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Aplicações da Integral
Ao introduzirmos a Integral Definida vimos que ela pode ser usada para calcular áreas sob curvas. Veremos neste capítulo que existem outras aplicações. Essas aplicações estendem-se aos mais variados campos do conhecimento e, apenas para citar dois desses campos, destacaremos a Geometria e a Física. Na Geometria, além do cálculo de áreas sob curvas como já vimos, podemos usar a Integral Definida para calcular comprimento de arcos e volumes ; na Física, para calcular o trabalho realizado por uma força, momento, centros de massa e momento de inércia , além de várias outras aplicações. Faremos aqui, apenas, aplicações geométricas.
11.1 Áreas entre curvas
Denominaremos por área entre curvas a área de regiões limitadas por curvas que são gráficos de funções. Vamos considerar, para melhor entendimento, o exemplo a seguir.
Exemplo 11. Calcular a área limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = −𝑥^2 + 2
Observe, no gráfico ao lado, que as curvas se interceptam nos pontos de coordenadas ( 1 , 1 ) e (− 2 , − 2 ). A área procurada está representada pela região colorida.
Usando a notação de área sob curvas podemos escrever:
𝐴 = 𝐴^1 −√2^ (−𝑥^2 + 2) − 𝐴 01 (𝑥) + 𝐴−2^0 (−𝑥) − 𝐴−2−√2(𝑥^2 − 2)
e, daí,
𝐴 = [−
𝑥^3
+ 2𝑥]|
−√
1 −
+ 2 − [
𝑥^3
− 2𝑥]|
−
−√
Aplicações da Integral Cálculo Diferencial e Integral
Este cálculo pode ser simplificado através do método que passaremos a descrever. Para isso vamos considerar duas funções 𝑓 e 𝑔, contínuas em [𝑎, 𝑏], com 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], e a região do plano limitada pelos gráficos de f , de g e pelas retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 (a figura abaixo é um esboço da região descrita). Façamos uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏], através dos pontos:
𝑎 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏
e sejam ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 e 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], com 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛.
Para cada i podemos inscrever na região considerada um retângulo de base ∆𝑥𝑖 e altura ℎ𝑖(𝑡𝑖), como mostrado ao lado. A soma 𝑆𝑛 das áreas desses retângulos, dada por
𝑛
𝑖= 1 é uma aproximação da área da região considerada.
Na construção das áreas dos retângulos referidos anteriormente devemos considerar os três casos diferentes para o cálculo de ℎ𝑖(𝑡𝑖), em razão das diferentes situações que a região considerada pode se apresentar.
- 𝑓(𝑡𝑖) ≥ 0 e 𝑔(𝑡𝑖) ≥ 0 ⇒ ℎ𝑖(𝑡𝑖) = 𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖);
- 𝑓(𝑡𝑖) ≥ 0 e 𝑔(𝑡𝑖) < 0 ⇒ ℎ𝑖(𝑡𝑖) = 𝑓(𝑡𝑖) + |𝑔(𝑡𝑖)| = 𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖);
- 𝑓(𝑡𝑖) < 0 e 𝑔(𝑡𝑖) < 0 ⇒ ℎ𝑖(𝑡𝑖) = |𝑔(𝑡𝑖)| − |𝑓(𝑡𝑖)| = −𝑔(𝑡𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖) = 𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖).
Nos três casos temos ℎ𝑖(𝑡𝑖) = 𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖) e, portanto,
𝑛
𝑖=
= ∑[𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖)]∆𝑥𝑖.
𝑛
𝑖= É de se esperar que, quando ∆𝑥𝑖 → 0, a área procurada será dada por:
𝐴 = lim 𝑛→∞ ∑[𝑓(𝑡𝑖) − 𝑔(𝑡𝑖)]∆𝑥𝑖 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑛
𝑖=
Voltando ao Exemplo 11.1 podemos, agora, resolvê-lo pelo novo método:
∫ [−𝑥^2 + 2 − 𝑥]
1
−
𝑑𝑥 = [−
𝑥^3
𝑥^2
]|
−
1
Aplicações da Integral Cálculo Diferencial e Integral
Para chegarmos à integral definida que nos dê o volume do sólido de revolução, obtido como anteriormente, comecemos com uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏] e a construção de uma Soma de Riemann.
Seja P uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏]^ através dos pontos
𝑎 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏
Consideremos 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 com 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 e, também, como
conhecida, a fórmula para o cálculo de volume de um cilindro circular reto. O volume V que queremos encontrar será aproximado por uma soma de volumes de cilindros, construídos como na figura a seguir.
Os cilindros considerados possuem raio de base igual a |𝑓(𝑡𝑖)| e altura ∆𝑥𝑖. Assim
o volume 𝑉𝑖, do i-ésimo cilindro é dado por
𝑉𝑖 = 𝜋[𝑓(𝑡𝑖)]^2 ∆𝑥𝑖
A soma dos 𝑉𝑖, indicada por 𝑆𝑛, nos dá uma aproximação do volume pretendido, ou seja,
𝑉 ≅ 𝑆𝑛 = ∑ 𝜋[𝑓(𝑡𝑖)]^2
𝑛
𝑖=
Não é difícil constatar que essa aproximação torna-se cada vez melhor, à medida que aumentamos os pontos da partição tomada para o intervalo [𝑎, 𝑏]. Além disso, a soma apresentada é uma Soma de Riemann para a função
𝐹(𝑥) = 𝜋[𝑓(𝑥)]^2
no intervalo [𝑎, 𝑏]. Portanto, podemos definir o volume de revolução por
Cálculo Diferencial e Integral Aplicações da Integral
𝑉 = ∫ 𝜋𝑓^2 (𝑥)
𝑏
𝑎
Exemplo 11.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥^2 + 1, 𝑥 = 2 e pelo eixo x.
𝑉 = ∫ 𝜋(𝑥^2 + 1 )^2
2
0
𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑥^4 + 2 𝑥^2 + 1 )
2
0
𝑉 = 𝜋 [
𝑥^5
2 𝑥^3
+ 𝑥]⌋
Exemplo 11.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do disco
(𝑦 − 2)^2 + 𝑥^2 ≤ 1
em torno do eixo x.
Observe que o sólido obtido através dessa rotação (figuras 1 e 2) tem o formato de uma câmara de ar de um pneu. Em matemática esse sólido chama-se Toro.
Fig. 1 Fig.
Cálculo Diferencial e Integral Aplicações da Integral
𝑉 = 𝜋 ∫ [1 − (𝑦 − 2)^2 ]
3
1
Outra aplicação é obtida quando giramos, em torno do eixo y, uma região limitada pelo gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, pelas retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑏 e pelo eixo x. Vamos considerar, como na figura a seguir, 𝑎 ≥ 0 e 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Seja P uma partição de [𝑎, 𝑏], caracterizada pelos pontos:
𝑎 = 𝑥 0 ≤ 𝑥 1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏
e seja 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛.
Considere 𝑉𝑖 a diferença dos volumes dos dois cilindros de alturas 𝑓(𝑡𝑖)^ e raios da base 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 e 𝑟𝑖−1 = 𝑥𝑖−1, respectivamente. Podemos, então, escrever que:
𝑉𝑖 = 𝜋𝑓(𝑡𝑖)𝑥𝑖^2 − 𝜋𝑓(𝑡𝑖)𝑥𝑖−1^2
Vamos aproximar o volume procurado por:
𝑉 ≈ ∑ 𝑉𝑖 = ∑ 𝜋𝑓(𝑡𝑖)(𝑥𝑖^2 − 𝑥𝑖−1^2 ) = ∑ 𝜋𝑓(𝑡𝑖)(𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) =
𝑛
𝑖=
𝑛
𝑖=
𝑛
𝑖=
∑ 𝜋𝑓(𝑡𝑖)(𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=
Fazendo ∆𝑥𝑖 → 0, teremos que 𝑥𝑖, 𝑥𝑖−1 → 𝑡𝑖 ou 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 → 2𝑡𝑖. Desta forma, para n suficientemente grande, teremos:
𝑉 ≈ ∑ 2𝜋𝑡𝑖𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖 ∙
𝑛
𝑖= Assim, definimos o volume como
𝑉 = lim 𝑛→∞
𝑛
𝑖=
Aplicações da Integral Cálculo Diferencial e Integral
ou seja
𝑉 = ∫ 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
Exemplo 11.
Calcular o volume obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada pela parábola 𝑦 = 4(𝑥 − 𝑥^2 ) e o eixo x.
𝑉 = 8 𝜋 ∫ 𝑥(𝑥 − 𝑥^2 )
1
0
Observe que para usarmos o processo utilizado no Exemplo 11.4, para calcularmos o volume do exemplo anterior, teríamos de isolar 𝑥 em termos de 𝑦 e considerar uma diferença de volumes.
Exercício 11.
- Calcular os volumes dos sólidos obtidos pela rotação da região dada em torno do eixo indicado: a) Limitada por 𝑦 = √𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 e o eixo x, em torno do eixo x; b) A mesma região do item a), girada em torno do eixo y; c) Limitada por 𝑦 = 𝑥3 2⁄^ , eixo x e a reta 𝑥 = 1, em torno do eixo y; d) Limitada por 𝑦 = 9 − 𝑥^2 , pelo eixo x e pelas retas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2, em torno do eixo y; e) Limitada por 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥^3 em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y.
- Verifique, usando os processos desenvolvidos nesta seção, que o volume da esfera de raio R é igual a (4 3⁄ )𝜋𝑅^3.
Aplicações da Integral Cálculo Diferencial e Integral
Ao fazer 𝑛 → ∞, teremos ∆𝑥𝑖 → 0 e, assim, definimos:
𝑉 = lim 𝑛→∞ ∑ 𝐴(𝑡𝑖)
𝑛
𝑖=
ou seja
𝑏
𝑎
Exemplo 11. Calcular o volume do sólido cuja base é o círculo 𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 𝑟^2 e as seções perpendiculares ao eixo 𝑥 são retângulos de altura 𝑟.
Para cada 𝑥 ∈ [−𝑟, 𝑟] teremos a área da seção expressa por:
𝐴(𝑥) = 2𝑦𝑟 = 2𝑟√𝑟^2 − 𝑥^2.
Portanto, o volume V do sólido é dado por:
𝑉 = 2𝑟 ∫ √𝑟^2 − 𝑥^2
𝑟
−𝑟
Para resolver a integral, basta fazer a seguinte substituição:
𝑥 𝑟
e, como resultado teremos 𝑉 = 𝜋𝑟^3.
Exercício 11.
- Calcule o volume do sólido cuja base é o círculo 𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 𝑟^2 e as seções
perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles retângulos.
- Calcule o volume do sólido que tem por base a elipse de eixos 10 e 8, sabendo-se
que as seções perpendiculares ao eixo maior são quadrados.
- Calcule o volume do sólido cuja base é o triângulo determinado pelo eixo x, eixo y
e a reta 𝑥 + 𝑦 = 1 e cujas seções transversais ao eixo x são triângulos equiláteros.
Cálculo Diferencial e Integral Aplicações da Integral
- Mostre que a fórmula para se calcular o volume de revolução:
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓^2 (𝑥)
𝑏
𝑎
pode ser obtida pelo método desta seção.
Exercício 11.
- Use os métodos expostos neste capítulo para resolver as questões a seguir. a) Mostre que o volume do cone de altura H e raio da base R é (1 3⁄ )𝜋𝑅^2 𝐻. b) Mostre que o volume do elipsoide de revolução
𝑥^2 𝑎^2
𝑦^2
𝑏^2
𝑧^2
𝑏^2
é dado por (4 3⁄ )𝜋𝑎𝑏^2. c) Mostre que o volume da pirâmide reta de base quadrada de lados a e altura h é dado por
𝑉 =
𝑎^2 ℎ.
d) Mostre que o volume da pirâmide reta de base quadrada com aresta a e altura h é dado por
𝑉 =
ℎ(𝑎^2 − ℎ^2 ).
- Calcule o volume dos sólidos descritos a seguir.
a) Sólido obtido pela rotação da região limitada pelo 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e pela parábola 𝑦 = 𝑥^2 − 4𝑥, primeiro em torno do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e, depois, em torno do eixo y. b)Sólido cuja base é o círculo 𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 1 e as seções transversais ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 são triângulos equiláteros. c) Sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥, pelo 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e pela reta 𝑥 = 𝑒. d)Sólido obtido pela rotação em torno do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 da região limitada por 𝑦 = 𝑥^2 , 𝑦 = 𝑥^2 − 4𝑥 + 4 𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥.
e) Sólido obtido pela rotação da região limitada pelo eixo y , por 𝑦 = √𝑥 e pela reta 𝑦 = 1, primeiramente, em torno do eixo y e, depois, em torno do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥.
