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Análise estatística de dados geológicos
multivariados
PAULO M. BARBOSA LANDIM
Professor Voluntário do Depto. Geologia Aplicada
UNESP/Rio Claro
UNESP/campus de Rio Claro
Departamento de Geologia Aplicada - IGCE
Laboratório de Geomatemática
Texto Didático 03
Reprodução autorizada desde que citada a fonte Norma 6023-2000/ABNT ( http://www.abnt.org.br): LANDIM, P.M.B. Análise estatística de dados geológicos multivariados.. DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Lab. Geomatemática,Texto Didático 03, 96 pp. 2000. Disponível em <http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html >. Acesso em:....
I
9. ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS GEOLÓGICOS MULTIVARIADOS
COM DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL
INTRODUÇÃO representados por pontos num espaço n-dimensional em um número conveniente de grupos relacionando- os através de coeficientes de similaridade ou de distância. A análise fatorial procura interpretar a estrutura de um conjunto de dados multivariados, tanto em modo “Q” como em modo “R”, a partir da respectiva matriz de variâncias-covariâncias ou de
correlações, com a obtenção de “autovalores” e “autovetores”. Utiliza-se de dois procedimentos básicos: a " análise das componentes principais " e a " análise dos fatores ". O primeiro caso consiste numa transformação linear das "m" variáveis originais em "m" novas variáveis. No segundo, supõe-se que as relações existentes dentro de um conjunto de "m" variáveis seja o reflexo das correlações de cada uma dessas variáveis com "p" fatores, mutuamente não correlacionáveis entre si, sendo "p" menor que "m". A análise discriminante é aplicada quando em relação a um indivíduo, sobre o qual tenham sido feitas diversas medidas, é necessário decidir à qual de dois ou mais possíveis grupos, o mesmo pertence. A idéia básica é substituir o conjunto original das diversas mensurações por um único valor Di, definido como uma combinação linear delas. Para fornecer um único valor os termos são adicionados nessa função linear e esta transformação é realizada de tal modo a fornecer a razão mínima entre a diferença entre pares de médias multivariadas e a variância multivariada dentro dos dois grupos. Conhecido os Di's, estes serão comparados com um certo Do , ou seja, o valor situado, ao longo da linha expressa pela função discriminante, a meio caminho entre os centros dos grupos, com a finalidade de verificar a qual deles os indivíduos pertencem. Como salientado por Davis ( 1986 ), os métodos multivariados são poderosos, permitindo o pesquisador manipular diversas variáveis simultaneamente. São, porém, bastante complexos, tanto na sua estrutura teórica como na metodologia operacional. Em alguns casos os testes estatísticos a serem utilizados exigem requisitos muito rígidos e em outros, muitas vezes quando quer relacioná-los com problemas reais, não apresentam base estatística teórica e desse modo impossibilidade de testes de significância. De qualquer modo, são métodos extremamente promissores para a análise de dados geológicos tendo em vista que normalmente a maioria das situações geológica envolve um conjunto complexo de fatores atuando no sistema, sendo impossível isolá-los e estudá-los isoladamente. Exemplos de situações que apresentam dados multivariados são comuns em Geologia, como: análises geoquímicas de elementos maiores e/ou elementos traços; caracteres morfológicos medidos em fósseis; características físicas de rochas sedimentares, como distribuição granulométrica, porosidade, permeabilidade; conteúdo mineralógico em rochas; variáveis fluviais, como descarga, material em suspensão, profundidade, sólidos dissolvidos, pH e conteúdo em oxigênio, etc.. Em alguns casos trata-se de simples extensão de problemas ligados à estatística univariada e outros pertencem, todavia, a uma nova classe de problemas. As principais questões a serem enfrentadas por esse tipo de análise são as seguintes, segundo Pisani ( 1969 ):
- dependência: quando são utilizados, por exemplo, análise de regressão múltipla e correlação canônica;
- inferência : quando são utilizados extensões multivariadas de métodos estatísticos univariados, como o teste T de Hotelling ou a análise generalizada de variância;
INTRODUÇÃO
- redução e escala : quando são utilizadas análise das componentes principais, análise dos fatores, distância generalizada “D” de Mahalanobis , etc.;
- discriminação e classificação: quando são utilizadas funções discriminantes e as diversas técnicas de análise de agrupamentos.
A utilidade dos métodos multivariados pode ser apresentada em termos geométricos. Assim, observações univariadas podem ser assinaladas sobre uma linha reta e se essa linha for dividida em intervalos de classes e contando o número de observações em cada intervalo, um histograma poderá ser construído. Esse histograma irá requerer duas dimensões para a sua representação. Observações bivariadas podem ser assinaladas em um sistema de dispersão a duas dimensões. Se o diagrama for dividido em celas, o número de observações em cada cela pode ser contado e o respectivo histograma construído. Esse histograma requer três dimensões e pode ser representado por um mapa de isovalores. Observações trivariadas podem ser assinaladas em um gráfico de dispersão a três dimensões e a configuração nos pontos no espaço definirá uma elipsóide. Se o espaço tri-dimensional for dividido em cubos os números de observações dentro de cada figura geométrica poderão ser contados e obtida a distribuição de freqüências. Para a construção do respectivo histograma quatro dimensões serão necessárias. Em observações com quatro ou mais variáveis não é possível a representação gráfica segundo os métodos comuns, embora Mertie ( 1949 ) tenha proposto para tanto complicados hipertetraedros. Utilizando, assim, a interpretação geométrica em três dimensões para observações trivariadas, os seguintes exemplos de procedimentos em estatística multidimensional podem ser apresentados:
a) na regressão múltipla calcula-se um plano para uma regressão linear, ou superfícies curvas para regressões de ordem maior, que são ajustados às observações a fim de minimizar a soma das distâncias ao quadrado dos pontos no espaço medidos perpendicularmente em relação a essas superfícies;
b) na análise de variância generalizada é verificado se dois ou mais elipsóides tem o mesmo centro;
c) na análise discriminante localizam-se os centros dos elipsóides e calcula-se a distância entre pares de centros de elipsóides;
d) na análise fatorial é verificado se as observações multivariadas ocupam um número de dimensões igual ao número de variáveis medidas inicialmente ou se podem estar contidas em um número menor de dimensões; para tanto os eixos do elipsóide podem ser rotacionados de tal modo a colocar o centro do elipsóide coincidente com o centro do sistema de coordenadas.
A pretensão deste texto, escrito por um Professor de Geologia, é apresentar uma introdução aos métodos estatísticos multidimensionais que podem ser aplicados na análise de dados geológicos, sem uma abordagem matemática complexa. Existe à disposição uma variedade muito grande de livros e pacotes computacionais que tratam deste assunto e torna-se necessário um texto simples que permita ao usuário iniciar-se na Geologia Quantitativa. Entre os principais livros textos que tratam de métodos
INTRODUÇÃO
BIBLIOGRAFIA
AYRES, M.; AYRES JR., M.; AYRES, D. L. & SANTOS, A. S. (2000) – BioEstat 2.0: aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas : Sociedade Civil Mamirauá, MCT-CNPq, [email protected]
DAVIS, J.C. (1973) - Statistics and Data Analysis in Geology : John Wiley and Sons.
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology : 2nd ed., John Wiley and Sons.
GEOQUANT (1990) – Companhia de Pesquisa de Recursos Minerais, versão 3.0.
GRIFFITH, D.A. & AMRHEIN, C.G. (1997) – Multivariate Statistical Analysis for Geographers – Prentice Hall.
HARBAUGH, J.W. & MERRIAM, D.F. (1968) - Computer applications in Stratigraphic Analysis : John Wiley & Sons.
HOWARTH, R.J. & SINDING-LARSEN, R. (1985) - Multivariate analysis : in (G.J.S. Govett, ed.) “Statistics and Data Analysis in Geochemical Prospecting”, vol. 2:207-289, Elsevier.
JORESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (1976) - Geological factor analysis : Elsevier.
KENDALL, M.G. (1963) - Discrimination and Classification : C.E.I.R. Ltda.
KOCH JR, G.S. & LINK, .F. (1971) - Statistical analysis of geological data : vol. 2, John Wiley & Sons.
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) - An introduction to Statistical Model in Geology : McGraw Hill Book.
LE MAITRE, R.W. (1982) - Numerical Petrology. Statistical Interpretation of Geochemical Data : Elsevier.
MERTIE JR, J.B. (1949) - Charting five and six variables on the bounding tetrahedral of hyper tetrahedral: Am. Mineralogist, 34 :706-716.
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - Statistical analysis in the geological sciences : John Wiley and Sons.
MVSP – Multi-Variate Statistical Package : Kovach Computing Services, http://www.kovcomp.co.uk
PISANI, J.F. (1969) - Análise estatística multidimensional em Biologia : Ciência e Cultura, 21 (3):619-631.
REYMENT, R.A. & SAVAZZI, E. (1999) – Aspects of Multivariate Statistical Analysis in Geology - Elsevier.
SAS – SAS Institute, http://www.sas.com
SOKAL, R.R. & SNEATH, P.H.A. (1963) - Principles of numerical taxonomy : W.H. Freeman.
S-PLUS – Mathsoft, http://www.mathsoft.com
STATISTICA – StatSoft Inc., http://www.statsoft.com
SYSTAT – SPSS Inc., http://www.spss.com
XLSTAT – AddinSoft SARL, http://www.xlstat.com
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
2. EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS Entre os métodos da estatística descritiva univariada dois testes se destacam: o teste “ t ” e a análise de variância. O primeiro procura verificar hipóteses referentes à média populacional e o segundo, de aplicação bem mais ampla, procura dividir a variação total existente num conjunto de dados de acordo com as diversas fontes de variação presentes. Tais métodos são casos particulares daqueles pertencentes à estatística multidimensional. Entre eles podem ser exemplificados o “ teste T 2 ” de Hotteling” e a “análise generalizada de variâncias ”. Tem aplicação restrita em problemas geológicos, existindo outros métodos mais eficientes, mas são aqui apresentados apenas com o intuíto de demonstrar as relações entre testes univariados, comumente usados, e testes multivariados.
2.1. Teste T² de Hotteling 2.1.1.Para verificar se uma amostra multidimensional pertence a uma determinada população multidimensional. Seja, por exemplo, um conjunto de observações nas quais foram obtidas independentemente as
medidas X e Y e se deseja saber se x e y são significativamente diferentes de um par de valores
populacionais hipotéticos μx e μy. Se apenas a variável X for enfocada o teste recomendado é o "t" de Student, que verifica a probabilidade de uma amostra casual com n observações ser retirada de uma
população normal com média especificada μ x e variância desconhecida σ^2 , porem estimada (s^2 x):
t x^ n
s
x x
= (^ − μ 2 )
a amostra tem tamanho n de onde x foi obtida; se t ≥ t (n - 1,α), x será considerado diferente de μx ao nível
de significância α. Escolhido, por exemplo, α = 0,05 isso significa que se a verdadeira média da população de X's for
igual a μx a chance de ocorrer t ≥ t (n - 1,α), é uma em 20. Aplicando o mesmo teste para a variável Y, com o
mesmo risco de estar recusando a hipótese nula quando ela é verdadeira, a probabilidade de ambas X e Y não serem significantemente diferentes de μx e μy é (0,95)² = 0,9025. A probabilidade de ambas as médias serem significantemente diferentes de μx e μy é (0,05)² = 0,0025. A probabilidade de apenas uma das médias ser significantemente diferente é (2).(0,95).(0,05) = 0,0950. Assim a probabilidade de que pelo menos uma média ser considerada como significativamente diferente, quando na realidade não existe diferença, é de 0,0975. No caso de um problema a três variáveis, esta última probabilidade passa a ser 1- (0,95)³ = 0,1426. Esta situação, apresentada por Jackson (1959) , mostra que o uso de testes univariados para situações multivariadas pode fornecer pelo menos uma diferença significante, apenas por chance, em 50% ou mais de casos. Há necessidade, portanto, de um teste generalizado que verifique simultaneamente se dadas diversas amostras, qual a possibilidade delas serem significantemente diferentes de médias hipotéticas correspondentes fornecidas.
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
[ x^ x ][ x^ x ] n^ [ s^ ][^ A ]
− − l −
^
multiplicando por A ':
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
([ ]^ [ ])
[ ] [ ] [ ]
A x x A n −
A s A
A x n
A s A
' x x ' x
2 2
o que resulta: λ = t^2
Para a determinação de t², ou seja o máximo valor possível, deve-se encontrar o determinante λ
[ s^^2 ] [^ x^ ][^ x^ ]^ n^ [ ] I
^ −^1 − − − 0
^
λ = [ ] [ − μ ] [ − μ ]
−
tr s^2 x o x o n
1
onde tr = traço de matriz que é igual a soma das raízes características
T^2 n x [ x ] [ s^2 ] [ x x ]
1
−
Essa expressão é conhecida como “ teste T² de Hotteling ”, em homenagem ao estatístico que a formulou. Quando a hipótese nula é verdadeira, a quantidade 2
* T
mn
F n m
= − , apresenta uma distribuição F com graus de liberdade m e n - m, onde n é o
número de amostras e m o número de variáveis.
Aceita-se H o : μ o ,, quando
F * <. F ( α , m , n − m )
- Exemplo : Os dados foram retirados do trabalho de Gomes et al. (1975) sobre a geoquímica de corpos graníticos da região do Ribeira, utilizando-se apenas 40 análises químicas obtidas do maciço de Itaóca, Vale do Ribeira (SP). Cada uma dessas análises exibe valores percentuais de de SiO 2 , TiO 2 , Al 2 O 3 , Fe 2 O 3 ,
FeO, MnO, MgO, CaO, Na 2 O, K 2 O e P 205 ( Tabela 2.1.) O maciço de Itaoca, aflorando ao sul da cidade de
Apiaí, possui forma irregular, levemente ovalada, e contatos tanto concordantes como discordantes com a estrutura regional, achando-se inteiramente encaixado em metassedimentos do Grupo Açungui. Do ponto de vista textural, as amostras estudadas são porfiróides, com desenvolvimento de cristais centimétricos de feldspato alcalino em meio à uma matriz fanerítica granular de dimensões submilimétrica à milimétrica. Sua mineralogia é marcada pela dominância total dos componentes alcalinos, quartzo e feldspato, aparecendo a biotita como principal composto ferromagnêsiano
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
- INTRODUÇÃO ÍNDICE
- EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
- 2.1. Teste T² de Hotteling
- 2.2.. Análise generalizada de variância
- REGRESSÃO MÚLTIPLA
- ANÁLISE DE AGRUPAMENTOS (CLUSTER ANALYSIS)
- 4.1. Introdução
- 4.2. Métodos de classificação
- ANÁLISE DAS COMPONENTES PRINCIPAIS
- 5.1. Análise das Coordenadas Principais
- 5.2. Métodos robustos para Análise das Componentes Principais
- ANÁLISE FATORIAL
- 6.1. Análise Fatorial pelo modo “R”
- 6.2. Análise Fatorial pelo modo “Q”
- 6.3. Exemplo numérico
- 6.4. Análise das Correspondências (Análise das Associações)
- 6.5. Análise Fatorial R-Q simultânea
- 6.6. Exemplo
- ANÁLISE DISCRIMINANTE
- 7.1. Funções Discriminantes multigrupos
- 7.2.. Distância Generalizada D^2 de Mahalanobis
- 7.3. Exemplo
- EXEMPLO DE ANÁLISE ESTATÍSTICA MULTIVARIADA INTEGRADA
- 9.1. Adaptação de métodos estatísticos multivariados
- 9.2. Metodologia específica para análise estatística multivariada espacial
- SiO 2 TiO 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 FeO MnO MgO CaO Na 2 O K 2 O P
- 1 67.58 0.58 12.65 0.15 3.62 0.07 1.28 2.14 5.34 4.9 9 0.
- 2 72.77 0.20 12.96 0.01 2.30 0.02 0.30 0.77 5.34 4.55 0.
- 3 68.64 0.40 13.33 0.65 2.98 0.19 0.77 1.11 5.72 4.70 0.
- 4 69.87 0.45 13.36 0.90 2.03 0.08 0.81 0.80 5.72 4.96 0.
- 5 71.42 0.39 12.23 0.01 3.06 0.05 0.82 1.53 5.01 3.48 0.
- 6 66.02 0.60 13.62 0.97 3.35 0.07 1.10 2.89 5.01 5.00 0.
- 7 66.20 0.67 12.99 1.21 3.08 0.10 1.10 2.76 5.34 4.97 0.
- 8 72.75 0.22 12.72 0.17 2.53 0.03 0.37 1.13 5.01 4.34 0.
- 9 65.80 0.65 13.95 0.33 3.76 0.05 1.08 2.67 5.34 4.96 0.
- 10 70.03 0.38 12.83 0.43 3.81 0.08 0.73 1.59 4.04 5.04 0.
- 11 69.71 0.50 13.00 0.06 3.18 0.11 0.90 2.14 4.85 4.54 0.
- 12 67.45 0.53 13.67 0.37 3.59 0.05 0.95 2.62 4.85 4.63 0.
- 13 66.31 0.69 14.23 0.13 3.39 0.07 1.29 3.02 4.85 4.48 0.
- 14 65.78 0.67 14.21 0.19 3.49 0.06 1.36 2.87 4.85 5.06 0.
- 15 65.84 0.67 12.89 0.75 3.53 0.06 1.43 3.11 4.85 4.81 0.
- 16 64.43 0.73 13.97 0.18 4.22 0.07 1.32 3.02 4.85 4.88 0.
- 17 69.57 0.40 13.18 0.30 2.67 0.07 1.09 1.71 5.12 4.91 0.
- 18 72.33 0.49 14.06 0.62 0.99 0.01 0.18 0.22 4.72 5.22 0.
- 19 70.73 0.50 12.77 0.33 2.49 0.09 0.90 1.80 4.45 4.74 0.
- 20 64.17 0.87 13.81 0.98 4.11 0.07 1.48 3.26 4.58 4.85 0.
- 21 64.57 0.77 13.92 1.33 3.35 0.09 1.46 3.04 4.85 4.51 0.
- 22 69.75 0.37 12.83 1.69 2.98 0.04 0.66 1.39 4.58 4.68 0.
- 23 65.10 0.67 14.30 0.88 3.71 0.08 1.35 2.83 4.31 4.85 0.
- 25 65.29 0.66 14.18 1.09 3.61 0.07 1.11 3.07 4.31 4.85 0.
- 26 66.84 0.66 13.40 0.62 3.36 0.07 1.33 2.67 4.58 4.64 0.
- 27 66.93 0.78 13.51 0.47 5.45 0.09 1.47 2.71 1.35 5.13 0.
- 28 67.33 0.61 13.14 1.15 2.88 0.07 1.39 2.47 4.58 4.87 0.
- 29 64.93 0.85 14.20 1.91 3.72 0.06 0.85 2.47 4.31 4.85 0.
- 30 66.23 0.62 13.57 1.08 3.49 0.05 1.17 2.86 4.31 4.84 0.
- 32 68.33 0.44 12.98 0.77 2.78 0.06 0.95 2.34 4.31 4.77 0.
- 33 72.15 0.24 11.96 0.96 1.81 0.08 0.52 5.20 3.24 2.71 0.
- 34 66.79 0.60 13.73 1.14 2.63 0.06 1.32 2.72 4.31 5.22 0.
- 35 65.78 0.57 14.45 1.91 2.82 0.06 0.91 2.58 4.30 5.10 0.
- 36 66.08 0.59 14.15 1.61 3.14 0.06 1.12 2.92 4.31 4.46 0.
- 37 64.50 0.79 13.80 1.08 4.03 0.07 1.39 3.17 4.58 4.96 0.
- 38 65.87 0.71 13.50 2.01 2.73 0.09 1.49 3.26 4.36 4.39 0.
- 39 63.72 0.74 13.91 1.97 3.48 0.08 1.50 3.22 4.30 4.89 0.
- 40 75.37 0.09 12.13 0.18 2.16 0.01 0.09 0.54 4.04 4.62 0.
- 41 67.66 0.63 13.07 0.68 3.62 0.05 1.27 2.56 4.58 4.41 0.
- 42 65.72 0.63 13.71 1.23 3.35 0.05 1.01 3.09 4.85 4.64 0.
- 52 67.43 0.54 13.54 1.44 2.11 0.06 1.15 2.68 5.12 4.48 0.
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS Tendo sido visto o caso de uma única amostra multidimensional comparada com um específico vetor de médias populacionais, uma outra situação seria a comparação entre duas médias populacionais multidimensionais. Presume-se que as duas amostras tenham sido retiradas de populações multi-normais, possuindo ambas a mesma matriz desconhecida de variâncias-covariâncias [ σ^2 ]. Deseja-se, portanto, testar a hipótese nula Ho : (^) [ μ (^) 1 ] =[ μ 2 ] Contra a alternativa H 1 : (^) [ μ 1 (^) ] ≠[ μ 2 ] Para o caso unidimensional usa-se o teste "t" para duas amostras:
t x^ x
sp n n
1 2
onde sp é a estimativa dos desvios padrões combinados de duas populações, baseada em ambas as amostras
Sp n^ s^ n^ s
n n
2 1 12 2 22 1 2
= −^ +^ −
No caso multidimensional, inicialmente computa-se para o cálculo da estimativa combinada [ Sp^2 ],
a matriz de variâncias e covariâncias de duas amostras multidimensionais, utilizando a soma de quadrados e produtos cruzados das m variáveis de ambas as amostras.
[ Sp^^2 ] n n (^ [^ S^ ]^ [^ S ])
1 2 1 2
S
SQX SPX X SPX X
SPX X SQX SPX X
SPX X SPX X SQX
m m
m m m
1
1 1 1 1 1 2 22 1
1 2 2
L
L
M
L
onde
SQX
x
x
n
n
i
n i
i
n a i
a
12
1 1
2 1 1 1
2
^
=
−
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
SPX X
x x
x x
n
n
i
n i i
i
n i (^) i
n a i
a a
1 2
1 1 2
1 1 1 2 1
=
(. ) −^ −
Em seguida encontra-se a diferença entre os dois vetores de médias (^) [ x (^) 1 ] − (^) [ x (^) 2 ] = (^) [ x 1 (^) − x 2 ]. O teste T² para o presente caso terá a forma
[ ] [ ] [ 1 2 ]
2 1 1 2 1 2
2 1.^2 x x '. Sp x x
n n
n n
T − −
−
A significância de T² será determinada por
F n^ n^ m
n n m
= +^ −^ − T
1 2 1 2
, com m e ( n (^) 1 + n (^) 2 − m − 1 )graus de liberdade.
Aceita-se Ho : μ 1 = μ 2 se
(;m;n n m 1) 2
T ≤ Fα 1 + 2 − −
- Exemplo : O teste T^2 também pode ser aplicado quando se dispõe de duas amostras casuais independentes, retiradas, por suposição, de populações normais multivariadas e tendo ambas a mesma matriz desconhecida de variâncias e covariâncias e se deseja testar a igualdade entre seus vetores de média.
Ho : [ μ 1 ]= [ μ 2 ]
contra
H 1 : [ μ 1 ]≠ [ μ 2 ] Para este exemplo foram utilizadas as mesmas duas amostras provenientes do estudo geoquímico do maciço de Itaoca: a primeira, constituída por 13 análises químicas e a segunda, por 19 análises químicas. Em ambas as variáveis são as mesmas, ou seja porcentagens de 11 óxidos.
F
n n m
= n n m T
+ − =^
1 2 1 2
( ) ( 13 10 2 12 ) 1117389.^58973.
F tabelado, para um nível de significância de 0.05% e graus de liberdade 12(m) e 19
( n 1 n (^) 2 − m − 1 ), é igual a 2.27. Desse modo como F calculado é maior que F tabelado rejeita-se a hipótese
nula de que os dois vetores de médias das duas amostras consideradas sejam iguais. Isso já era esperado tendo em vista os resultados do exemplo 3.1.1. onde a primeira amostra revelou ter características de uma rocha adamellitica e a segunda não.
2.2. Análise generalizada de variâncias
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
χ^2 = MC −^1
Este valor aproximado de χ² tem graus de liberdade = ( 1 / 2 )( k - 1 )m( m + 1 ).
Se todos os grupos possuem o mesmo número de observações n, a transformação é simplificada para
( ) (^ )
C ( ) ( )
m m k
m k n
− = − +^ −^ +
1 2
O valor χ² deve ser usado apenas quando k e m não excedem 5 e cada matriz estimada de covariâncias é baseada em pelo menos 20 observações.
- Exemplo : Para a aplicação do teste anterior, uma das suposições era a de que as amostras tivessem sido retiradas de populações com a mesma matriz de variâncias e covariâncias. Tal igualdade de matrizes de variâncias e covariâncias pode ser verificadas pela aplicação do teste das variâncias generalizadas, que é o teste multivariado equivalente ao teste F. Usando as mesmas amostras do teste anterior o resultado passa a ser: Teste M = 180,874847 ; Transformação C-1 = 0, Critério de Anderson corrigido: 101,812957% Como esta estatística tem distribuição próxima a do chi-quadrado (χ^2 ), com 78 graus de liberdade, comparou-se o valor calculado com valores críticos de uma tabela de χ². Para altos valores de graus de liberdade a seguinte fórmula aproximada para o cálculo de χ² pode ser usada
χ α^2^ ( 92 αν 92 )
= n 1 − + z^3
n n
χ (^2 0 01^ , ) = 78 1( − 9 *^2 78 + 2 326. ( ν 2 / 9 * 78 ) 3 )=109 92 ,
( ) 109 ,^97
2
Como o valor crítico, para um nível de significância 0,01, é maior que o calculado, aceita-se a hipótese nula, ou seja, ambas as amostras provém de populações com a mesma matriz de variâncias e covariâncias.
EXTENSÕES MULTIVARIADAS DE TESTES UNIVARIADOS
BIBLIOGRAFIA
GOMES, C.B; BERENHOLC, M.; HYPÓLITO, R. & ARRUDA, J.R. (1975) - Geoquímica de maciços graníticos da Região do Ribeira, Parte 1: elementos principais : An. Acad. Bra.s Ciênc., 47 :113-130.
JACKSON, J.E. (1959) - Some multivariate statistical tecniques used in color matching data : Jour. Opt. Soc. America, 49 :485-592.
LANDIM, P.M.B.; GOMES, C.B.; ARRUDA, J.R. & FULFARO, V.J. (1979) - Análise de agrupamentos (cluster analysis) aplicada ao estudo geoquímico do granito Itaóca, região da Ribeira : An. XXVIII Congr. Bras. Geologia, 7 :161-
MORRISON, D.F. (1967) - Multivariate statistical methods: McGraw-Hill.
NOCKOLDS, S.R. (1954) - Average chemical compositon of some igneous rocks : Geol. Soc. Am. Bull., 65 :1007-
REGRESSÃO MÚLTIPLA
A equação que representa a relação linear entre uma variável dependente (yi) e uma única variável independente (xi) é:
Y i = a o + a x 1 i
As equações normais que fornecem os valores de ao e a 1 são: 2
∑ Y 1 = ao n + a 1 ∑ x 1 (1)
∑ X i Yi = ao ∑ Xi + a 1 ∑ x 12 (2)
As equações ( 1 ) e ( 2 ) constituem um par de equações normais a duas incógnitas, as quais podem ser resolvidas para a obtenção dos coeficientes, por cálculo matricial, segundo:
XA Y
X A Y
[ ][ ]= [ ]
Multiplicando ambos os termos da equação pelo inverso de [X], isto é, [ X ]−^1 :
[ X ] −^1. [ X ]. [ A ] =[ X ]−^1 Y
Como [ X ] −^1. [ X ] =[ I ](matriz de identidade)
e [ I ]. [ A ] =[ A ]
[ A ]. [ X ] −^1 =[ Y ]
Por extensão, a análise de regressão múltipla linear de quaisquer m variáveis independentes sobre uma variável dependente, sendo expressa por:
Y i = a o + a X 1 1 i + a 2 X 2 i + L+ a m Xmi ,
pode ser resolvida segundo:
n x x
x x x x
x x x x x
x x x x
a
a
a
a
y
x y
x y
x y
X A Y
i mi i i i mi m
mi mi mi
o
m
i i i i i
mi i
1 1 12 1 2 2 1 2
1 2
1 2
1 2
L
L
L
M
L
[ ] [ ] [ ]
e, portanto,
[ A ] = [ X ] −^1 [ Y] ,
onde [A] é o vetor-coluna de incógnitas a ser determinado.
Uma das mais importantes aplicações da análise de regressão múltipla é a escolha, entre diversas variáveis independentes, daquelas mais úteis na previsão de Y e, para tanto, o método “passo a passo” ( stepwise multiple regression) é o mais recomendado. A variância total de Y é em parte "explicada" pelas diversas variáveis X's e o restante pela
variabilidade devido ao erro ( ε 1 ). É claro que o termo "explicada" tem apenas um significado numérico
REGRESSÃO MÚLTIPLA
não implicando necessariamente em um conhecimento causa-efeito sobre o porquê da relação existente. Os tamanhos relativos dessas duas componentes de variância são obviamente de grande interesse quando da aplicação da análise de regressão múltipla. A proporção da variância dos Y observados "explicada" por uma equação de regressão ajustada é representada pelo coeficiente de determinação R².
R^2 variância de Y explicada pela analise de regressao)
(variancia total)
sy *^2
sy^2
=^ (^ &^ =
Valores de R^2 irão dispor-se no intervalo [0-1], fornecendo uma medida dimensional de quantidade do ajuste do modelo de regressão múltipla aos dados. Se o valor de R² for próximo de 1 isso significa que as diversas variáveis X's medidas são responsáveis quase que totalmente pela variabilidade de Y. Caso contrário, R² apresentará um valor próximo a zero. Como os coeficientes de regressão são parciais devem ser obtidas as porcentagens explicadas da soma de quadrados de Y
segundo 2^ k^ − 1 combinações, onde k é o número de variáveis independentes. Finalmente verifica-se
a contribuição pura de cada variável independente por comparações sucessivas entre os diversos resultados. Outra maneira para a ordenação das variáveis pela sua importância na previsão da variável dependente é a padronização dos coeficientes de regressão parciais, convertendo-os em unidades de desvio padrão, ( Bk ) ( Li , 1964, p. 136):
B b S
k kS
k Y
= , onde bk = coeficiente de regressão parcial;
Sk= desvio padrão de Xk ; Sy= desvio padrão de Y. Pela comparação direta dos Bk determinam-se as variáveis mais eficientes. Embora a regressão múltipla seja multivariada no sentido de que mais de uma variável é medida simultaneamente em cada observação, trata-se na realidade de uma técnica univariada, pois o estudo é apenas em relação à variação da variável dependente Y, sem que o comportamento das variáveis independentes, Xs, seja objeto de análise. Finalmente, alguns cuidados que se deve tomar quando da utilização da análise de regressão: a) as relações entre as variáveis devem ser lineares; b) evitar um número inferior de casos em relação ao número de variáveis consideradas, sendo recomendado que tal relação seja da ordem de 10 a 20 vezes superior; c) evitar variáveis independentes redundantes, isto é, que tenham um alto coeficiente de correlação entre si; d) verificar, utilizando resíduos, a presença de valores anômalos
