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An´alise Matem´atica 3 D

Apontamentos de

An´alise Complexa

Filipe Oliveira, 2011

Conte´udo

1 N´umeros complexos

1.1 Introdu¸c˜ao: um pequeno c´alculo hist´orico

Consideremos a equa¸c˜ao polinomial do terceiro grau

x^3 = 15x + 4.

O m´etodo de Cardano-Tartaglia para a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes c´ubicas consiste em procurar ra´ızes sob a forma x = u + v :

x^3 = u^3 + 3u^2 v + 3uv^2 + v^3 = 3 uv(u + v) + u^3 + v^3 = 3 uvx + u^3 + v^3.

Desta forma reduz-se o problema `a condi¸c˜ao suficiente { 3 uv = 15 u^3 + v^3 = 4,

ou seja, (^)    

v =

u (u 6 = 0)

u^3 +

u^3

Assim, podemos deduzir de uma eventual ra´ız do polin´omio do segundo grau

P (X) = X^2 − 4 X + 125 (X = u^3 )

uma ra´ız da equa¸c˜ao c´ubica inicial.

Prosseguindo, obtemos

(u^3 )^2 − 4(u^3 ) + 125 = 0 (u^3 − 2)^2 = − 121 (u^3 − 2)^2 = − 112

pelo que este m´etodo n˜ao ´e aplic´avel, visto que esta equa¸c˜ao n˜ao possui solu¸c˜oes. E a esta´ conclus˜ao que chega Cardano na sua obra Ars Magna, publicada em 1545.

No entanto, cerca de vinte anos mais tarde, Rafael Bombelli levou os c´alculos um pouco mais longe. Escreveu

u^3 − 2 = 11

u^3 = 2 + 11

e visto que v^3 + u^3 = 4, (^) { u^3 = 2 + 11

v^3 = 2 − 11

o que aparentemente n˜ao faz qualquer sentido. Continuando,

(2 +

−1)^3 = 2^3 + 3 × 2(

−1)^2 + 3 × 22

−1)^3 = 8 − 6 + 11

−1 = u^3.

Da mesma forma (2 −

−1)^3 = 2 − 11

−1 = v^3 ,

pelo que (^) { u = 2 +

v = 2 −

x = u + v = 4 +

E de facto x = 4 ´e solu¸c˜ao do problema inicial:

43 = 15 × 4 + 4.

N˜ao ´e uma coincidˆencia. Existe uma estrutura muito rica por detr´as deste c´alculo, estrutura essa que iremos formalizar correctamente nos pr´oximos cap´ıtulos.

1.2 O corpo dos n´umeros complexos

Antes de definir o conjunto dos n´umeros complexos, vamos passar em revista algumas pro- priedades alg´ebricas de R^2.

A soma usual de dois elementos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) de R^2 ,

(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ),

possui as seguintes propriedades:

1. A opera¸c˜ao ´e interna: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R^2 ,

(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) ∈ R^2.

2. A opera¸c˜ao ´e associativa: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) ∈ R^2 ,

((x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 )) + (x 3 , y 3 ) = (x 1 , y 1 ) + ((x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )).

isto ´e, x 1 x 2 = y 1 y 2 ∧ x 1 y 2 = −x 2 y 1.

Vamos supor que (x 1 , y 1 ) 6 = 0 e mostrar que ent˜ao se tem obrigatoriamente (x 2 , y 2 ) = 0.

• Se x 1 6 = 0, deduzimos da primeira equa¸c˜ao que x 2 =

y 1 y 2 x 1 , e substituindo na segunda igualdade vem x^21 y 2 = −y^21 y 2 , ou seja y 2 (x^21 + y 12 ) = 0. Assim, y 2 = 0. Da primeira equa¸c˜ao retira-se ent˜ao que x 2 = 0, ou seja (x 2 , y 2 ) = (0, 0) = 0.

• Se x 1 = 0 tem-se y 1 6 = 0. Um racioc´ınio em tudo an´alogo ao do ponto anterior permite concluir uma vez mais que (x 2 , y 2 ) = 0

Trata-se apenas de um exemplo. Na verdade, a multiplica¸c˜ao × goza de todas as propriedades que poder´ıamos esperar (deixamos as provas em exerc´ıcio):

1. × ´e associativa: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) ∈ R^2 ,

(x 1 , y 1 ) × ((x 2 , y 2 ) × (x 3 , y 3 )) = ((x 1 , y 1 ) × (x 2 , y 2 )) × (x 3 , y 3 ).

2. × ´e comutativa: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R^2 ,

(x 1 , y 1 ) × (x 2 , y 2 ) = (x 2 , y 2 ) × (x 1 , y 1 ).

3. × possui elemento neutro 1 := (1, 0):

∀(x, y) ∈ R^2 , (x, y) × 1 = (x, y) × (1, 0) = (x, y).

4. Todos os elementos de R^2 n˜ao nulos possuem elemento inverso, isto ´e,

∀(x, y) ∈ R^2 \ {(0, 0)}, ∃(x, y)−^1 ∈ R^2 , (x, y) × (x, y)−^1 = 1.

Basta tomar (x, y)−^1 =

x x^2 + y^2

y x^2 + y^2

5. × ´e distributiva relativamente `a soma +: ∀(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) ∈ R^2 ,

(x 1 , y 1 ) × ((x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )) = (x 1 , y 1 ) × (x 2 , y 2 ) + (x 1 , y 1 ) × (x 3 , y 3 ).

Por verificar estas cinco propriedades, diz-se que (R^2 , +, ×) ´e um corpo.

Defini¸c˜ao 1.2.1 O conjunto R^2 munido da soma usual + e do produto (1.1) ´e dito o corpo dos n´umeros complexos. Denotaremos C = (R^2 , +, ×).

Observemos agora algumas propriedades dos n´umeros complexos da forma (x, 0), x ∈ R. Temos, para x 1 , x 2 ∈ R, (x 1 , 0) + (x 2 , 0) = (x 1 + x 2 , 0)

e (x 1 , 0) × (x 2 , 0) = (x 1 x 2 , 0).

Tamb´em, de um ponto de vista da estrutura de espa¸co vectorial de R^2 , a multiplica¸c˜ao por (x, 0) n˜ao se distingue da multiplica¸c˜ao pelo escalar x:

(x, 0) × (x 1 , y 1 ) = (xx 1 , xy 1 ) = x.(x 1 , y 1 ).

Por estas raz˜oes, podemos identificar o conjunto

{(x, 0) ∈ C : x ∈ R}

`a recta real R. Assim, denotaremos (x, 0) simplesmente x. Em particular, os elementos neutros da soma e da multiplica¸c˜ao, 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0), ser˜ao denotados 0 e 1 respectivamente. N˜ao existindo diferen¸ca, para n´umeros reais, entre o produto usual e a multiplica¸c˜ao (1.1), denotare- mos estas duas opera¸c˜oes da mesma forma.

Quanto ao complexo (0, 1), observe-se que

(0, 1)^2 = (0, 1) × (0, 1) = (− 1 , 0) = − 1.

Defini¸c˜ao 1.2.2 O n´umero complexo i = (0, 1) ´e dito n´umero imagin´ario. Tem-se i^2 = − 1.

Com esta defini¸c˜ao, observe-se que dado um qualquer n´umero complexo (x, y),

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + y(0, 1) = x + iy.

Assim,

Todo o n´umero complexo z ∈ C admite uma representa¸c˜ao ´unica sob a forma z = x + iy, x, y ∈ R.

Escreveremos de agora em diante C = {z = x + iy : x, y ∈ R}. Esta nota¸c˜ao sugere ainda a seguinte defini¸c˜ao:

2. z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ;
3. z 1 + 0 = z 1 ;
4. z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 ;
5. z 1 z 2 = z 2 z 1 ;
6. zz−^1 = z−^1 z = 1, onde, se z = x + iy 6 = 0, z−^1 =

x^2 + y^2

(x − iy).

7. z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3.

1.2.1 Complexo conjugado e m´odulo

Defini¸c˜ao 1.2.4 Seja z = x + iy ∈ C um n´umero complexo. Define-se o complexo conju- gado de z por z = x − iy, ou seja, Re(z) = Re(z) e Im(z) = −Im(z).

Temos as seguintes propriedades da conjuga¸c˜ao complexa:

• A conjuga¸c˜ao ´e involutiva, i.e. ∀z ∈ C , z = z.
• A conjuga¸c˜ao verifica as seguintes propriedades:

∀(z 1 , z 2 ) ∈ C^2 , z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ∀(z 1 , z 2 ) ∈ C^2 , z 1 .z 2 = z 1 .z 2

• A igualdade z = z caracteriza os n´umeros reais, i.e.

∀z ∈ C, z = z ⇔ z ∈ R.

Prova : Os dois primeiros pontos s˜ao deixados em exerc´ıcio. Quanto ao ´ultimo ponto, dado z = x + iy ∈ C,

z = z ⇔ x + iy = x − iy ⇔ 2 iy = 0 ⇔ y = Im(z) = 0 ⇔ z ∈ R. 

Desta ´ultima propriedade resulta que para todo z ∈ C, z + z e zz s˜ao n´umeros reais, visto coincidirem com os seus respectivos complexos conjugados:

• z + z = z + z = z + z = z + z
• zz = z. z = z. z = zz.

Mais precisamente, denotando por x e y as partes real e imagin´aria de z respectivamente,

• z + z = x + iy + x − iy = 2x;
• zz = (x + iy)(x − iy) = x^2 − (iy)^2 = x^2 + y^2 ≥ 0.

Obtivemos assim, por um lado, que

Re(z) =

z + z 2

Da mesma forma,

Im(z) = z − z 2 i

Por outro lado, obtivemos que para todo z ∈ C, zz ´e um n´umero real positivo ou nulo. Podemos pois apresentar a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 1.2.5 Seja z = x + iy ∈ C, onde x, y ∈ R.

Define-se o m´odulo de z por |z| =

zz =

x^2 + y^2

Note-se que se z ∈ R, o m´odulo complexo de z coincide com o seu valor absoluto. Note-se ainda que o m´odulo |z| coincide com a norma euclidiana do vector (x, y) de R^2. Assim sendo, as seguintes propriedades s˜ao de prova imediata :

• ∀z ∈ C , |z| = 0 ⇔ z = 0;
• ∀(z 1 , z 2 ) ∈ C^2 , |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |,

Um pequeno c´alculo permite ainda provar que

Propriedade 1.2.7 Seja z ∈ C∗. Ent˜ao z decomp˜oe-se de maneira ´unica sob a forma :

z = ru,

com r ∈ R+^ e u ∈ U.

Prova :

Como z 6 = 0 , z = |z|.

z |z| , ou seja, podemos escolher r = |z| e u =

z |z|

o que nos d´a a existˆencia de uma tal decomposi¸c˜ao.

Quanto `a unicidade, basta reparar que se z = ru = r′u′, com r, r ∈ R+^ e u, u′^ ∈ U, ent˜ao |ru| = |r′u′|. Como tal, |r||u| = |r′||u′| e r = r′. Desta ´ultima igualdade resulta que u = u′. 

1.2.3 Representa¸c˜ao polar dos n´umeros complexos

Seja z ∈ C∗. J´a vimos que z pode ser escrito de maneira ´unica sob a forma :

z = |z|u , u ∈ U. (1.2)

Esta decomposi¸c˜ao dos complexos n˜ao nulos ´e dita decomposi¸c˜ao polar. Determinemos u: Visto que u ∈ U, existe θ ∈ R tal que u = cos(θ) + i sin(θ).

Escrevendo x = Re(z) e y = Im(z), obt´em-se, tomando as partes real e imagin´aria de (1.2),

cos(θ) =

x √ x^2 + y^2

e sin(θ) =

y √ x^2 + y^2

Este pequeno c´alculo leva-nos `a seguinte defini¸c˜ao :

Defini¸c˜ao 1.2.8 Seja z ∈ C∗, z = x + iy, x, y ∈ R.

Ent˜ao, θ ∈ R ´e dito um argumento de z se verificar

cos(θ) =

x √ x^2 + y^2

e sin(θ) =

y √ x^2 + y^2

ou seja z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)).

O argumento de um n´umero complexo n˜ao nulo ´e obviamente ´unico a menos de um m´ultiplo inteiro de 2π. E habitual privilegiar-se um argumento da seguinte forma:´

Defini¸c˜ao 1.2.9 Seja z ∈ C∗, z = x + iy, z, y ∈ R. O ´unico real θ 0 ∈] − π; π] que verifica

cos(θ 0 ) =

x √ x^2 + y^2

, sin(θ 0 ) =

y √ x^2 + y^2

´e dito Argumento Principal de z, e ´e denotado

θ 0 = Arg(z).

O conjunto de todos os argumentos de z ´e ent˜ao dado por

arg(z) = {θ = Arg(z) + 2kπ : k ∈ Z}.

Propriedade 1.2.10 Sejam z, z′^ ∈ C∗. Ent˜ao

z = z′^ ⇔ |z| = |z′| e Arg(z) = Arg(z′).

Este resultado ´e uma consequˆencia imediata da unicidade de decomposi¸c˜ao polar e da defini¸c˜ao de Arg(z). 

Observemos agora a seguinte propriedade fundamental:

Propriedade 1.2.11 Seja θ ∈ R um argumento de z ∈ C∗^ e θ′^ ∈ R um argumento de z′^ ∈ C∗. Ent˜ao θ + θ′^ ´e um argumento de zz′.

Prova:

Por defini¸c˜ao, z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)) e z′^ = |z′|(cos(θ′) + i sin(θ′)).

Logo,

zz′^ = |z||z′|(cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ′) + i sin(θ′)) = |zz′|(cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ′) + i sin(θ′)).

Por outro lado,

(cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ′) + i sin(θ′)) = cos(θ) cos(θ′) − sin(θ) sin(θ′) +i(cos(θ) sin(θ′) + cos(θ′) sin(θ)) = cos(θ + θ′) + isin(θ + θ′),

z = |z|eiθ, θ ∈ arg(z).

Finalmente,

Propriedade 1.2.13 Sejam θ, φ ∈ R. Ent˜ao

eiθ^ = eiφ^ ⇔ ∃k ∈ Z, θ = φ + 2kπ.

Prova:

De facto, θ e φ partilham o mesmo co-seno e o mesmo seno, pelo que diferem de um m´ultiplo de 2π. 

Torna-se muito f´acil, com este formalismo, compreender geometricamente a multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos. Escrevendo em forma polar

z 1 = |z 1 |eiθ^1 e z 2 = |z 2 |eiθ^2 ,

tem-se z = z 1 z 2 = |z 1 ||z 2 |ei(θ^1 +θ^2 ),

ou seja, o m´odulo de z ´e igual ao produto dos m´odulos de z 1 e z 2 e obt´em-se um argumento de z somando argumentos de z 1 e de z 2.

Note-se ainda que podemos dar um resultado um pouco mais preciso do que as Propriedades 1.2.11 e 1.2.12:

Corol´ario 1.2.14 Sejam z e z′^ dois complexos n˜ao nulos. Ent˜ao

1. arg(zz′) = arg(z) + arg(z′);
2. arg

z

= −arg(z);

3. arg

( (^) z z′

= arg(z) − arg(z′).

Aqui, arg(z) + arg(z′) = {θ + θ′^ ∈ R : θ ∈ arg(z) ∧ θ′^ ∈ arg(z′)} e −arg(z) = {−θ ∈ R : θ ∈ arg(z)}.

Prova:

1. Pela Propriedade 1.2.11, arg(z) + arg(z′) ⊂ arg(zz′). Inversamente, seja φ ∈ arg(zz′), com z = |z|eiθ^ e z′^ = |z′|eiθ′. Tem-se

zz′^ = |zz′|eiφ^ = |zz′|ei(θ+θ ′) .

Pela Propriedade 1.2.13, φ = θ + θ′^ + 2kπ = θ + (θ′^ + 2kπ) ∈ arg(z) + arg(z′).

2. Pela Propriedade 1.2.12, −arg(z) ⊂ arg

z

Inversamente, seja φ ∈ arg

z

. Por defini¸c˜ao,

z

z

∣ e

iφ,

ou seja z = |z|e−iφ: tem-se portanto −φ ∈ arg(z), de onde resulta que φ ∈ −arg(z).

3. Basta observar que arg

( (^) z z′

= arg(z) + arg

z′

= arg(z) − arg(z′) pelas propriedades anteriores. 

1.2.4 Aplica¸c˜ao : Ra´ızes n-´esimas da unidade

Em R, a equa¸c˜ao xn^ = 1

possui uma (x = 1) ou duas (x = ±1) solu¸c˜oes consoante o n´umero inteiro n ´e ´ımpar ou par.

Em C, existem sempre n solu¸c˜oes distintas:

Teorema 1.2.15 O conjunto das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao

zn^ = 1 (1.3) ´e dado por S = {z 00 , z^10 ,... , z 0 n −^1 },

onde z 0 = e (^2) nπ i .

Prova :

Vamos procurar z sob forma polar z = |z|eiθ^ :

cos^2 (θ) =

1 + cos(2θ) 2 e sin^2 (θ) =

1 − cos(2θ) 2

De forma mais sistem´atica, podemos “linearizar” express˜oes trigonom´etricas, o que ´e particu- larmente ´util, por exemplo, na primitiva¸c˜ao de certos polin´omios trigonom´etricos. Por exemplo, para calcularmos a primitiva (^) ∫

cos^4 (x)dx,

observemos que

cos^4 (x) =

eix^ + e−ix 2

(ei^4 x^ + 4e^3 ixe−ix^ + 6e^2 ixe−^2 ix^ + 4e−^3 ixeix^ + e−^4 ix)

cos(4x) +

cos(2x) +

pelo que (^) ∫

cos^4 (x)dx =

sin(4x) +

sin(2x) +

x + c, c ∈ R.

1.2.6 Aplica¸c˜ao: ra´ızes de polin´omios do segundo grau

Consideremos a equa¸c˜ao do segundo grau

ax^2 + bx + c = 0 (1.5)

onde a, b, c ∈ R, a 6 = 0. Esta equa¸c˜ao ´e equivalente a

x^2 +

b a x +

c a

Completando o quadrado, (^) (

x + b 2 a

b^2 4 a^2

c a

ou seja, (^) (

x + b 2 a

b^2 − 4 ac 4 a^2

Encontramos assim um resultado j´a conhecido:

• Se ∆ = b^2 − 4 ac > 0, a equa¸c˜ao (1.5) possui duas ra´ızes reais.

x = −b ±

b^2 − 4 ac 2 a

• Se ∆ = b^2 − 4 ac = 0, a equa¸c˜ao (1.5) possui uma ´unica ra´ız

x = −

b 2 a

• Se ∆ = b^2 − 4 ac < 0, a equa¸c˜ao n˜ao possui obviamente solu¸c˜oes reais. No entanto, observando que (i

|∆|)^2 = ∆, (1.5) ´e equivalente a ( x +

b 2 a

i

2 a

ou seja, (^) (

x + b 2 a

• i

2 a

x + b 2 a

− i

2 a

Como C n˜ao possui divisores de zero, obtemos as duas ra´ızes complexas conjugadas

x = −b ± i

|b^2 − 4 ac| 2 a

1.2.7 Topologia de C.

Defini¸c˜ao 1.2.16 Dados dois n´umeros complexos z 1 , z 2 , definimos a distˆancia de entre z 1 e z 2 por d(z 1 , z 2 ) = |z 2 − z 1 |.

Esta distˆancia verifica os trˆes axiomas:

1. ∀z 1 , z 2 ∈ C, d(z 1 , z 2 ) = 0 ⇔ z 1 = z 2.
2. ∀z 1 , z 2 ∈ C, d(z 1 , z 2 ) = d(z 2 , z 1 ) (simetria) ;
3. ∀z 1 , z 2 , z 3 ∈ C, d(z 1 , z 2 ) ≤ d(z 1 , z 3 ) + d(z 3 , z 2 ) (desigualdade triangular).

Tomando z 1 = x 1 + iy 1 e z 1 = x 2 + iy 2 ,

d(z 1 , z 2 ) = |z 2 − z 1 | =

(x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2 = dE ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )).

Assim, munido desta distˆancia, C identifica-se ao plano euclidiano (R^2 , dE ), via a isometria (ver defini¸c˜ao no in´ıcio do cap´ıtulo seguinte) { θ : (C, d) → (R^2 , dE ) z → (Re(z), Im(z))

D´a-se o nome de plano complexo ou plano de Argand ao conjunto C munido da distˆancia d. Pela isometria existente entre o plano de Argand e o plano real, podemos “importar” todo o vocabul´ario de geometria euclidiana :

• Podemos falar do ponto z para designar o n´umero complexo z.