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Tipologia: Notas de estudo
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CÁLCULO DE ÁREA e VOLUME
LICENCIATURA EM ENGENHARIA TERMOTÉCNICA
Docente: Dr. Evaristo Nhassengo
APLICAÇÃO DO INTEGRAL
DUPLO
ANALISE MATEMÁTICA II
Agradecimento
Por este meio o grupo quer antes agradecer aos colegas que directa ou indirectamente ajudaram na compreesão e análise de alguns problemas relacionados a este tema, e ao docente da cadeira de Análise Matemática II que nos acompanha passo a passo para a compreenção desta disciplina, és que a sua postura serviu-nos de inspiração no método de investigação deste trabalho cujo insetivo é que não faltou neste caminho cheio de agruras, e quanto aos leitores desejamos boa leitura e bom trabalho.
Capítulo 1. Prefácio e Objectivos
1.1 PRÉFACIO
Este é um compendiolo relacionado com aplicação do integral duplo que tem como subtopicos Soma de Rieman, integrais iteradas,integrais sobre algumas regiões, integrais curvilineos, e suas condições necessarias e suficiente, também constam alguns exemplos para melhor interpretação e compreeção.
2 Fundamentação Teórica
2.1 Integração
Em 1910, Gomes Teixeira definia Cálculo Integral da seguinte forma: Chama-se Cálculo Integral o ramo da Analyse que tem por fim procurar as funções quando são dadas as suas derivadas.
As funções procuradas chamam-se integrales e o processo que se emprega para as achar chama-se integração. Os conceitos de integral e de integral definido foram estudados na disciplina de Análise Matemática I. No Cálculo integral de funções de uma variável é definido o integral de uma função continua sobre o intervalo de integração [a; b] como o limite da soma de Riemann.
Neste capítulo estendemos esta ideia, para definir o integral de funções contínuas de duas e três variáveis sobre uma região limitada R no plano. As aplicações dos integrais múltiplos incluem a determinação da áreia, volume, massa em uma variedade mais ampla de que podemos lhe dar na integração de funções de uma variável.Vamos agora estudar a integração e aplicacação de funções reais de duas variáveis e a integração.
2.1.1 Integrais Duplos
Designamos por integrais duplos os integrais de funções reais de duas variáveis. Primeiramente vamos definir o conceito de um integral de uma função real de duas variáveis definida num rectângulo de ℝ^2
2.1.1.1 Integrais Duplas Sobre Regiões Retangulares
Seja z = f ( x , y ) uma função real limitada em uma região retangular R = [ a , b ]×[ c , d ]. Inicialmente, vamos considerar uma partição regular (ou uniforme) de R , em sub- retângulos, conforme a figura abaixo:
Onde ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = 𝑏−𝑎𝑛 , ∆𝑦 = 𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗 = 𝑑−𝑐𝑛 , com i , j = 0, ... , n − 1 e
𝑠𝑛 uma soma de Riemann de f sobre R :
𝑠𝑛 = ∑ ∑ 𝑓(
𝑛−
𝑖=
𝑛−
𝑗=
𝑢𝑖, 𝑣𝑗)∆𝑥∆𝑦 = ∑ 𝑓(
𝑛−
𝑖,𝑗=
𝑢𝑖, 𝑣𝑗)∆𝐴
com ΔΑ = Δ x Δ y e 𝑢𝑖, 𝑣𝑗 um ponto qualquer de um sub-retângulo de R.
A integral dupla de f (x,y) sobre R , denotada por (^) ∬𝑅 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, é dada por
∬𝑅 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =^ Δ𝑥,Δ𝑦→0lim 𝑠𝑛 =^ n→+∞lim 𝑠𝑛 ,^ desde que esse^ limite exista e seja
único.
Observação 1: Dizemos que 𝑧 = f (x,y) é uma função limitada em D ⊂ 𝑅^2 se existe
uma constante real positiva M tal que│ f ( x , y )│≤ M , ∀ ( x , y ) ∈ D
Observação 2: Se a integral de 𝑧 = f (x,y) sobre uma região R existe, então a função é dita integrável sobre R.
Observação 3: Toda função contínua numa região R é integrável sobre R.
Observação 4: Se a região R é a união de duas regiões disjuntas 𝑅 1 e 𝑅 2 então:
∬ (𝑥^2 + 𝑦^2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 =
2.1.1.2 Integrais Iteradas
Assim como na integração de uma variável, calcular a integral de funções de duas variareis usando a definição pode também não ser simples. Todavia para facilitar os nossos cálculos daremos o conceito de integrais iteradas. Suponha que f seja uma função de duas variáveis que é integrável no retângulo 𝑅 = [𝑎; 𝑏] × [𝑐; 𝑑]. Usaremos a notação 𝑅 = [𝑎; 𝑏] × [𝑐; 𝑑].
A(x)=∫𝑐 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
Se agora integramos a função A com à variável x de x=a a y=b, obteremos
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
A integral do lado direito acima é chamada integral iterada. Em geral, os colchetes sãos omitidos. Assim,
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
Significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de a até b. Da mesma forma, a integral iterada
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
Exemplo 1.1. Determine as integrais para a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥^3 + 6𝑥𝑦^2 no retângulo [1,3] × [−2,1]
1
−
3
1
3
1 = ∫[(4𝑥^3 + 2𝑥) − (−8𝑥^3 − 16𝑥)]𝑑𝑥
3
1 = ∫[12𝑥^3 + 18𝑥]𝑑𝑥
3
1 = [3𝑥^4 + 9𝑥^2 ] 13 = 312
Por outro lado
3
1
1
−
1
−
1
− = ∫[(8 + 24𝑦^2 ]𝑑𝑦
1
− = [80𝑦 + 8𝑦^3 ]−2^1 = 312
2.1.1.3 Mudança de variáveis em integrais duplos
Na teoria do integral simples ( de funções de uma variável) foi apresentado o chamado método de integração por substituição, que permite calcular integrais mais ou menos complicados, transformando-os em outros mais simples. No caso do integral duplo existe
um resultado semelhante a este, que irá transformar um integral da forma, (^) ∬𝐷 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
onde D é uma região do plano XOY, num integral duplo (^) ∬𝐷 𝐹(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣, onde T é a
nova região no plano UOV. Há que notar que, neste caso, terão que existir duas funções ∅ 1 𝑒 ∅ 2 , que relacionem (x,y) com (u,v), isto é, terá que existir uma função vectorial ∅ = (∅1,∅ 2 ) de ℝ^2 em ℝ^2 definida por:
{𝑥(𝜌, 𝜃) = 𝜌 cos 𝜃𝑦(𝜌, 𝜃) = 𝜌 sin 𝜃 sin 𝜃 = 𝑦𝜌 e cos 𝑥𝜌
As coordenadas (𝜌, 𝜃) dizem-se as coordenadas polares do ponto P de coordenadas cartesianas (x; y) e fornecem uma forma alternativa de representar a posição desse ponto.
Que 𝜌 representa a distância dum ponto de coordenadas (x; y) à origem, 𝜌 será sempre um número não negativo. Se 𝜌 > 0 e o ângulo 𝜃 pertencer ao intervalo [0; 2𝜋[, a cada ponto de coordenadas cartesianas (x;y) corresponderá um único par (𝜌, 𝜃) bem determinado e vice-versa, isto é, a transformação acima é bijectiva. Visto que o jacobiano é;
| = | − sin 𝜃cos 𝜃^ −𝜌 sin 𝜃𝜌 cos 𝜃 | = 𝜌
Assim:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝜌 cos 𝜃 , 𝜌 sin 𝜃) 𝐷 𝑇
Exemplo 1.4. Calcule usando coordenadas polares, (^) ∬𝑅 √𝑥^2 + 𝑦^2 𝑑𝑥𝑑𝑦,onde R é limitado por 𝑥^2 + 𝑦^2 = 1 𝑒 𝑥^2 + 𝑦^2 = 9
Resolução:
𝜕∅ 1 𝜕𝑢
𝜕∅ 1 𝜕∅^ 𝜕𝑣 2 𝜕𝑢
𝜕∅ 2 𝜕𝑣
| = | − sin 𝜃cos 𝜃^ −𝜌 sin 𝜃𝜌 cos 𝜃 | = 𝜌
𝑅 = ∬ √cos^2 𝜃𝜌^2 + 𝜌^2 sin^2 𝜃 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃 𝑇 = ∫ ∫ 𝜌^2 𝑑𝜌𝑑𝜃 = ∫ [𝜌
3 3 ]
2𝜋
0
3
1
2𝜋
0 2.2 Aplicação do Integral Duplo
2.2.1 Calculo de área de Superficie
Teorema:
Determinamos a área de um tipo especial de superficie uma superficie de revolução por métodos de cálculo de uma única variável. Calculamos aqui a área de uma superficie cuja equação é dado por:
z = f(x,y) o gráfico de uma função de duas variaveis.
Seja S a superficie com equação z = f(x,y) tem derivadas parciais contínuas.
A área da superfície com equação 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 onde 𝑓𝑥 𝑒 𝑓𝑦 são contínuas é:
Que pode ser escrita da seguinte formula:
2
2
𝐷
O volume aproximado, em unidades de volume, é dado por:
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 = ∫ [∫ (1 − 𝑦)
1 0
1 0
1 0 Observamos que a figura indica que o volume deve ser a metade do volume do cubo com lado 1 u. c ..
Pode-se ainda usar a aplicação do cálculo integral para calcular a massa, carga eléctrica, centro de massa e momento de inércia.
2.2.3 Interpretação Quando o Integrando é uma Função Densidade
Uma função de duas variáveis f ( x , y ) pode representar, por exemplo, a densidade de uma população por unidade de área ou a densidade de massa de uma placa. A integral dupla
∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦representará, nesses casos, a população total ou a massa total da região
R. Exemplo 1: Se a densidade por unidade de área de uma população de bactérias sobre a região R = [ a , b ]×[ c , d ] é f ( x , y ) = x + 4 y em cada posição ( x , y ) ∈ R , calcular a população total sobre essa região. Basta calcularmos:
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
𝑏 𝑅 𝑎
𝑏
𝑎
2 2 + 2(𝑑
Logo, a população é de (𝑑 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎) [𝑎+𝑏 2 + 2(𝑐 + 𝑑)] indivíduos.
2.2.4 Interpretação como Centro de Massa
O centro de massa, de uma lâmina cuja medida da densidade de área é ρ( x , y ) e cuja medida da massa é:
𝑅 tem coordenadas (𝑥̅, 𝑦̅):
𝑥̅ = 𝑀 𝑀𝑥 e 𝑦̅ = 𝑀 𝑀 𝑦,
sendo
𝑀𝑥 = ∬ xρ(x, y)dxdy 𝑅
𝑒 𝑀𝑦 = ∬ yρ(x, y)dxdy 𝑅
De forma simplificada, podemos dizer que o centro de massa ou centro de gravidade é o ponto de aplicação do peso de um corpo, ou seja, é “o ponto de equilíbrio de um sistema”.
𝑦̅ = 𝑀 𝑀 𝑦= 2( 𝑐𝑜𝑠(1) + 𝑠𝑒𝑛(1) − 1)2 sen(1) = 𝑐𝑜𝑠(1) + 𝑠𝑒𝑛(1) − 1sen(1)
3 Conclusão
Tendo chegado ao fim deste compendíolo O grupo chegou a concluir o seguinte: integral duplo tem muita aplicação em varias partes da engenharia, também conclui-mos que, para as cadeiras que se seguem como Termodinamica, mecanica dos fluidos e Fisica II, precisa-se ter noção de integral duplo e operar com cada espécie de integral duplo.
