Universidade Federal de Santa Catarina,
UFSC
Departamento de Matem´atica, UFSC
Curso de Especializa¸c˜ao em Matem´atica
Modalidade `a Distˆancia
GUIA DE ESTUDOS
Disciplina: An´alise
Professor:Eliezer Batista
1
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Analise Matemática para resolver tudo., Exercícios de Análise Matemática
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Tipologia: Exercícios
2020
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Universidade Federal de Santa Catarina,
UFSC
Departamento de Matem´atica, UFSC
Curso de Especializa¸c˜ao em Matem´atica
Modalidade `a Distˆancia
GUIA DE ESTUDOS
Disciplina: An´alise
Professor:Eliezer Batista
Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Matem´atica
Campus Universit´ario, Trindade, CEP: 88 040-900, Florian´opolis, SC
Reitor: Alvaro Toubes Prata.´ Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo Silva. Pr´o-Reitoria de Gradua¸c˜ao: Yara Rauh M¨uller. Pr´o-Reitoria de P´os-Gradua¸c˜ao: Jos´e Roberto O’Shea. Secretaria de Educa¸c˜ao a Distˆancia: C´ıcero Barbosa. Departamento de Educa¸c˜aoa Distˆancia: Araci Hack Catapan. Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas: Tarciso Antˆonio Grandi. Departamento de Matem´atica: Ruy Coimbra Char˜ao. Coordena¸c˜ao Acadˆemica: Neri Terezinha Both Carvalho.
fossem nulos, ou seja, o rsultado final seria 2a. Mas note que fizemos duas opera¸c˜oes matem´aticas incompat´ıveis: por um lado, efetuamos a divis˜ao por um n´umero, e por outro, dizemos que este n´umero ´e igual a zero. Muito embora aparecessem problemas conceituais profundos, o C´alculo infinitesimal se mostrou uma ferramenta extremamente ´util na resolu¸c˜ao de problemas matem´aticos e acabou sofrendo um desenvolvimento vertiginoso no s´eculo XVIII, principalmente pelas m˜aos de Euler e da fam´ılia Bernoulli. Ao problema dos incrementos infinitesimais se juntaram outras dificuldades conceituais como a manipula¸c˜ao de s´eries infinitas. Um cl´assico exemplo ´e devido ao pr´oprio Euler: considere a soma infinita alternada
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
Por um lado, podemos associar os termos da seguinte forma:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0.
Por outro lado, podemos associar os termos da forma
1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · = 1.
Ou ainda, chamando de S esta soma, temos
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) = 1 − S
Portanto S = 1 − S o que resulta em S = 12. O mundo da Matem´atica precisaria ainda esperar at´e meados do s´eculo XIX para ver solucionados estes problemas de forma definitiva. A an´alise matem´atica, como a conhecemos hoje em dia, teve seu in´ıcio com o matem´atico francˆes Augustin Louis Cauchy. Foi com Cauchy que a no¸c˜ao de limite de fun¸c˜oes foi devidamente estabelecida. O limite de uma fun¸c˜ao^2 f = f (x) quando x tende a um valor a, se existir, consiste em um n´umero L, ao redor do qual est˜ao todos os valores de f (x) quando os valores de x est˜ao suficientemente pr´oximos de x. Ou seja, para qualqeur n´umero positivo ε, vai existir um outro n´umero positivo δ tal que sempre que a − δ < x < a ou a < x < a + δ tenhamos L − ε < f (x) < L + ε. Note
(^2) Mais uma vez, lembramos que fun¸c˜ao nos tempos de Cauchy ainda era uma “regra” qua a cada n´umero x associava um outro n´umero f (x), a no¸c˜ao de conjunto, produto cartesiano, rela¸c˜ao e fun¸c˜ao s´o veio a ser estabelecida com a cria¸c˜ao da teoria dos conjuntos por Georg Cantor, no final do s´eculo XIX.
que excluimos o n´umero a pois pode ser que o valor f (a) seja diferente de L, ou ainda pode ocorrer que a fun¸c˜ao n˜ao esteja definida em x = a. A no¸c˜ao de proximidade na reta real veio a trazer grandes avan¸cos no estudo do que hoje denominamos topologia. De qualquer forma, ainda faltava ser dada uma ´ultima palavra sobre a estrutura dos n´umeros reais para que se pudesse garantir que as opera¸c˜oes de limite do c´alculo estavam bem definidas. Nesta hist´oria, despontam nomes como Karl Wierstrass, Richard Dedekind e o pr´oprio Georg Cantor. Assim todos os processos de limite envolvidos no c´alculo s˜ao decorrˆencias diretas da estrutura do corpo ordenado completo dos n´umeros reais. Isto se chama aritmetiza¸c˜ao da An´alise, que ´e a maneira padr˜ao de aprendermos An´alise matem´atica nos dias atuais. O objetivo desta disciplina de introdu¸c˜ao a An´alise ´e desenvolvermos os conceitos b´asicos sobre a estrutura topol´ogica do conjunto dos n´umeros reais. Tamb´em pretendemos tratar de uma maneira rigorosa a convergˆencia de seq¨uˆencias num´ericas, os limites de fun¸c˜oes e a continuidade de fun¸c˜oes de uma vari´avel real. O formalismo a ser introduzido, permitir´a a compreens˜ao plena dos processos de limite envolvidos no c´alculo de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel. Visamos que o estudante, ao final da disciplina saiba elaborar as demonstra¸c˜oes dos principais teoremas bem como saiba dar contra exemplos para o caso de resultados que n˜ao s˜ao v´alidos em geral. Devemos salientar, primeiramente, que a An´alise matem´atica depende fortemente da linguagem da teoria dos conjuntos. Muito embora nosso pri- meiro t´opico de estudo ser´a uma breve revis˜ao dos conte´udos relativosa linguagem de conjuntos, ´e impotante que o estudante adquira uma familiari- dade com este tipo de lingugem de uma maneira que transcenda o material que ser´a abordado nesta disciplina. A linguagem de conjuntos est´a subja- cente a quase toda a Matem´atica, portanto ´e necess´ario que todo aquele que queira estudar Matem´atica seriamente tenha uma relativa fluˆencia com os termos e nota¸c˜oes utilizados.
Apresentar ao estudante as propriedades do corpo ordenado completo dos n´umeros reais.
Permitir com que o estudante domine os conceitos de limites de seq¨uˆencias e de fun¸c˜oes.
Propiciar ao estudante a familiaridade coma manipula¸c˜ao de s´eries num´ericas.
Apresentar aos estudantes os conceitos topol´ogicos b´asicos, atrav´es do estudo da reta real.
Conte´udo Program´atico
1- Conjuntos e Fun¸c˜oes 1.1- Conjuntos, uni˜ao, intersec¸c˜ao, complementar. 1.2- Produto cartesiano, rela¸c˜oes, fun¸c˜oes. 1.3- Fun¸c˜oes: Dom´ınio, contra-dom´ınio, imagem, imagem inversa. 1.4- Fun¸c˜oes injetivas, sobrejetivas, bijetivas, fun¸c˜ao inversa. 1.4- Fun¸c˜oes reais, fun¸c˜oes pares ´ımpares, mon´otonas, etc.
2- Conjuntos finitos, infinitos e enumer´aveis. 2.1- Os n´umeros naturais, axiomas de Peano. 2.2- Conjuntos finitos. 2.3- Conjuntos infinitos. 2.4- Conjuntos enumer´aveis, Q ´e enumer´avel. 2.5- Um exemplo de conjunto n˜ao enumer´avel.
3- O corpo, ordenado e completo dos n´umeros reais. 3.1- R ´e um corpo. 3.2- R ´e um corpo ordenado. 3.3- R ´e um corpo ordenado completo. 3.4- Breve discuss˜ao sobre a constru¸c˜ao de R a partir de Q.
4- Seq¨uˆencias de n´umeros reais. 4.1- Seq¨uˆencias num´ericas, subseq¨uˆencias. 4.2- O conceito de limite de uma seq¨uˆencia. 4.3- Seq¨uˆencias limitadas, mon´otonas e de Cauchy. 4.4- Opera¸c˜oes com limites.
4.5- Limites infinitos.
5- Topologia da reta 5.1- Conjuntos abertos e fechados. 5.2- Pontos aderentes e pontos de acumula¸c˜ao. 5.3- Fecho de um conjunto e conjuntos fechados. 5.4- Conjuntos compactos. 5.5- Teorema de Borel Lebesgue, teorema de Bolzano Weierstrass. 5.6- O conjunto de Cantor.
6- Limites de fun¸c˜oes 6.1- Defini¸c˜ao de limite de fun¸c˜oes. Propriedades. 6.2- Rela¸c˜ao com o limite de seq¨uˆencias num´ericas. 6.3- Limites laterais. 6.4- Limites no infinito, limites infinitos, express˜oes indeterminadas.
7- Fun¸c˜oes cont´ınuas 7.1- Continuidade de fun¸c˜oes reais. 7.2- Opera¸c˜oes com fun¸c˜oes cont´ınuas. 7.3- Teorema do valor intermedi´ario. 7.4- Continuidade em intervalos e em compactos. 7.6- Continuidade uniforme.
Metodologia
A disciplina ser´a baseada em estudo individual e dirigido. A bibliografia b´asica ser´a composta de dois livros texto: [1] Avila, Geraldo:´ “An´alise Matem´atica para Licenciatura”, Terceira edi¸c˜ao revista e ampliada Ed. Edgard Bl¨ucher (2006). [2] Lima, Elon L.: “An´alise Real”, Vol 1, Cole¸c˜ao Matem´atica Univer- sit´aria, IMPA (2006). Ao longo do semestre ser˜ao feitas video-conferˆencias semanais, todas as quintas feiras das 18:30 as 20:10, relativas aos conte´udos da disciplina. Tamb´em haver´a atendimento on-line, a partir da UFSC, de um tutor da dis- ciplina, que responder´aas d´uvidas dos alunos nos hor´arios programados.
- Dia 6 de maio de 2010: Topologia da reta II. Cap´ıtulo 5 do Elon.
- Dia 13 de maio de 2010: Topologia da reta III. Cap´ıtulo 5 do Elon.
- Dia 20 de maio de 2010: Limites de fun¸c˜oes. Cap´ıtulo 6 do Elon e p´aginas 140 a 154 do Avila.´
- Dia 27 de maio de 2010: Fun¸c˜oes cont´ınuas. Cap´ıtulo 7 do Elon e p´aginas 154 a 174 do Avila.´
- Dia 10 de junho de 2010: Fun¸c˜oes cont´ınuasII. Cap´ıtulo 7 do Elon e p´aginas 154 a 174 do Avila.´
- Dia 17 de junho de 2010: Fun¸c˜oes cont´ınuasIII. Cap´ıtulo 7 do Elon e p´aginas 154 a 174 do Avila.´
- Dia 24 de junho de 2010: Revis˜ao para a segunda prova.
Observa¸c˜ao: Em cada uma das video conferˆencias haver´a espa¸co para tirar d´uvidas de t´opicos passados, ou de exerc´ıcios. Tentaremos expor nas videos as id´eias principais, os resultados principais e um esbo¸co de demonstra¸c˜ao dos teoremas mais importantes, mas, ´e claro, o trabalho duro de demonstrar teorema por teorema, em todos os detalhes, ser´a de cada estudante no seu estudo individual.
Provas e tarefas:
- Dia 22 de abril de 2010: Data limite para a entrega da primeira tarefa.
- Dia 22 de abril de 2010: Prova 1, com o conte´udo incluindo seq¨uˆencias de n´umeros reais.
- Dia 1 de julho de 2010: Data limite para a entrega da segunda tarefa.
- Dia 1 de julho de 2010: Prova 2, com todo o restante do conte´udo.
Guia das Referˆencias
Bibliograficas
Como j´a foi mencionado, nossa bibliografia b´asica para esta disciplina con- sistir´a de apenas dois livros, que estar˜ao dispon´ıveis para os estudantes nos p´olos: [1] Avila, Geraldo:´ “An´alise Matem´atica para Licenciatura”, Terceira Edi¸c˜ao Revista e Ampliada, Ed. Edgard Bl¨ucher (2006). [2] Lima, Elon L.: “An´alise Real”, Vol 1, Cole¸c˜ao Matem´atica Univer- sit´aria, IMPA (2006). Seguiremos mais de perto o livro do Elon, por conter cap´ıtulos mais cur- tos, por mostrar os resultados de forma mais exata e organizado e por se preocupar com o rigor matem´atico exigido para o estudo da an´alise. Este livro ´e uma vers˜ao abreviada do livro do mesmo autor entitulado: “Curso de An´alise, Volume 1”, da cole¸c˜ao Projeto Euclides, tamb´em do IMPA. O “Curso de An´alise, Volume 1” ´e, na minha opini˜ao, o melhor livro de ma- tem´atica j´a escrito em l´ıngua portuguesa. Tr´as detalhadamente os conte´udos que ser˜ao abordados nesta disciplina e muito mais, com as demonstra¸c˜oes matem´aticas dos teoremas expostas de uma maneira elegante e uma varie- dade de contra exemplos, explicitando a necessidade das hip´oteses de cada teorema. Os livros do Prof. Elon bem como diversos outros livros de Ma- tem´atica tanto de n´ıvel superior quanto de n´ıvel de ensino m´edio podem ser encomendados na SBM (Sociedade Brasileira de Matem´atica), pela p´agina.
http://www.sbm.org.br
O livro do Geraldo Avila, foi feito pensando-se em um curso introdut´´ orio de an´alise para alunos de licenciatura em matem´atica, portanto possui uma apresenta¸c˜ao mais elementar, muitas vezes as demonstra¸c˜oes s˜ao simplifica-
programa da disciplina que temos a cumprir. Conforme vocˆe deve ter notado pelo cronograma das video-conferˆencias o prazo de leitura de cada um dos cap´ıtulos ´e de duas semanas, em m´edia. Tamb´em vocˆe deve ter notado que o programa desta disciplina n˜ao corresponde `a totalidade do conte´udo de nenhum dos dois livros texto utilizados. Deixamos de lado os cap´ıtulos 7,8 e 9 do livro do Avila e os cap´´ ıtulos de 8 a 12 do livro do Elon puramente por uma quest˜ao de tempo. Seria necess´aria uma disciplina com no m´ınimo 6 horas aula semanais para que se cobrisse todo o programa destes livros. De qualquer maneira, consideramos que os estudantes sejam capazes de efetuar uma leitura individual e completa de cada um destes livros ap´os o t´ermino desta disciplina. Neste pequeno resumo que se segue, vamos explicitar o que h´a de mais importante, cap´ıtulo por cap´ıtulo e quais os exerc´ıcios que s˜ao mais interes- santes de serem feitos. Faremos t´opico por t´opico para ficar mais f´acil de vocˆe se localizar.
Conjuntos e Fun¸c˜oes
Semanas de 1 a 14 de mar¸co de 2010 Video-conferˆencias de 4 e 11 de mar¸co de 2010.
Para o primeiro t´opico do programa, realmente existe nos dois livros dis- pon´ıveis para a disciplina, pouco conte´udo a respeito. O Livro do Avila faz´ no cap´ıtulo 1 sobre preliminares de l´ogica, que aconselho a todos que leiam, pois tem algumas informa¸c˜oes relevantes sobre como demonstrar teoremas e o significado das demonstra¸c˜oes matem´aticas. Mas ´e no cap´ıtulo 2 daquele livro que o autor trata de forma muito breve sobre a quest˜ao de conjuntos. Este assunto ´e discutido a partir da p´agina 29 do livro. Ele faz exemplos espec´ıficos e logo ap´os apresenta o que ele denomina “propriedades gerais” que s˜ao igualdades entre conjuntos. Aqui vai um coment´ario importante:
Para se provar que dois conjuntos A e B s˜ao iguais, temos que tomar um elemento x ∈ A e mostrarmos que x ∈ B e vice versa, isto ´e, tomamos um elemento arbitr´ario y ∈ B e mostramos que y ∈ A.
Aconselho fortemente que vocˆe fa¸ca todos os exerc´ıcios das p´aginas 31 e 32 (exerc´ıcios de 1 a 12).
Um t´opico n˜ao abordado no livro do Avila ´´ e o produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, definido como o conjunto
A × B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}.
O produto cartesiano ´e fundamental quando se quer definir o que ´e uma fun¸c˜ao. O conceito de fun¸c˜ao somente ´e abordado no livro do Avila no in´´ ıcio do cap´ıtulo 6, p´agina 133. Ap´os uma r´apida abordagem hist´orica, na defini¸c˜ao 6.1 o autor define fun¸c˜ao como uma “lei” que associa a cada elemento de um conjunto um ´unico elemento de um outro. Uma forma mais precisa de definirmos fun¸c˜ao ´e atrav´es de rela¸c˜oes. Uma rela¸c˜ao de um conjunto A em um conjunto B ´e, basicamente, um sub-conjunto qualquer do produto carte- siano A × B. Uma fun¸c˜ao f , pode ser definida como um tipo de rela¸c˜ao, que no texto aparece com o nome de “gr´afico” da fun¸c˜ao, definido da seguinte maneira:
Defini¸c˜ao: Uma fun¸c˜ao f : A → B ´e uma rela¸c˜ao na qual todo elemento do conjunto A figura em um ´unico par ordenado.
Em outras palavras, temos duas condi¸c˜oes essenciais:
- Para qualquer a ∈ A , existe um par ordenado (a, b) na rela¸c˜ao.
- Se (a, b 1 ) e (a, b 2 ) pertencem `a rela¸c˜ao, ent˜ao b 1 = b 2.
A este ´unico elemento b ∈ B tal que (a, b) perten¸ca `a rela¸c˜ao denominamos f (a) ou seja o valor da fun¸c˜ao f no elemento a. Tamb´em denotamos
f : A → B. a 7 → f (a)
E importante n˜´ ao confundir a fun¸c˜ao em si com o valor da fun¸c˜ao em um determinado elemento do dom´ınio. Muito embora utilizemos abusos de linguagem como “seja a fun¸c˜ao f (x)” ou “seja a fun¸c˜ao f = f (x)”, estas frases n˜ao devem ser tomadas como corretas, devemos ter sempre em mente que elas s˜ao apenas abrevia¸c˜oes para uma id´eia muito mais precisa que o que elas veiculam. Um conceito que vocˆe deve prestar bastante aten¸c˜ao ´e no conceito de imagem inversa (p´ag 138 do Avila). N˜´ ao confundir com fun¸c˜ao inversa, um
Todo subconjunto n˜ao vazio de N possui um menor elemento.
O livro n˜ao atenta para este fato, mas realmente s˜ao quatro as proposi¸c˜oes equivalentes em N:
- Axioma 3 de Peano: Se um subconjunto A ⊆ N ´e tal que 0 ∈ A e s(A) ⊆ A (isto ´e, se n ∈ A ent˜ao s(n) ∈ A), ent˜ao A = N.
- Princ´ıpio da Boa Ordem: Todo subconjunto n˜ao vazio de N possui um menor elemento.
- Primeiro Princ´ıpio de Indu¸c˜ao: Se A(n) ´e uma afirma¸c˜ao para cada n´umero natural n ∈ N tal que:
a) A(0) ´e verdadeira. b) Sempre que a(n) for verdadeira, tivermos que a(s(n)) tamb´em ´e verdadeira.
Ent˜ao A(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
- Segundo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao: Se A(n) ´e uma afirma¸c˜ao para cada n´umero natural n ∈ N tal que:
a) A(0) ´e verdadeira. b) Sempre que a(k) for verdadeira para todo 0 ≤ k ≤ n, tivermos que a(s(n)) tamb´em ´e verdadeira.
Ent˜ao A(n) ´e verdadeira para todo n ∈ N.
Tente entender cada uma das formula¸c˜oes, busque exemplos em outros livros de como se utiliza cada um desses princ´ıpios para demonstrar teoremas e tente mostrar que, de fato eles s˜ao princ´ıpios equivalentes. Os princ´ıpios de indu¸c˜ao tamb´em podem ser formulados a partir de um n´umero natural n 0 arbitr´ario. Escreva estas formula¸c˜oes e mostre que elas decorrem inteiramente dos princ´ıpios de indu¸c˜ao a partir do 0. Leia os teoremas sobre conjuntos finitos, infinitos e enumer´aveis do texto do Elon. Leia atentamente os exemplos de que Z e Q s˜ao enumer´aveis e
compare com a exposi¸c˜ao feita no livro do Avila. Do livro do ´ Avila, leia a´ argumenta¸c˜ao de por que os n´umeros reais n˜ao s˜ao enumer´aveis. Fa¸ca os exerc´ıcios; 1,2,4 e 5 da se¸c˜ao 1 (p´agina 9), 1,2 e 3 da se¸c˜ao 2 (p´agina 9), 1 e 3 da se¸c˜ao 3 (p´agina 10) e 1,5 e 6 da se¸c˜ao 4 (p´agina 10), do cap´ıtulo 1 do livro do Elon. Fa¸ca tamb´em os exerc´ıcios 2,4,5,8,9 e 10 da p´agina 37 do livro do Avila.´ Por fim, leia as notas hist´oricas do livro do Avila das p´´ aginas 38 a 45. Estas notas hist´oricas est˜ao realmente muito interessantes, pois discutem al- gumas id´eias de Georg Cantor, que foi o fundador da teoria dos conjuntos e o primeiro a demonstrar que existem infinitos de diferentes ordens. Tamb´em s˜ao discutidos alguns paradoxos que surgiram no in´ıcio da teoria dos conjun- tos. Este ´e uma leitura altamente recomendada para todos que desejam ter uma vis˜ao geral do processo de constru¸c˜ao dos conceitos matem´aticos.
O Corpo, Ordenado e Completo dos N´umeros
Reais
Semana de 22 a 28 de mar¸co de 2010 Video-conferˆencia de 25 de mar¸co de 2010 Esta unidade est´a baseada no cap´ıtulo 2 do livro do Elon e nos cap´ıtulos 2 e 3 do livro do Avila. Para um aquecimento, inicie sua leitura pelas p´´ aginas de 23 a 29 do livro do Avila e fa¸´ ca os exerc´ıcios 1,5,9,18,21,23,24 e 25 das p´aginas 26 e 27 deste livro. Depois, leia no mesmo livro das p´aginas 46 a 57 do livro do Avila e fa¸´ ca os exerc´ıcios 3, 4 e 5 da p´agina 55 (leia atentamente as dicas de solu¸c˜ao oferecidas pelo autor. Bem, agora v´a para o livro do Elon e leia o texto do cap´ıtulo 2. Dˆe aten¸c˜ao para a desigualdade de Bernoulli (p´agina 14) que ser´a muito ´util em muitas demonstra¸c˜oes. Tamem ´e importante o teorema 3 (p´agina 17) sobre a propriedade arquimediana de R. Na verdade, um corpo ordenado n˜ao precisa ser completo para ser arquimediano, por exemplo Q ´e arquimediano. Mas todo corpo ordenado e completo tem que ser arquimediano. A completude do corpo ordnado dos n´umeros reais pode ser formulada de quatro maneiras diferentes, por´em equivalentes:
- Princ´ıpio do Supremo: Todo sub conjunto n˜ao vazio de R limitado superiormente possui um supremo.
A diferen¸ca de Q para R ´e que nos racionais pode n˜ao haver um elemento que fique exatamente no meio, como m´ınimo de B ou m´aximo de A. Por exemplo
A = Q−^ ∪ {x ∈ Q+|x^2 < 2 }, B = {x ∈ Q+|x^2 > 2 }.
E ´^ ´obvio que A e B satisfazem o ´ıtem b), e como sabemos que n˜ao h´a n´umero racional tal que x^2 = 2 ent˜ao A e B tamb´em satisfazem o ´ıtem a). Nos exerc´ıcios 4 e 5 da p´agina 55 do Avila vocˆ´ e mostrou que A n˜ao tem m´aximo e B n˜ao tem m´ınimo. Logo h´a um “buraco” entre os dois. Para se definir os reais toma-se o conjunto de todos os cortes de Dedekind em Q, define-se opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao entre eles e mostra-se que este conjunto ´e um corpo, tamb´em define-se uma rela¸c˜ao de ordem entre os cortes e mostra- se que o conjunto dos cortes ´e um corpo ordenado. Por fim, mostra-se que este corpo ordenado satisfaz o princ´ıpio dos cortes de Dedekind. A segunda constru¸c˜ao dos reais ´e baseada em seq¨uˆencias de Cauchy de racionais, a soma e a multiplica¸c˜ao de duas seq¨uˆencias s˜ao dadas, respectiva- mente, pela soma e multiplica¸c˜ao entrada a entrada. Define-se uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre sequencias de Cauchy dizendo-se que duas delas s˜ao equivalentes se, e somente se a diferen¸ca entre elas for uma seq¨uˆencia que converge para 0. O conjunto quociente por esta rela¸c˜ao de equivalˆencia ´e um corpo ordenado completo. Toda esta nomenclatura, somente ficar´a esclare- cida a partir da unidade seguinte sobre Seq¨uˆencias. Finalmente podemos perguntar, ser´a que o conjunto dos n´umeros reais ´e o ´unico corpo ordenado completo que existe, ou ser´a que existem outros com estas mesmas propriedades? Suponha que existam dois corpos ordenados e completos, K e L.
- Mostre que tanto K como L possuem Q como sub-corpos.
- Considere uma aplica¸c˜ao f : K → L que satisfa¸ca f (a+b) = f (a)+f (b) e f (ab) = f (a)f (b) (isto ´e um homomorfismo de corpos). Mostre que f s´o pode ser nula ou injetiva.
- Mostre que a fun¸c˜ao f definida no ´ıtem anterior, quando restrita ao sub corpo dos racionais, ´e a fun¸c˜ao identidade.
- Com isto mostre que f tem que ser a identidade. E portanto, s´o pode existir um corpo ordenado completo, que ´e o conjunto dos n´umeros reais.
Fa¸ca os exerc´ıcios 1,2,3 e 4 da se¸c˜ao 1 (p´agina 19), 2,3,4,6 e 7 da se¸c˜ao 2 (p´agina 20) e 1,2,3 da se¸c˜ao 3 (p´agina 20) do cap´ıtulo 2 do livro do Elon e os exerc´ıcios 4, 9,11,12, 14, 15, 18 e 19 (p´agina 65) do livro do Avila. Por fim,´ leia as notas hist´oricas do livro do Avila para o cap´´ ıtulo 3, p´aginas 69 a 71.
Seq¨uˆencias de N´umeros Reais
Semanas de 29 de mar¸co a 11 de abril de 2010 Video-conferˆencias de 1 e 8 de abril de 2010 Esta unidade est´a baseada no cap´ıtulo 3 do livro do Elon e no cap´ıtulo 4 do livro do Avila. Para in´´ ıcio, recomenda-se a leitura do livro do Avila da´ p´agina 72 at´e o in´ıcio da p´agina 78 do mesmo. Os exemplos deste texto s˜ao fact´ıveis e devem ser acompanhados com aten¸c˜ao. Depois, retome a leitura do Elon da p´agina 22 at´e a 25 e v´a comparando passo a passo deste ponto em diante a leitura do Avila desde o final da p´´ agina 78 at´e o final da p´agina 82 e da 85 at´e o in´ıcio da 86 com a leitura do Elon da p´agina 25 at´e o in´ıcio da p´agina 29. Fa¸ca os exerc´ıcios 3,4,5,6,9,12,14,16,17 e 18 das p´aginas 82 e 83 do livro do Avila. Fa¸´ ca tamb´em os exerc´ıcios 1,4,6 e 7 da se¸c˜ao 1 (p´agina 33) 1,2,4,6 e 7 da se¸c˜ao 2 (p´aginas 33 e 34) do livro do Elon, note que o exerc´ıcio 7 da se¸c˜ao 2 tr´as a defini¸c˜ao de seq¨uˆencia de Cauchy. O ´ıtem c) pede para mostrar que uma seq¨uˆencia ´e convergente se e somente se for de Cauchy. E f´´ acil mostrar que toda seq¨uˆencia convergente ´e de Cauchy (truque do ε/2) mas o fato de uma seq¨uˆencia de Cauchy convergir, esta depende da completude dos reais (de fato, como vimos, ´e uma condi¸c˜ao equivalente da completude dos reais). Leia para acompanhar as p´aginas 97 a 99 do Avila, enquanto estiver fazendo´ este exerc´ıcio. Fa¸ca tamb´em os exerc´ıcios 1,3 e 5 da se¸c˜ao 3 (p´aginas 34 e 35 do livro do Elon. Note que este ´ultimo exerc´ıcio do livro do Elon tras uma situa¸c˜ao corriqueira em seq¨uˆencias fazendo o limite estar entre duas subseq¨uˆencias, uma mon´otona decrescente e outra mon´otona crescente, isto ´e uma aplica¸c˜ao do princ´ıpio dos intervalos encaixantes. A seguir, leia com aten¸c˜ao as p´aginas 86 e 87 do livro do Avila e os´ exemplos das p´aginas 29 e 30 do livro do Elon, em especial compare os exemplos 12 e 13 com a leitura do livro do Avila. O n´´ umero e ´e definido de duas formas diferentes como seq¨uˆencias infinitas, as duas s˜ao garantidamente convergentes devido `a monotonicidade e pelo fato de serem limitadas supe- riormente. O grande problema ´e provar que as duas seq¨uˆencias convergem