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Carlos Ivorra Castillo

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Índice General

Preámbulo ix

• Capítulo I: Los números reales Introducción xiii
  • 1.1 Cuerpos métricos
  • 1.2 Convergencia de sucesiones
  • 1.3 Desarrollos decimales
  • 1.4 Sucesiones de Cauchy
  • 1.5 Cuerpos ordenados completos
  • 1.6 El cardinal del continuo
• Capítulo II: Topología
  • 2.1 Espacios topológicos
  • 2.2 Bases y subbases
  • 2.3 Productos y subespacios
  • 2.4 Algunos conceptos topológicos
  • 2.5 Continuidad
  • 2.6 Límites de funciones
  • 2.7 Convergencia de sucesiones
  • 2.8 Sucesiones y series numéricas
• Capítulo III: Compacidad, conexión y completitud
  • 3.1 Espacios compactos
  • 3.2 Espacios localmente compactos
  • 3.3 Espacios conexos
  • 3.4 Espacios completos
  • 3.5 Espacios de Hilbert
  • 3.6 Espacios de funciones
  • 3.7 El teorema de Baire
• Capítulo IV: Cálculo diferencial de una variable
  • 4.1 Derivación
  • 4.2 Cálculo de derivadas
  • 4.3 Propiedades de las funciones derivables
  • 4.4 La diferencial de una función vi ÍNDICE GENERAL
  • 4.5 El teorema de Taylor
  • 4.6 Series de potencias
  • 4.7 La función exponencial
  • 4.8 Las funciones trigonométricas
  • 4.9 Las funciones hiperbólicas
  • 4.10 Primitivas
• Capítulo V: Cálculo diferencial de varias variables
  • 5.1 Diferenciación
  • 5.2 Propiedades de las funciones diferenciables
  • 5.3 Curvas parametrizables
• Capítulo VI: Introducción a las variedades diferenciables
  • 6.1 Variedades
  • 6.2 Espacios tangentes, diferenciales
  • 6.3 La métrica de una variedad
  • 6.4 Geodésicas
  • 6.5 Superficies
  • 6.6 La curvatura de Gauss
• Capítulo VII: Ecuaciones diferenciales ordinarias
  • 7.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
  • 7.2 Ecuaciones diferenciales de orden superior
  • 7.3 Aplicaciones
• Capítulo VIII: Teoría de la medida I
  • 8.1 La medida de Jordan
  • 8.2 Medidas
  • 8.3 La medida de Lebesgue
  • 8.4 Funciones medibles
  • 8.5 La integral de Lebesgue
  • 8.6 La integral de Lebesgue en R
• Capítulo IX: Teoría de la medida II
  • 9.1 Producto de medidas
  • 9.2 El teorema de Riesz
  • 9.3 Espacios Lp
  • 9.4 Medidas signadas
  • 9.5 Derivación de medidas
  • 9.6 El teorema de cambio de variable
  • 9.7 Integración en variedades
• Apéndice A: La compleción de un espacio métrico
• Apéndice B: Fracciones continuas ÍNDICE GENERAL vii
  • B.1 Propiedades básicas
  • B.2 Desarrollos de irracionales cuadráticos
  • B.3 Transformaciones modulares
  • B.4 El espacio de Baire
  • B.5 La fracción continua de e
• Apéndice C: Resumen de dinámica clásica
  • C.1 El espacio y el tiempo
  • C.2 Cinemática de una partícula puntual
  • C.3 Fuerzas
  • C.4 Trabajo y energía
  • C.5 Dinámica de un sistema de partículas
  • C.6 Distribuciones continuas de materia
• Bibliografía
• Índice de Materias

x Preámbulo

Álgebra Geometría Análisis Al I Preliminares Al II G I Anillos Geometría absoluta Al III G II An I Aritmética Geometría arquimediana Números reales Al IV G III Aplicaciones Geometría euclídea Al V G IV An II Módulos Geometría analítica Topología Al VI G V An III Grupos Complejos y cuaternios Compacidad,... Al VII G VI An IV Cuerpos Regla y compás Cálculo una variable Al VIII G VII An V Álgebra lineal Biyecciones afines Cálculo varias variables Al IX G VIII An VI Ecuaciones Geometría afín Variedades Al X G IX An VII Enteros algebraicos Geometría proyectiva Ecuaciones diferenciales Al XI G X An VIII Enteros cuadráticos Cónicas Medida I Al XII G XI An IX Factorización ideal Geometría parabólica Medida II Al XIII G XII An Ap A Complementos Geometría hiperbólica Compleción de un e.m. Al Ap A G XIII An Ap B Ax. de elección Geometría elíptica Fracciones continuas Al Ap B G Ap A An Ap C Conjuntos infinitos Geometría inversiva Dinámica clásica

Las únicas dependencias que no respetan el orden indicado en la tabla pre- cecente son las siguientes:

• La sección [G 7.7] usa la medida de Jordan definida en [An 9.1], pero dicha sección puede leerse antes de [G 7.7], pues no requiere nada intermedio.
• El capítulo [An VII] usa en un ejemplo las cónicas definidas en la sección [G 10.1], pero esta sección (no ya el resto del capítulo) puede leerse tras [G IV] y resulta incluso recomendable hacerlo, como ilustración de las posibilidades de la geometría analítica.

Las líneas horizontales en la tabla separan bloques temáticos. El segundo bloque de [Al], después del capítulo de preliminares conjuntistas al que ya hemos hecho referencia, contiene una presentación de la aritmética básica desde el punto de vista del álgebra abstracta, junto con aplicaciones que conectan este

xi

enfoque abstracto con resultados clásicos. En el tercer bloque se introducen nuevas estructuras abstractas con resultados que se aplican principalmente a la geometría (en [G]) y a la aritmética en el cuarto bloque, que contiene una introducción a la teoría algebraica de números. El libro termina con un capítulo en el que se recopilan algunos resultados que no han sido necesarios en los capítulos precedentes pero que son relevantes de cara a estudios más avanzados. El primer bloque de [G] contiene un tratamiento axiomático de la geometría euclídea, el segundo desarrolla los elementos básicos de la geometría analítica, el tercero está dedicado a la geometría proyectiva y el cuarto a las geometrías no euclídeas. Por último, [An] está dividido en tres bloques, dedicados respectivamente a la topología, al cálculo diferencial y al cálculo integral. El libro termina con tres apéndices, el primero de los cuales es una prolongación técnica del capítulo [An I] con material que no es necesario para los capítulos posteriores, el segundo expone la teoría de las fracciones continuas, en la que se combinan aspectos aritméticos con aspectos topológicos y, por último, hemos considerado oportuno incluir un resumen de la dinámica clásica que puede servir al lector para asimilar mejor las numerosas aplicaciones a la física presentadas en el libro. En realidad, todos los conceptos físicos involucrados se van explicando en los propios ejemplos a medida que van siendo necesarios, pero tal vez el lector no familiarizado con la física prefiera una exposición concentrada en unas pocas páginas que le sirva de referencia.

Introducción

En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el análisis matemático o cálculo infinitesimal, una potentísima herramienta que revolucionó el tratamiento matemático de la física y la geometría, y que más tarde impreg- naría las más diversas ramas de la matemática, como la estadística o la teoría de números. Esencialmente, el cálculo infinitesimal consistía por una parte en analizar o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el compor- tamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constituía el cálculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideración (el llamado cálculo integral). Es difícil que un lector que no tenga ya algunas nociones de cálculo pueda entender el párrafo anterior, pero las nuevas ideas eran aún más difíciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto que se publicó con el fin de explicarlas sistemáticamente fue el “Análisis” del marqués de L’Hôpital. Veamos algunos pasajes:

La parte infinitamente pequeña en que una cantidad variable es au- mentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad. Siguiendo la notación leibniziana, L’Hôpital explica que la letra d se usa para representar uno de estos incrementos infinitamente pequeños de una magnitud, de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc. En ningún momento se precisa qué debemos entender por un aumento infi- nitamente pequeño de una cantidad, pero en compensación se presentan varias reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo:

Postúlese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infini- tamente pequeña pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo que es lo mismo) que una cantidad que está incrementada o dismi- nuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede consi- derarse que permanece constante. Así, por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos

d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx,

xiii

xiv Introducción

donde hemos despreciado el infinitésimo doble dxdy porque es infinitamente menor que los infinitésimos simples x dy e y dx. Es fácil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospe- chas y polémicas. Baste citar el título del panfleto que en 1734 publicó el obispo de Berkeley:

El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel, donde se examina si los objetos, principios e inferencias del análisis moderno están formulados de manera más clara, o deducidos de manera más evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe. En esta fecha el cálculo infinitesimal tenía ya más de medio siglo de historia. La razón por la que sobrevivió inmune a estas críticas y a la vaguedad de sus fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en afirmaciones que no involucraban infinitésimos en absoluto, y que eran confir- mados por la física y la geometría. Por ejemplo, consideremos la circunferencia formada por los puntos que satisfacen la ecuación

x^2 + y^2 = 25.

Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en que los dos factores son iguales obtenemos que dx^2 = 2x dx e igualmente será dy^2 = 2 y dy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante 25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto añadimos que la diferencial de una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuación diferencial

2 x dx + 2y dy = 0,

de donde a su vez dy dx

x y

Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circun- ferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y disminuirá en 3 / 4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito de la variable x, por pequeño que sea, pues si valiera para incrementos suficien- temente pequeños resultaría que la circunferencia contendría un segmento de la recta

y − 4 = −

(x − 3),

lo cual no es el caso. Vemos que ésta se comporta igual que la circunferencia para variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque difiere de ella para cualquier variación finita. La interpretación geométrica es que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4). El argumento será nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que nos proporciona un método sencillo para calcular la tangente a una circunferen- cia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el método se aplica a cualquier curva que pueda expresarse mediante una fórmula algebraica razonable, lo que supera con creces a las técnicas con las que contaba la geometría analítica antes del cálculo infinitesimal.

Capítulo I

Los números reales

El conjunto Q de los números racionales tiene una representación geométrica: en una recta cualquiera, seleccionamos arbitrariamente dos de sus puntos, P 0 y P 1 y, a partir de ahí, a cada número racional r = m/n le asignamos el punto Pr que resulta de dividir el segmento P 0 P 1 en n partes iguales y, desde P 0 , dar m pasos de dicha longitud hacia P 1 si m > 0 y en sentido opuesto si m < 0. La figura muestra la representación geométrica de los menores números racionales con denominador 5 :

Pero la geometría nos enseña también que los números racionales no “llenan” la recta, sino que, por ejemplo, si abatimos sobre la recta la diagonal de un cuadrado de lado unitario, obtenemos un punto, que en la figura se ve que queda entre 7 / 5 y 8 / 5 , que según el teorema de Pitágoras debería corresponder a un número x tal que x^2 = 2:

0 15 25 35 45 1 65 75 85 95 2

Pero sabemos que ningún número racional cumple x^2 = 2. Esto nos obliga a considerar una clase más amplia de números. Podemos pensar que la inexis- tencia de una raíz cuadrada de 2 en Q delata la presencia de un “hueco” en Q al que le podemos asignar una posición en la recta con toda precisión. La figura muestra que 7 / 5 está “a la izquierda del hueco”, mientras que 8 / 5 está “a la derecha del hueco”, lo cual deja poco margen a su situación, pero este margen se

1.1. Cuerpos métricos 3

Posiblemente el lector estará familiarizado con este tipo de representacio- nes gráficas de funciones y no es necesario añadir muchas explicaciones sobre su interpretación: la curva que se muestra está formada por los puntos que al proyectarse verticalmente sobre el eje horizontal llevan a un punto que se co- rresponde con un número racional x y al proyectarse horizontalmente sobre el eje vertical caen sobre el punto correspondiente a f (x). La curva de la gráfica corta al eje vertical cuando x = 0 en el punto − 2 , y la figura sugiere que “debe cortar” al eje horizontal en dos puntos, uno situado entre 7 / 5 y 8 / 5 y el otro en posición simétrica respecto del 0. Sin embargo, estamos de nuevo en el mismo caso: no existen números racionales x que cumplan x^2 −2 = 0, luego nos vemos obligados a concluir que la curva mostrada no corta al eje horizontal... salvo que estemos dispuestos a considerar a f definida sobre un cuerpo mayor que Q. La diferencia está en que la geometría clásica sólo requiere que existan los irracionales que pueden obtenerse a partir de Q mediante sumas, restas, pro- ductos, cocientes y extracción de raíces cuadradas, mientras que, al considerar funciones más sofisticadas que x^2 − 1 , el análisis matemático se encuentra con la necesidad de “rellenar” muchos más de los “huecos” que los números racionales dejan en la recta. De hecho, necesita rellenarlos todos. En este capítulo vamos a estudiar los “huecos” de Q con técnicas analíticas, mucho más minuciosas para este fin que las que proporciona la geometría. Dado que las técnicas que vamos a presentar dan lugar a una construcción de R alternativa a la presentada en [G], a lo largo de este capítulo no vamos a suponer conocido el cuerpo R construido allí. En el apéndice A daremos otra construcción de R basada en las técnicas y conceptos que vamos a presentar aquí. Esta construcción se debe a Cantor, mientras que la de [G] se debe a Dedekind.

1.1 Cuerpos métricos

Muchas de las ideas que vamos a presentar en este capítulo son aplicables en muchos otros contextos de interés, y por ello es conveniente trabajar en un marco general que realmente no supone ninguna dificultad añadida, sino simplemente observar que podemos aislar como axiomas las propiedades de Q que vamos a utilizar. Por ejemplo, empezamos introduciendo el concepto de “intervalo”, que tiene sentido, no sólo en Q, sino en cualquier conjunto totalmente ordenado X:

Definición 1.1 Sea X un conjunto totalmente ordenado. Llamaremos inter- valos en X a los conjuntos siguientes, para todo a, b ∈ X:

]a, b[ = {x ∈ X | a < x < b}, [a, b] = {x ∈ X | a ≤ x ≤ b}, ]a, b] = {x ∈ X | a < x ≤ b}, [a, b[ = {x ∈ X | a ≤ x < b}, ]−∞, b[ = {x ∈ X | x < b}, ]a, +∞[ = {x ∈ X | a < x}, ]−∞, b] = {x ∈ X | x ≤ b}, [a, +∞[ = {x ∈ X | a ≤ x}, ]−∞, +∞[ = X.

4 Capítulo 1. Los números reales

El elemento a (en los intervalos en los que interviene) se llama extremo inferior del intervalo, mientras que b (cuando procede) es el extremo superior. Los intervalos de la forma ]a, b[, incluso si a o b es infinito, se llaman intervalos abiertos, mientras que los de tipo [a, b] se llaman intervalos cerrados.

Observemos que si X tiene máximo M , entonces

]a, +∞[ = ]a, M ] , [a, +∞[ = [a, M ] ,

y si tiene mínimo m entonces

]−∞, b[ = [m, b[ , ]−∞, b] = [m, b] ,

y si tiene máximo y mínimo entonces ]−∞, +∞[ = [m, M ], por lo que los in- tervalos con extremos infinitos sólo son relevantes en ausencia de máximo o de mínimo. En tal caso son conjuntos no acotados, y por ello se llaman intervalos no acotados.

Por ejemplo, la gráfica de la página 2 “parece” dividir la recta en tres inter- valos, pero no es así si identificamos la recta con Q. En tal caso tenemos que Q = A ∪ B ∪ C, donde

A = {r ∈ Q | r < 0 , r^2 > 2 }, B = {r ∈ Q | r^2 < 2 }, C = {r ∈ Q | r > 0 , r^2 > 2 }.

Se cumple que todo elemento de A es menor que todo elemento de B, y todo elemento de B es menor que todo elemento de C, pero A, B y C no son intervalos porque no tienen extremos. No hay ningún número racional en el que podamos decir que termina A y empieza B, ni otro donde termine B y empiece C. Los conjuntos que “parecen intervalos sin serlo” son una de muchas formas de “señalar huecos” en Q. Vamos a ver varias más.

Ahora vamos a hacer algunas observaciones sobre Q que en realidad son válidas sobre todo cuerpo ordenado R que cumpla una condición adicional que Q satisface trivialmente:

Definición 1.2 Un anillo ordenado R es arquimediano si N no está acotado^1 en R, es decir, si para todo x ∈ R existe un n ∈ N tal que x < n.

Obviamente Q es un cuerpo ordenado arquimediano, pues si m/n ≥ 0 , enton- ces m/n < m + 1. Entre otros conceptos asociados a la propiedad arquimediana está el de ‘parte entera’:

Teorema 1.3 Si R es un anillo ordenado arquimediano, para cada x ∈ R existe un único m ∈ Z tal que m ≤ x < m + 1.

Demostración: Si x ≥ 0 tomamos el mínimo número natural k tal que x < k, que existe por la propiedad arquimediana. Entonces k − 1 ≤ x < k. Si

(^1) Recordemos de [Al, Sección 3.6] que todo anillo ordenado tiene característica 0 y, por con- siguiente, contiene a Z como subanillo, y todo cuerpo ordenado contiene a Q como subcuerpo.