Apostila Algebra Matlab, Notas de estudo de Computação Aplicada

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MATLAB

Guia de utilização

 

 

  



    
  
  

CONTEÚDO

• Prefácio _____________________________________________________________
• 1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores ________________________________
• 1.1. Operações entre matrizes_____________________________________________
• 1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes _________________________
• 1.3. Algumas propriedades fundamentais de operações entre matrizes _____________
• 1.4. Valores característicos e vetores característicos de matrizes quadradas _________
• 1. Introdução ao Matlab_______________________________________________
• 2.1. Utilizando strings__________________________________________________
• 1. Utilizando funções matemáticas elementares____________________________
• 1. Trabalhando com vetores e matrizes __________________________________
• 4.1. Construindo vetores________________________________________________
• 4.3. Construindo matrizes_______________________________________________
• 4.4. Manipulando vetores e matrizes ______________________________________
• 4.5. Comparando vetores e matrizes_______________________________________
• 4.6. Realizando operações matriciais ______________________________________
• 4.7. Utilizando matrizes especiais ________________________________________
• 4.8. Ordenando matrizes________________________________________________
• 4.9. Utilizando matrizes multidimensionais _________________________________
• 4.10. Utilizando listas __________________________________________________
• 4.11. Utilizando estruturas ______________________________________________
• 4.12. Utilizando matrizes esparsas ________________________________________
• 1. Analisando dados __________________________________________________
• 1. Trabalhando com polinômios ________________________________________
• 1. Confeccionando gráficos ____________________________________________
• 7.1. Gráficos bidimensionais ____________________________________________
• 7.2. Gráficos tridimensionais ____________________________________________
• 1. Trabalhando com tempo ____________________________________________
• 1. Obtendo modelos empíricos__________________________________________
• 9.1. Regressão linear___________________________________________________
• 1. Iniciando um programa ____________________________________________
• 1. Utilizando comandos de fluxo e operadores lógicos _____________________
• 11.1. Utilizando a função for ___________________________________________
• 11.2. Utilizando a função while_________________________________________
• 11.3. Utilizando a função if-else-end _________________________________
• 1. Resolvendo um sistema de equações algébricas_________________________
• 1. Resolvendo um sistema de equações diferenciais _______________________
• 1. Como saber mais sobre o MATLAB?_________________________________
• 1. Exercícios resolvidos ______________________________________________
• Exercícios___________________________________________________________

1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores

Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores constituem a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em termos matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura técnica. Como visa-se neste capítulo apresentar os conceitos básicos deste assunto especialmente relacionados com aplicações em Engenharia de Processos, os elementos de matrizes e vetores serão em princípio números ou variáveis reais a não ser quando explicitamente especificados como complexos. Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, mxn, sendo

representada como A (letras maiúsculas em negrito) pertencente a
mxn, isto é:

A ∈
mxn. O elemento da linha i e coluna j de A é representado por aij (correspondente

letra minúscula com o sub-índice ij ) ou ( A )ij. A matriz completa é geralmente escrita na

forma: A =

m1 m2 mn

21 22 2n

11 12 1n

a a a

a a a

a a a

, ou em forma mais compacta por A = (aij ), com

i=1,...,m e j =1,...,n. Se duas matrizes A e B apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas são ditas do mesmo tipo. Se A = (aij ) é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é representada por 0. Se n=m a matriz A é dita quadrada. Se n=m e aij = aji para i,j =1,...,n a matriz quadrada A é dita simétrica.

Exemplo: M =

note que a matriz simétrica M tem sua própria imagem refletida através da diagonal principal.

Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula

em negrito) e representado por: v =

m

2

1

v

v

v

 ∈^

m.

Se m=1 tem-se um vetor linha designado por v T^ (letra minúscula em negrito com o

sobre-índice T de transposto) e representada por: v T^ = (v 1 v 2 v 3 ... vn) ∈
1xn.

Se m=n=1 tem-se um escalar (real)
(letra minúscula grega), ou seja:
∈
.

A matriz A ∈
mxn^ pode ser parcionada por:

a) colunas na forma:

A = ( a 1 a 2  an)onde aj =

mj

2j

1j

a

a

a

 ∈^

m (^) para j=1,...,n são os n vetores colunas da

matriz A ; b) linhas na forma:

A =

Tm

T 2 1 T

a

a

a

onde aTi = ( a (^) i1 ai2
ain)∈
1xn, para i=1,...,m são os m vetores linhas

da matriz A.

1.1. Operações entre matrizes

As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo tipo, assim se A e B são matrizes ( m x n ) então a matriz C , também ( m x n ), soma ou subtração de A com B, representada por C = A ± B , tem como termo geral : cij = aij ± bij para i = 1, ... , m e j = 1, ... , n. Se
é um escalar qualquer, a matriz
A é uma matriz cujo termo geral é
aij.

A operação de multiplicação de matrizes A ⋅⋅⋅⋅ B só é definida se o número de colunas de A

(primeira parcela do produto) for igual ao número de linhas de B (segunda parcela do produto). Assim, temos: C=A ⋅⋅⋅⋅ B , onde A é ( m,n ) , B é ( n,p ) e C é ( m,p ) que apresenta como termo geral:

As matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elementos sob (ou sobre) a diagonal nulos, podendo assumir as seguintes classificações: matriz triangular superior ou matriz U , com U ij =0 se i>j matriz triangular inferior ou matriz L , com L ij =0 se j>i

Exemplo: U =

Exemplo: L =

Matriz U é triangular superior Matriz L é triangular inferior

O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é:

= =

n i 1 ii

tr ( A ) a

Uma matriz quadrada A pode receber as seguintes classificações quando inserida em

uma forma quadrática como se segue: f( x ) = xT  A 

1- P ositiva definida se xT  A  > 0 para todo vetor x
0 (isto é, não nulo). 2- Positiva semidefinida se xT  A   0 para todo vetor x. 3- Negativa definida se xT  A  < 0 para todo vetor x
0. 4- Negativa semidefinida se xT  A   0 para todo vetor x. 5- Indefinida se xT  A  assume tanto valores positivos quanto negativos.

O determinante de uma matriz A é um escalar obtido através da soma de todos os produtos possíveis envolvendo um elemento de cada linha e cada coluna da matriz, com o sinal positivo ou negativo conforme o número de permutações dos índices seja par ou ímpar. Sua obtenção e sua representação, apesar de ser um dos conceitos mais preliminares envolvendo matrizes, não são tarefas triviais e o conceito de determinante será utilizado nestas notas apenas como base de outras propriedades de matrizes quadradas. Assim, o determinante de A designado por det( A ) pode ser representado

por: det( A ) = (^) ±a1,i 1 ⋅a2,i 2 ⋅⋅⋅⋅⋅an,in ou então através do conceito de cofator do

elemento ij da matriz A (representado por Aij) que é o determinante da matriz obtida cancelando a linha i e a coluna j da matriz A com o sinal mais ou menos conforme i+j seja par ou ímpar, assim:

A ij = (− 1 )i+j⋅det(Λij )

onde Λij representa a matriz quadrada (n-1, n-1) obtida pela eliminação da linha i e a coluna j de A. Tem-se então:

= = ⋅

n j 1 ij^ ij

det( A ) a A

Na prática, entretanto é praticamente impossível calcular o determinante de matrizes através destas regras gerais por envolver um número muito grande de termos (na realidade n!, assim mesmo com matrizes relativamente pequenas como com n=10 tem- se 3 milhões de termos). Felizmente, para os nossos propósitos, apenas as regras a seguir serão suficientes: 1- O determinante de uma matriz A mantém-se inalterado se somarem-se a todos os elementos de qualquer linha (ou coluna) os correspondentes elementos de uma outra linha (ou coluna) multiplicados pela mesma constante
;

2- se aij é o único elemento não nulo da linha i ou da coluna j então: det( A )=aij ⋅Aij

3- A =

c d

a b então: a d b c

c d

det( ) a b = ⋅ − ⋅

A =

Da regra (1)verifica-se que se det( A ) = 0, então A apresenta duas linhas (ou colunas) proporcionais entre si. De uma forma mais geral, pode-se afirmar que uma linha (ou coluna) de A pode ser escrita como combinação linear de alguma(s) linha(s) (ou colunas) da mesma matriz. Da regra (2) demonstra-se que se A for uma matriz triangular então det( A ) é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal. Se det( A ) = 0 diz-se que a matriz A é singular , e caso det( A )  0, então A é dita regular. Se C=A ⋅⋅⋅⋅ B , então det( C )= det( A )⋅⋅⋅⋅det( B ). Se B = A T^ então det( B )= det( A ), isto é det ( A T) = det ( A ).

A matriz adjunta de uma matriz A corresponde à transposta da matriz obtida substituindo cada elemento da matriz A pelo seu correspondente cofator, isto é, se à é a matriz adjunta de A então o elemento da linha i e coluna j de à é A ji. A propriedade mais importante da matriz adjunta diz respeito ao produto: A ⋅⋅⋅⋅ Ã=à ⋅⋅⋅⋅ A = det( A )⋅⋅⋅⋅ I. Se det( A )0 ( A é regular) define-se a inversa de A como:

A −^1 =det(^1 A )⋅ A ~ que tem como propriedade:

A ⋅⋅⋅⋅ A-1^ = A-1 ⋅⋅⋅⋅ A = I que existe apenas se det( A )  0.

( A −λ I  v = 0 , transformando-se assim em um sistema linear e homogêneo de

equações que apresenta solução apenas se a matriz ( A −λ I  for singular, isto é:

det ( A −λ I  =

n1 n2 nn

21 22 2n

11 12 1n

a a a

a a a

a a a

=p(λ)=0, que é o polinômio de grau n em

λ chamado de polinômio característico de A , cujas n raízes são os valores característicos ou autovalores de A. Verifica-se, pela expansão deste determinante, que o único termo de grau n e ( n-1 ) em λ

é o correspondente ao produto da diagonal principal de A −λ I , isto é :

(a 11 гλ)(a 22 гλ)(ann гλ) sendo todos os demais termos de grau inferior a ( n- 1), além

disto como p(0)=det( A ) o termo independente de λem p(λ) é det( A ), permirtindo assim concluir que p(λ) = (гλ)n^ +(a 11 + a 22 +...^ + ann) (-λ)n-1^ +...^ +det( A )=

Multiplicando-se membro a membro por (-1)n^ , tem-se: p(λ) = λn^ г (a 11 + a 22 +...^ + ann) λn-1^ +...^ +(-1)n^ det( A )= (note que apesar de ter-se multiplicado membro a membro da expressão por (-1)n, manteve-se a notação p(λ) para designar o polinômio característico, já que o mesmo está igualado a zero sendo assim irrelevante seu sinal). Pela expressão de p(λ) deduz- se que:

(a) λ 1 +λ 2 +...^ +λn = a 11 + a 22 +...^ + ann ou seja: (^) 

n i 1 i^

tr( A )

(b) λ 1 λ 2...^ λn = det( A ) ou seja: det( )

n i 1 i^ ∏λ = A =

(c) como p(λ) = det ( A −λ I    se A for singular tem-se det( A )=0; desta forma

p(0)=det( A )=0, isto é, se A for singular λ=0 é necessariamente valor característico de A.

Exemplo: Encontre todos os autovalores da matriz A =

Calculando p(λ) = det ( A −λ I  

det ( A −λ I  det

3 1 = (3−λ)(3−λ) − 1= λ 2 гλ 

Solução do polinômio: λ=2 e λ=4 (autovalores de A ).

2. Introdução ao Matlab

No MATLAB os nomes das variáveis devem ser palavras únicas, sem a inclusão de espaços e não devem conter acentos. As regras básicas para nomes de variáveis são apresentadas na Tabela 2.1.

Tabela2.1: Regras básicas para nomes de variáveis no MATLAB. As variáveis são sensíveis a letras maiúsculas e minúsculas

Itens, itens e ITENS São entendidas como diferentes variáveis. As variáveis podem possuir até 31 caracteres. Os caracteres além do 31º são ignorados.

Oquevoceachadestenomedevariavel Pode ser usado como nome de variável. O nome da variável deve começar com uma letra, seguida de qualquer número, letra ou sublinhado.

O_que_voce_acha_deste_nome e X podem ser utilizados como nome de variáveis.

Existem algumas variáveis especiais que o MATLAB utiliza que são apresentadas na Tabela 2.2. Se o usuário redefine estas variáveis, o MATLAB passa a atribuir a nova função às mesmas.

Tabela 2.2: Variáveis especiais utilizadas pelo MATLAB Variável Significado Ans (^) Variável padrão usada para resultados. Pi (^) Razão entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro. Eps Precisão relativa da máquina. Inf Infinito NaN nan Não numérico

i j i =j= − 1

Nargin (^) Número de argumentos de entrada de uma função. Nargout (^) Número de argumentos de saída de uma função. Realmin (^) Menor número real positivo utilizável pela máquina. Realmax (^) Maior número real positivo utilizável pela máquina.

Caso o usuário necessite apagar alguma variável da memória do MATLAB, isto pode ser realizado utilizando-se o comando “clear”. Por exemplo: » a=10; » a a = 10 » clear a » a ??? Undefined function or variable 'a'.

Se a necessidade do usuário for de apagar todas as variáveis que estão sendo utilizadas deve-se utilizar o comando “clear all”. Se por outro lado, o usuário deseja a

3. Utilizando funções matemáticas elementares

A Tabela 3.1 apresenta uma listagem das principais funções matemáticas que o MATLAB possui. Vale ressaltar que o MATLAB trabalha apenas com radianos (2π radianos = 360º).

Tabela 3.1: Principais funções matemáticas utilizadas pelo MATLAB. Função Significado acos(x) (^) Arco coseno. acosh(x) (^) Arco coseno hiperbólico. asin(x) (^) Arco seno. asinh(x) (^) Arco seno hiperbólico. atan(x) (^) Arco tangente. atanh(x) (^) Arco tangente hiperbólico. cos(x) (^) Coseno cosh(x) (^) Coseno hiperbólico. exp(x) (^) Exponencial: ex gcd(x,y) (^) Máximo divisor comum entre os inteiros x e y. log(x) (^) Logaritmo natural. log10(x) (^) Logaritmo na base 10. rem(x,y) (^) Resto da divisão de x por y. round(x) (^) Arredondamento para o número inteiro mais próximo. sign(x) (^) Função sinal. Retorna o sinal do argumento x. sin(x) (^) Seno sinh(x) (^) Seno hiperbólico. sqrt(x) (^) Raiz quadrada. tan(x) (^) Tangente tanh(x) (^) Tangente hiperbólica.

4. Trabalhando com vetores e matrizes O MATLAB foi desenvolvido especialmente para trabalhar com representações matriciais. Desta forma, o usuário deve dar preferência para este tipo de representação quanto estiver utilizando o MATLAB, já que isto significa a realização de cálculos com maior eficiência. O MATLAB manipula vetores de uma maneira simples e intuitiva. Considere que se deseja calcular a função y = sen(x) em 0 <x ≤ π. O primeiro passo é criar um vetor com todos os valores de x para os quais se deseja calcular y. Uma vez definido o vetor, calculam-se os valores correspondentes de y. Ou seja: »x=[0 0.1pi 0.2pi 0.3pi 0.4pi 0.5pi 0.6pi 0.7pi .8pi .9*pi pi] x = Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1. Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.

» y=sin(x) y = Columns 1 through 7 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0. Columns 8 through 11 0.8090 0.5878 0.3090 0.

Para se resgatar um determinado elemento do vetor, basta indicar entre parênteses a localização do mesmo. Ou seja:

» x=[0 0.1pi 0.2pi 0.3pi 0.4pi 0.5pi 0.6pi 0.7pi 0.8pi 0.9*pi pi]; » x(1) ans = 0 » x(11) ans =

»

Para ter acesso a blocos de componentes ao mesmo tempo, o MATLAB utiliza a notação de dois pontos. Ou seja:

• componentes de x, do primeiro ao quinto elemento: » x(1:5) ans = 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.
• componentes de x, iniciando do sétimo e indo até o final: » x(7:end) ans = 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3. »
• componentes de x, iniciando do terceiro, contanto regressivamente de um em um e parando no primeiro: » x(3:-1:1) ans = 0.6283 0.3142 0 »

4.1. Construindo vetores

Existem formas para construção de vetores que dispensam a tarefa de digitar termo a termo. São elas:

• cria um vetor que começa em zero e vai até o valor π, incrementado 0,1*π:

Além da forma de transposição vista anteriormente ( ‘ ), o MATLAB tem o recurso de transposição pontuada ( .’). Este comando é interpretado como a transposição sem a operação de conjugação complexa. Isto porque quando um vetor é complexo, o operador de transposição ( ‘ ) nos dá a transposição do complexo conjugado, isto é, o sinal da parte imaginária é mudado como parte da operação de transposição. Já o operador de transposição pontuada ( .’) transpõe o vetor mas não o conjuga. Vale ressaltar que para vetores reais estes operadores são equivalentes. Ou seja:

>> a=(-4)^.5; b=[a a a] b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >> b=[a a a]' b = 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i >> b=[a a a].' b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >>

4.3. Construindo matrizes

Para a construção de matrizes no MATLAB utilizam-se ponto e vírgula para separar os elementos de uma linha da outra:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8] g = 1 2 3 4 5 6 7 8 »

4.4. Manipulando vetores e matrizes

Considerando-se vetores ou matrizes, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão por um escalar simplesmente aplica a operação a todos os elementos do vetor. Ou seja:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » 2*g- ans = 1 3 5 7 9 11 13 15 » g/2+ ans = 1.5000 2.0000 2.5000 3. 3.5000 4.0000 4.5000 5. »

Já as operações entre vetores e/ou matrizes não são tão simples. Quando dois vetores ou matrizes possuem a mesma dimensão, a adição e a subtração são realizadas elemento a elemento pelo MATLAB. Ou seja:

» g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » h=[1 1 1 1; 2 2 2 2]; » g+h ans = 2 3 4 5 7 8 9 10 » g-h ans = 0 1 2 3 3 4 5 6 »

Quando se deseja multiplicar duas matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o símbolo de multiplicação escalar pontuada (.*). O ponto que precede o asterisco, símbolo padrão de multiplicação, diz ao MATLAB para fazer a multiplicação elemento por elemento. A multiplicação sem o ponto significa multiplicação matricial. Ou seja:

» g=[1 2; 5 6]; » h=[1 1; 2 2]; » g.h ans = 1 2 10 12 » gh ans = 5 5 17 17 »

Para a divisão de matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o símbolo de divisão escalar pontuada ./. Novamente o ponto que precede o símbolo padrão de divisão diz ao MATLAB para fazer a divisão elemento por elemento. A divisão sem o ponto significa divisão matricial. Ou seja:

» g=[1 2; 5 6]; » h=[1 8; 2 4]; » g./h ans = 1.0000 0. 2.5000 1. » g/h ans = 0 0. -0.6667 2. »

É possível elevar cada elemento de uma matriz a uma dada potência. Para isto aplica- se o operador .^n, onde n é potência que se deseja aplicar a cada elemento da matriz. Ou seja:

4.6. Realizando operações matriciais

A Tabela 4.6.1 fornece as principais funções matriciais existentes no MATLAB.

Tabela 4.6.1: Principais funções matriciais existentes no MATLAB. Função Significado Exemplo Considere em todos os exemplos: (^)
   

=  3 4 A^12 det(A) (^) Calcula o determinante da matriz A. » det(A) ans =

d=eig(A) » [V,D]=eig(A) Determina os autovalores e autovetores deA.^ »d^ d=eig(A)= -0.

» [V,D]=eig(A) V = -0.8246 -0. 0.5658 -0. D = -0.3723 0 0 5. » inv(A) (^) Calcula a matriz inversa da matriz » inv(A) ans = -2.0000 1. 1.5000 -0. poly(A) » Calcula a equação característica de A.

» poly(A) ans = 1.00 -5.00 -2. » rank(A) (^) Determina o número de linhas e colunas linearmente independentes de A.

» rank(A) ans = 2 svd(A) » Calcula a decomposição em valores singulares.

» svd(A) ans =

»

4.7. Utilizando matrizes especiais

A Tabela 4.7.1 fornece algumas matrizes especiais existentes no MATLAB.

Tabela 4.7.1: Matrizes especiais existentes no MATLAB. Função Significado Exemplo eye (^) Matriz identidade. » eye(3) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 » ones (^) Matriz onde todos os elementos são iguais a 1.

» ones(2) ans = 1 1 1 1 rand » Matriz com elementos aleatórios distribuídos entre 0 e 1.

» rand(2) ans = 0.9501 0.

0.2311 0. » randn (^) Matriz com elementos aleatórios distribuídos que seguem a distribuição normal e têm média zero e variância igual a 1

» rand(3) ans = 0.8913 0.0185 0. 0.7621 0.8214 0. 0.4565 0.4447 0. » zeros (^) Matriz onde todos os elementos são iguais a 0.

» zeros(2) ans = 0 0 0 0 »

4.8. Ordenando matrizes

A ordenação dos elementos de um vetor ou de uma matriz pode ser realizada utilizando o comando “sort”. A utilização deste comando possibilita ainda o armazenamento da localização original dos dados. Assim:

>> a=rand(1,3) a = 0.04389532534714 0.02718512299667 0. >> sort(a) ans = 0.02718512299667 0.04389532534714 0. >> a=rand(4,3) a = 0.01286257467300 0.03533832396916 0. 0.38396728849430 0.61239548137302 0. 0.68311596780460 0.60854036122399 0. 0.09284246174092 0.01575981791975 0. >> [a_ordenado_l,ord]=sort(a(1,:)), % ordena a linha 1 de "a" a_ordenado_l = 0.01286257467300 0.01635493355000 0. ord = 1 3 2 >> [a_ordenado_c,ord]=sort(a(:,2)), % ordena a coluna 2 de "a" a_ordenado_c =

ord = 4 1 3 2

4.9. Utilizando matrizes multidimensionais

Para a utilização de matrizes multidimensionais são necessários 3 índices ao invés dos 2 adotados durante a utilização de matrizes bidimensionais. A Figura 4.8.1 mostra a forma visual de interpretar matrizes multidimensionais.