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APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Professores do Primeiro Semestre de 2011: Debora Farias Ferreira Gomes, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de Figueiredo, Helena Ravache Samy Pereira Schumacher, Maria Bernadete da Silva, Rafael Carlos Vélez Benito, Roberta Briesemeister.
Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler
Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/
Joinville, fevereiro de 2011
1.8. Avaliação (2 h/a)
- Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula)
2.1. De nição e Representação Grá ca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a)
2.2. Limite de Funções de várias Variáveis (2 h/a)
2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (2 h/a)
2.4. Derivadas Parciais e Plano Tangente (1,5 h/a)
2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (0,5 h/a)
2.6. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a)
2.7. Regra da Cadeia (2 h/a)
2.8. Taxas de Variação (1 h/a)
2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a)
2.10. Derivação Implícita (1 h/a)
2.11. Avaliação (2 h/a)
- Integrais Duplas (6 horas aula)
3.1. De nição (1 h/a)
3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a)
3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a)
- Integrais Triplas (12 horas aula)
4.1. De nição e Interpretação Geométrica (2 h/a)
4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a)
4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a)
4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a)
4.6. Avaliação (2 h/a)
- Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula)
5.1. Sequências (2 h/a)
5.2. Séries Numéricas (1 h/a)
ii
5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a)
5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a)
5.5. Critério da Comparação (1 h/a)
5.6. Critério de D'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a)
5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a)
5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a)
5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a)
5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a)
5.11. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (3 h/a)
5.12. Avaliação (2 h/a)
Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos: 1 a^ P rova: referente ao Capítulo 1: nota x 2 a^ P rova: referente ao Capítulo 2: nota y 3 a^ P rova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z 4 a^ P rova: referente ao Capítulo 5: nota w
Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das notas da prova e do trabalho não poderá ultrapassar a 10.
Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das
quatro avaliações, ou seja Média=
x + y + z + w 2
Datas das Avaliações: 1 a^ P rova: 26/03/11 (sábado, entre 9h30min e 12h) 2 a^ P rova: 30/04/11 (sábado, entre 9h30min e 12h) 3 a^ P rova: 28/05/11 (sábado, entre 9h30min e 12h30min) 4 a^ P rova: 27/06/11 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min)
EXAME: 04/07/2011 (segunda-feira, entre 18h e 21h)
Segunda chamada das provas Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliações, deverá entrar com pedido o cial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe. As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina. É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada.
iii
Horário de Monitoria
Monitor: Chrystian Remes
Horário de Atendimento dos Professores
- 07:30 08: Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
- 08:20 09:
- 09:20 10:
- 10:10 11:
- 11:00 11:
- 13:30 14:
- 14:20 15:
- 15:20 16:
- 16:10 17:
- 17:00 17:
- 18:10 19:
- 19:00 19:
- 19:50 20:
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- 1 INTEGRAL DEFINIDA Conteúdo
- 1.1 Introdução
- 1.2 Partição
- 1.3 Soma Superior
- 1.4 Soma Inferior
- 1.5 Função Integrável
- 1.5.9 Teorema do Valor Médio para Integrais
- 1.6 Teorema Fundamental do Cálculo
- 1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)
- 1.7 Integrais Impróprias
- 1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b]
- 1.9 Aplicações da Integral De nida
- 1.9.1 Área em coordenadas retangulares
- 1.9.10 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas
- 1.9.13 Área de um setor curvilíneo em coordenadas polares
- 1.10 Comprimento de Arco
- 1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas
- 1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas
- 1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares
- 1.11 Volume de um Sólido de Revolução
- 1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado
- 1.12 Exercícios Gerais
- 1.13 Respostas
- 1.14 Revisão de Coordenadas Polares no R
- 2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
- 2.1 Introdução
- 2.2 Função de Várias Variáveis
- 2.2.5 Grá co de uma Função de Várias Variáveis
- 2.2.12 Curvas e Superfícies de Nível (Opcional)
- 2.2.14 Distâncias e Bolas no Espaço
- 2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis
- 2.3.9 Propriedades dos Limites
- 2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis
- 2.5 Derivadas Parciais
- 2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais
- 2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior
- 2.7 Extremos de uma Função de duas Variáveis
- 2.7.1 Ponto Crítico
- 2.7.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo
- 2.8 Derivada de uma Função Composta
- 2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação
- 2.10 Diferencias Parciais e Totais
- 2.11 Derivadas de Funções Implícitas
- 2.12 Exercícios Gerais
- 2.13 Respostas
- 3 INTEGRAIS DUPLAS
- 3.1 Introdução
- 3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla
- 3.3 Cálculo da Integral Dupla
- 3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares
- 3.5 Exercícios Gerais
- 3.6 Respostas
- 4 INTEGRAIS TRIPLAS
- 4.1 Introdução
- 4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla
- 4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares
- 4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
- 4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
- 4.6 Exercícios Gerais
- 4.7 Respostas
- 5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES
- 5.1 Introdução
- 5.2 Sequências
- 5.2.3 Limite de uma Sequência
- 5.2.7 Sequências Convergentes
- 5.3 Subsequências
- 5.4 Sequência Limitada
- 5.5 Sequências Numéricas Monótonas
- 5.6 Séries Numéricas
- 5.6.4 Soma de uma Série
- 5.6.7 Séries Convergentes
- 5.7 Condição necessária para Convergência
- 5.8 Séries Especiais
- 5.8.1 Série harmônica
- 5.8.3 Série geométrica
- 5.9 Critérios de Convergência de Séries
- 5.9.1 Critério da integral
- 5.9.4 Série p ou Série Hiper-harmônica
- 5.9.8 Critério da comparação
- 5.9.11 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão
- 5.9.15 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz
- 5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos
- 5.10.3 Convergência de uma série alternada
- 5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer
- 5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes
- 5.13 Séries de Funções
- 5.13.2 Convergência de séries de funções
- 5.14 Séries de Potências
- série de potências 5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência de uma
- 5.14.8 Série de potências centrada em x = a
- 5.14.11 Continuidade da soma de uma Série de Funções.
- 5.14.13 Derivação de uma série de funções contínuas
- 5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências
- 5.16 Séries de Taylor
- 5.17 Série de Maclaurin
- 5.18 Fórmula geral do binômio de Newton
- 5.19 Exercícios Gerais
- 5.20 Respostas
Capítulo 1
INTEGRAL DEFINIDA
Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
- De nir integral inferior e integral superior;
- Calcular o valor da integral de nida por de nição;
- Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;
- Calcular integral de nida por substituição de variáveis;
- Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;
- Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas;
- Calcular volume de um sólido de revolução;
- Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares, paramétricas e po- lares;
- Calcular a superfície de um sólido de revolução;
- Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção, economia entre outras aplicações;
- Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri car se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo nessa apostila.
área da região R representada pela Figura 1.1 e a região formada pelos retângulos da Figura 1.2? A diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividíssemos o intervalo [a, b] em n subintervalos com n = 3, 4 , 5 , 6 , · · ·? A de nição formal de integral de nida envolve a soma de muitos termos pequenos (dife- renciais), com a nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações: usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que vaza de um tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro de um ônibus espacial é possível calcular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se usar a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas, predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre uma represa, potência con- sumida e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de Joinville, etc.
O Cálculo da Área
Primeiramente aproximaremos a área da regiã R delimitada por grá cos de funções por soma de áreas de retângulos inscritos ou circunscritos para então tomarmos o limite das áreas desses retângulos, à medida que se aumenta o número destes, conforme a Figura 1.3.
y
a (^) b (^) x a (^) b x
y
Figura 1.3: Aproximando áreas com n retângulos
E desta forma, a área total desejada será obtida pela soma das áreas retangulares quando suas bases se tornam cada vez menores, isto é, quando ∆x → 0 (ou equivalentemente, quando o número de retângulos se torna cada vez maior, isto é, n → ∞). Você consegue formalizar, matematicamente, este resultado? Para dar início a essa formalização, veremos algumas de nições auxiliares.
1.2 Partição
DEFINIÇÃO 1.2.1 Seja [a, b] um intervalo. Denominamos partição de [a, b] ao conjunto ordenado de pontos P = {x 0 , x 1 , x 2 , ..., xi, ..., xn}
tais que a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xn = b
e que dividem [a, b] em n-subintervalos, a saber,
[x 0 , x 1 ] , [x 1 , x 2 ] , [x 2 , x 3 ] , ..., [xi− 1 , xi] , ..., [xn− 1 , xn] ,
denominados intervalos da partição. Além disso, podemos escrever |[x 0 , x 1 ]| = x 1 − x 0 = ∆x 1 |[x 1 , x 2 ]| = x 2 − x 1 = ∆x 2 |[x 2 , x 3 ]| = x 3 − x 2 = ∆x 3 · · · |[xi− 1 , xi]| = xi − xi− 1 = ∆xi · · · |[xn− 1 , xn]| = xn − xn− 1 = ∆xn.
EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o conjunto de pontos P = { 1 , 2 , 4 , 8 , 12 } é uma partição de [1, 12]. Os intervalos dessa partição são [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12]. Naturalmente, temos 1 = x 0 < 2 = x 1 < 4 = x 2 < 8 = x 3 < 12 = x 4.
DEFINIÇÃO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e considere
P = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xi, · · · , xn} e Q = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , y 0 , · · · , xi, · · · , xn}
duas partições de [a, b]. Dizemos que a partição Q é um re namento da partição P se P ⊂ Q.
EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os conjuntos de pontos
P = { 1 , 2 , 4 , 8 , 12 } e Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 10 , 12 }
são duas partições de [1, 12] com P ⊂ Q. Então Q é um re namento de P.
1.3 Soma Superior
Consideraremos sempre uma função contínua f : [a, b] → R de nida num intervalo fechado [a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b].
DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x 0 , x 1 , x 2 , ..., xi, ..., xn} uma partição de [a, b], com a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xn = b. Seja Mi o valor supremo de f no intervalo [xi− 1 , xi] , onde i = 1, 2 , 3 , · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação à partição P e denotamos por S(f, P ) à expressão:
S(f, P ) = M 1 (x 1 − x 0 ) + M 2 (x 2 − x 1 ) + .. + Mn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
Mi(xi − xi− 1 ). (1.3.1)
EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] → R de nida por f (x) = xsenx. Na Figura 1.4 podemos ver o grá co de uma soma superior referente a uma partição composta por 15 pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos ( pontos), é ilustrada pela Figura 1.5.
Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente distribuídos, a soma superior S(f, P ) vai se aproximando da área sob o grá co de f (x) = x sin x, no intervalo [0, 2].
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.6: Soma Inferior, S(f, P ), P com 15 pontos: A = 1, 642 u.a. y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P ), P com 80 pontos: A = 1, 718 u.a.
1.5 Função Integrável
DEFINIÇÃO 1.5.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada. Dizemos que f é integrável se
lim n→+∞ S(f, P ) = lim n→+∞ S(f, P )
ou seja, se
lim n→+∞
∑^ n
i=
mi(xi − xi− 1 ) = lim n→+∞
∑^ n
i=
Mi(xi − xi− 1 ),
sendo P = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xn} qualquer partição de [a, b].
No caso de uma função integrável, denotaremos a integral de nida de f de a até b por ∫ (^) b
a
f (x) dx = lim n→+∞
∑^ n
i=
f (wi) (xi − xi− 1 ), onde wi ∈ [xi− 1 , xi].
OBSERVAÇÃO 1.5.2 As somas superiores e inferiores acima de nidas são casos particulares
de Somas de Riemann, que são quaisquer expressões da forma S =
∑^ n
i=
f (wi) ∆xi, onde
wi ∈ [xi− 1 , xi] não é necessariamente um máximo ou um mínimo de f em cada subintervalo
da partição considerada, nem ∆xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais. Ainda, como f (x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P ) e S(f, P ) irão repre- sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f ≥ 0) com o negativo das áreas dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f ≤ 0).
OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais de nidas usando a de nição de somas superiores ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 1 + 1 +| {z ... + 1} = k
k vezes
(ii) 1 + 2 + 3 + ... + k =
(1 + k)k 2
(iii) 12 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 =
k (k + 1) (2k + 1) 6
(iv) 13 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 =
k^2 (k + 1)^2 4
(v) 14 + 2^4 + 3^4 + ... + k^4 =
k (k + 1) (6k^3 + 9k^2 + k − 1) 30
EXEMPLO 1.5.4 Usando a de nição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas y = x^2 + 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra a Figura 1.
y
x
Figura 1.8: Soma Superior de f (x) = x^2 + 1 com 10 retângulos
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
n
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = 0, x 1 = ∆x, x 2 = 2∆x, x 3 = 3∆x, ..., xn = n∆x.
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
n
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = 1, x 1 = 1 + ∆x, x 2 = 1 + 2∆x, x 3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x.
Seja mi o ín mo de f (x) = 16 − x^2 no intervalo [xi− 1 , xi]. Como no intervalo [1, 4] a função é decrescente, o mínimo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou seja, mi = f (xi). Assim, a soma inferior de f é dada por
S(f, P ) = m 1 ∆x + m 2 ∆x + m 3 ∆x + .... + mn∆x
= f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + ... + f (xn)∆x = f (1 + ∆x)∆x + f (1 + 2∆x)∆x + f (1 + 3∆x)∆x + ... + f (1 + n∆x)∆x = [16 − (1 + ∆x)^2 + 16 − (1 + 2∆x)^2 + 16 − (1 + 3∆x)^2 + · · · + 16 − (1 + n∆x)^2 ]∆x = 16 n∆x + [1 + 2∆x + (∆x)^2 + 1 + 2 · 2∆x + (2∆x)^2 + 1 + 2 · 3∆x + (3∆x)^2 +
- · · · + 1 + 2 · n∆x + (n∆x)^2 ]∆x = 16 n∆x − n∆x − 2(1 + 2 + 3 + · · · + n)(∆x)^2 − (1^2 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 )(∆x)^3
= 15 n∆x − 2 ·
n(n + 1) 2
· (∆x)^2 −
n(n + 1)(2n + 1) 6
· (∆x)^3
= 15 n ·
n
n^2 + n n^2
2 n^3 + 3n^2 + n 2 n^3 = 45 − 9 −
n
2 n
2 n^2
2 n
2 n^2
Portanto, a área desejada é dada por
∫ (^4)
1
(16 − x^2 )dx = lim n→+∞
2 n
2 n^2
OBSERVAÇÃO 1.5.6 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável. Daqui para frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de funções não contínuas não será objeto de nosso estudo.
Propriedades das Integrais
Se f, g : [a, b] → R são funções integráveis, então são válidas as seguintes propriedades:
i. Se f (x) é uma função constante, i.e., f (x) = c então
∫ (^) b
a
cdx = c(b − a).
ii. Se k é uma constante então
∫ (^) b
a
kf (x) dx = k
∫ (^) b
a
f (x) dx.
iii.
∫ (^) b
a
[f (x) + g (x)]dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx +
∫ (^) b
a
g (x) dx.
iv. Se f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b] então
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤
∫ (^) b
a
g (x) dx.
v. Se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m (b − a) ≤
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤ M (b − a).
vi. Se c ∈ [a, b] então
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) c
a
f (x) dx +
∫ (^) b
c
f (x) dx.
vii. A troca dos limitantes de integração acarreta a mudança no sinal da integral de nida, ou seja, (^) ∫ b
a
f (x) dx = −
∫ (^) a
b
f (x) dx.
viii.
∫ (^) a
a
f (x)dx = 0.
EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f (x) = x^2 − 2 x + 2 no intervalo [− 1 , 2]. A seguir, utilize-as para calcular a área da região situada abaixo do grá co de f e entre as retas y = 0, x = − 1 e x = 2.
Solução: A Figura 1.10 ilustra o grá co da soma superior de f referente a uma partição composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos circunscritos não possuem o mesmo comportamento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [− 1 , 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma superior de f usaremos a Propriedade vi. Tomaremos uma partição para o intervalo [− 1 , 1] e outra para o intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.10: Soma Superior de f (x) = x^2 − 2 x + 2 com 15 retângulos
Soma Superior para o intervalo [− 1 , 1]
Seja P = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [− 1 , 1], de tal forma que todos os subintervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
n
n
e
assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = − 1 , x 1 = −1 + ∆x, x 2 = −1 + 2∆x, x 3 = −1 + 3∆x, · · · , xn = −1 + n∆x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos circunscritos. Seja Mi o supremo de f (x) = x^2 − 2 x + 2 no subintervalo [xi− 1 , xi]. Como neste intervalo a função é decrescente o
