto x È exterior ao conjunto X e anotamos x 2 ext (X) : dado qualquer raio r > 0 ; a vizinhanÁa Vr (x) contÈm algum ponto do conjunto X e algum ponto do complementar de X. Neste caso, dizemos que x È um ponto de fronteira do conjunto X e anotamos x 2 @X:
… claro que qualquer conjunto contÈm o seu interior, isto È, int (X) X: Um subconjunto A R È denominado conjunto aberto quando A = int (A), isto È, todo ponto do conjunto A È ponto interior. Qualquer intervalo aberto È um conjunto aberto.
(a) Mostre que qualquer intervalo aberto (a; b) È um conjunto aberto. (b) Se A R È um conjunto aberto, mostre que A \ @A = ?: A recÌproca È verdadeira? (c) Um subconjunto F R È dito fechado quando @F F: Mostre que F È fechado se, e somente se, RnF È aberto. Qualquer intervalo fechado È um conjunto fechado. (d) O fÍcho de um subconjunto X de R È, por deÖniÁ„o, o conjunto X = X [ @X. Mostre que X È um conjunto fechado, o qual coincide com a interseÁ„o de todos os subconjuntos fechados da reta que contÈm X. Mostre que F È fechado se, e somente se, F = F. Qual a relaÁ„o entre A [ B e A [ B? (e) Determine o fÍcho dos seguintes subconjuntos da reta: N, Z, RnQ, Q, [0; 1] ; f 1 =n; n 2 Ng e ]0; 1[: Qual desses subconjuntos È fechado? Qual deles È limitado? (f ) Um subconjunto K R fechado e limitado È denominado compacto. Estude a compacidade dos subconjuntos do item (e). DÍ exemplo de um subconjunto da reta inÖnito, enumer·vel e compacto. (g) Um subconjunto D R È denominado denso (em R) quando D = R. Mostre que x 2 D se, e somente se, toda "-vizinhanÁa de x contÈm algum ponto de D e usando este fato deduza que os conjuntos RnQ e Q s„o densos em R. (h) Um subconjunto C R È dito convexo quando atender ‡ seguinte condiÁ„o: se x e y s„o dois pontos de C e 0 1 ; ent„o (1 ) x + y 2 C: Mostre que qualquer intervalo da reta È um conjunto convexo. DÍ exemplo de dois subconjuntos convexos da reta cuja uni„o n„o È um convexo. O que se pode dizer sobre a interseÁ„o de dois subconjuntos convexos? (i) Um ponto a 2 R È um ponto de acumulaÁ„o de um conjunto X quando qualquer vizinhanÁa de a contiver ao menos um ponto de X diferente de a: Mostre que o conjunto X^0 dos pontos de acumulaÁ„o de X È um conjunto fechado e deduza que: Q^0 = R, Z^0 = ;:
COMPLEMENTOS 1 N⁄MEROS REAIS 17
(j) Mostre que n„o existe um subconjunto X de R simultaneamente aberto e fechado, distinto do conjunto vazio e do prÛprio R. (sug. suponha que X seja limitado superiormente e, considerando o sup X produza uma contradiÁ„o. No caso geral, considere a interseÁ„o de X com um intervalo do tipo ( 1; a) : (k) Mostre que os subconjuntos A =
x 2 R; x^2 < 2 e B =
x 2 R; x^2 > 2 s„o abertos e determine a fronteira de cada um deles. (l) Para cada n = 1; 2 ; 3 ; : : : sejam An = ( 1 =n; 1 =n) e Bn = [0; 1 1 =n]. Mostre que
^1
n=
An n„o È um conjunto aberto, embora cada 1 An o seja. Note que cada Bn È fechado e, contudo, [ n=
Bn n„o È fechado. (m) Se a e b s„o n˙meros reais distintos, mostre que eles podem ser separados por intervalos abertos disjuntos.
- Seja X um subconjunto de R com a seguinte propriedade:
(P) dado x 2 R; 9 x > 0 ; tal que jtj < x ) tx 2 X:
(a) DÍ exemplo de uma classe de subconjuntos prÛprios da reta R com tal propriedade. (b) Se A = fr > 0; x=r 2 Xg; mostre que A È n„o vazio e que A = fr > 0; x=r 2 Xg; 8 0 : (c) Se p : R! R È deÖnida por p (x) = inf A; mostre que p (0) = 0 e p (x) = p (x) ; 8 0 :
