Baixe Apostila - Cônicas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity!
x
y
x
y P(x,y)
y
x
P(x,y,z)
z
x
y
z
CAPÍTULO 8
SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistema de coordenadas é um sistema de referênciamento que permite a localização de um ponto qualquer do espaço. Para se especificar a posição de cada ponto neste espaço é necessário que se defina uma origem e uma orientação. As coordenadas cartesianas são as mais utilizadas, porém, outros sistemas de igual importância são os sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
8.1 – COORDENADAS RETANGULARES
É o sistema de coordenadas, já estudado, composto pelos eixos coordenados x, y e z.
a) no espaço bidimensional (plano):
b) no espaço tridimensional:
8.2 – COORDENADAS POLARES
O sistemas de coordenadas polares marca a posição de um ponto em um plano. Além disso, certas curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado. Nas coordenadas polares as três cônicas estudadas: parábola, elipse e hipérbole, têm uma equação. No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e ordenada que são as medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo relativo a um ponto fixo e a um eixo fixo. O ponto fixo é chamado de pólo (ou origem), sendo designado pela letra O. O eixo fixo é chamado de eixo polar (ou reta polar) e será designado por OA ou eixo de 0o. O eixo OA é, normalmente colocado na horizontal, orientado para a direita e se estende indefinidamente.
O
A
P(r, θ)
Seja P um ponto qualquer do plano, distinto de O. Seja θ a medida do ângulo AOP, positiva quando considerada no sentido anti-horário e negativa quando no sentido horário, tendo como lado inicial OA e como lado final OP. Então, se r for a distância não orientada de
O a P (isto é , r = OP), o conjunto de coordenadas polares de P será dado por r e θ, e
escrevemos essas coordenadas como (r, θ).
Exemplo 1: Represente graficamente cada um dos seguintes pontos em coordenadas polares:
a) ( 2 , 45 o) b) ( 5 , 90 o) c) ( 1 , 120 o) d) ( 3 , 210 o) e) ( 4 , − 60 o) f) (^)
(^) ,− 180 o 2
Solução:
a) b) e)
Exemplo 2: Um dado ponto tem um número ilimitado de conjuntos de coordenadas polares.
Basta lembrarmos da trigonometria e veremos que o ponto P ( 5 , 30 o)é o mesmo que o ponto
P ( 5 , 390 o), P ( 5 ,− 330 o), P (− 5 , 210 o)ou P (− 5 ,− 150 o).
Exemplo 3: Se r = 0 e θ é qualquer número real, temos a origem, que é designada por (0, θ).
Exercícios: Marque num gráfico o ponto com coordenadas polares ( 3 , − 120 o). Ache outro
conjunto de coordenadas polares desse ponto para as quais:
a) r < 0 e θ > 0 o^ b) r > 0 e θ > 0 o^ c) r < 0 e θ < 0o
O
P ( 5 , 90 o)
90 o P ( 4 ,− 60 o)
− 60 o
O
O 0
o
P( 2 , 45 o )
45 o
0 o
θ <
0
r 0
P ( 5 ,− 330 o)
0 o
30 o
θ >
< 0
r 0
P ( 5 , 30 o) 0 o 210 o
θ >
< 0
r 0
P (− 5 , 210 o)
0 o
θ <
< 0
r 0
P (−^5 ,− 150 o)
z P(r, θ, z)
θ^ r
z
Exemplo 6: Ache (r, θ) se r > 0 e 0o^ < θ < 360o^ para o ponto cuja representação cartesiana é
(− 3 ,− 1 ).
Solução: Verificamos no gráfico o ponto (− 3 ,− 1 )
Como r > 0, temos r= x^2 +y^2 = 3 + 1 = 2
Como 3
x
y
tg θ
Considerando que 180 o^ < θ < 270o^ ⇒ θ= 210 o portanto o ponto é ( 2 , 210 o)
Exemplo 7: Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é x^2 + y^2 − 4 x= 0
Solução: substituindox = r⋅cos θ e y=r⋅sen θ na equação dada temos:
logo r 4 rcos 0 r(r 4 cos ) 0 , assim:r 0 ou r 4 cos 0
r cos r sen 4 r cos 0 r (sen cos ) 4 r cos 0
2
2 2 2 2 2 2 2
− θ= ∴ − θ = = − θ =
⋅ θ+ ⋅ θ− ⋅ θ= ⇒ θ+ θ − ⋅ θ=
O gráfico de r = 0 é a origem, contudo, ele é um ponto do gráfico de r − 4 cosθ= 0 ,
pois, r = 0 quando θ = 90 o.
Logo, a equação polar do gráfico é r = 4 cosθ.
8.3 – COORDENADAS CILÍNDRICAS
A representação das coordenadas cilíndricas de um ponto P é (r, θ, z), onde r e θ são as coordenadas polares da projeção de P em um plano polar e z é a distância orientada desse plano polar até P.
x
y
− 3
r
Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes equações onde c é uma constante:
a) r = c b) θ = c c) z = c
Solução:
a) Para um ponto P (r, θ, z) do gráfico de r = c, θ e z podem assumir quais quer valores e r é uma constante. O gráfico é um cilindro circular reto, tendo c^ como raio e z como seu eixo.
b) Para todos os pontos P (r, θ, z) do gráfico de θ = c, r e z podem assumir qualquer valor, enquanto que θ permanece constante. O gráfico é um plano que passa pelo eixo z.
c) O gráfico de z = c é um plano paralelo ao plano polar e a uma distância orientada de c unidades.
O nome coordenadas cilíndricas vem do fato de que o gráfico de r = c é um cilindro circular reto, como foi mostrado no exemplo acima. Coordenadas cilíndricas são usadas em um problema físico quando há um eixo de simetria.
x
y
z
θ = c
c
x
y
z
r = c
x
y
z
z = c
8.4 – COORDENADAS ESFÉRICAS
Num sistema de coordenadas esféricas há um plano polar e um eixo perpendicular ao
plano polar (eixo z ou φ = 0 o), com a origem deste eixo na origem do plano polar. Um ponto é
localizado por três números e a representação deste ponto P em coordenads esférica é
P^ ( ρ^ ,θ,φ), onde ρ =OP, θ é a medida do ângulo polar da projeção de P sobre o plano polar e
φ é a medida do menor ângulo medido entre o lado positivo do eixo z e a semi-reta OP. A
origem tem como representação com coordenadas esféricas (^) ( 0 ,θ, φ),onde (^) θ e φpodem ser
qualquer valor.
Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes equações, onde c é uma constante:
a) ρ = c e c> 0 b) θ =c c) φ=c e 0 <c< 180 o
Solução:
a) Todo ponto P ( ρ ,θ,φ)do gráfico de ρ=c tem o mesmo valor de ρ , θ pode ser qualquer número, e 0 ≤ φ≤ 180 o. Segue que o gráfico é uma esfera de raio c e centro na origem.
b) Para qualquer ponto P (ρ ,θ,φ)no gráfico de θ =c, ρ pode ser qualquer número não-negativo e φ qualquer número no intervalo fechado [ 0 , π], e θ é constante. O gráfico é um semi-plano contendo o
eixo z e é obtido girando o semi-plano x ≥ 0 do
plano xz de um ângulo de c radianos ou graus em torno do eixo z. A figura mostra esboços dos semi- planos para θ =^14 π, θ = 32 π, θ = 34 π e θ =−^16 π.
θ
θ= 0 o
φ= 0 º
( ρ , θ, φ)
c) O gráfico de φ =c contém todos os pontos P (ρ , θ,φ)para os quais ρ é qualquer número não-negativo, θ é qualquer número e (^) φ é a constante c. O gráfico é um cone, tendo seu vértice na origem e o eixo z como eixo. A figura mostra esboços do cone para 0 < c< 90 o^ e 90 o<c< 180 o, respectivamente.
Como o gráfico de ρ =cé uma esfera, conforme foi
visto no exemplo anterior, temos o nome “coordenadas esféricas”. Em problemas físicos, onde existe um ponto de simetria, as coordenadas esféricas são frequentemente utilizadas. Colocando juntos um sistema de coordenadas esféricas e um sistema de coordenadas cartesianas (retangulares), conforme mostra a figura, obtemos relações entre os dois tipos de coordenadas de um ponto P através das equações:
=ρ⋅ φ
=ρ⋅ φ⋅ θ =ρ⋅ φ⋅ θ z cos
x sen cos y sen sen
Elevando ao quadrado cada uma dessas relações anteriores, e somando temos:
x^2 + y^2 +z^2 = ρ^2
- Ache as coordenadas cilíndricas do ponto com as coordenadas cartesianas dadas:
a) (4, 4, -2) b) ( − 3 3 , 3 , 6 ) c) (1, 1, 1)
- Ache as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são:
a) ( 4 , 30 o^ , 45 o) b) ( 4 , 90 o^ , 60 o) c) ( 6 , 60 o, 135 o)
- Ache um conjunto de coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são:
a) ( 1 ,− 1 ,− 2 ) b) (− 1 , 3 , 2 ) c) ( 2 , 2 , 2 )
- Ache um conjunto de coordenada cilíndricas do ponto cujas coordenadas esféricas são:
a) ( 4 , 120 o^ , 150 o) b) ( 2 , 135 o^ , 180 o) c) ( 2 3 , 60 o^ , 45 o)
Resposta: a) ( 2 , 120 o^ ,− 2 3 ) b) ( 0 , 135 o^ ,− 2 ) c) ( 6 , 60 o, 6 )
- Ache um conjunto de coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cilíndricas são:
a) ( 3 , 30 o^ , 3 ) b) ( 3 , 90 o^ , 2 ) c) ( 2 , 150 o^ ,− 4 )
Resposta: a) ( 18 , 30 o^ , 45 o) b) ( 13 , 90 o^ , 56 , 3 o) c) ( 20 , 150 o^ , 153 , 4 o)
- Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
a) x 2 + y^2 + 4 z^2 = 16 b) x 2 + y^2 = 3 z c) x 2 −y^2 = 3 z^2
Resposta: a) r 2 + 4 z^2 = 16 b) r 2 = 3 z c) r 2 cos 2 θ= 3 z^2
- Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
a) x 2 + y^2 +z^2 − 9 z= 0 b) x 2 + y^2 = 9 c) x^2 + y^2 +z^2 − 8 x= 0
Respostas: a) ρ = 9 cos φ b) ρsen φ= 3 c) ρ = 8 sen φcos θ
Pela definição: FP =P` P
Como:
FP ( x 0 ) i ( y p/ 2 ) j
r r = − + −
P` P ( x x) i ( y p/ 2 ) j
r r = − + +
CAPÍTULO 9
CÔNICAS
9.1 – PARÁBOLA
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e d.
P pertence a parábola se, e somente se:
d( F,P)= d(P,P ) ou FP =PP
OBS: F∉ d, pois, caso contrário, a parábola se degeneraria numa reta.
Elementos:
foco: é o ponto F diretriz: é a reta d. eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.
Equação da parábola de vértice na origem do sistema:
Tem-se:
x 2 + (y−p/ 2 )^2 = (y+p/ 2 )^2 x^2 = 2 py Equação reduzida da parábola
d
y
x
F 0 , 2 p P(^ x,y)
(^) − 2 P'x, p
V ( 0 , 0 )
2
p
2 −^ p
d
P
F
V
P`
9.2 – ELIPSE
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos de um plano,
Ao conjunto de todos os pontos P tais que,
d( P,F 1 )+ d(P,F 2 )= 2 a ou PF 1 +PF 2 = 2 a
com 2 a > 2 c, dá-se o nome de elipse.
Elementos:
focos: são os pontos F 1 e F 2. distância focal: é a distância 2c entre os focos. centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2. eixo maior: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a. eixo menor: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b. vértices: são os pontos A 1 , A 2 , B 1 e B 2.
Excentricidade: é o número e dado por a
c e =.
Como c < a, tem-se que: 0 < e< 1.
OBS: Em toda elipse vale a relação a 2 =b^2 +c^2
2a
2b
2c
F 1 C F 2
B 1
B 2
A 1 A 2
P
B 1
B 2
A 1 F 1 C F 2
A 2
b^ a
c
Equação de elipse com vértice na origem do sistema:
Da definição:
PF 1 +PF 2 = 2 a
Como:
F 1 P (x c)i (y 0 ) j
r r = + + −
F 2 P (x c)i (y 0 ) j
r r = − + −
Tem-se:
(x +c)^2 +(y)^2 + (x−c)^2 +y^2 = 2 a
b
y a
x 2
2 2
2
- = → Equação reduzida de elipse
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema:
Do gráfico temos:
x = x'+x c => x' =x−xc y = y'+y c => y' =y−yc
Equação da elipse no sistema S’ => 1 b
y' a
x' 2
2 2
2
No sistema S:
( ) ( ) 1 b
y y a
x x 2
2 c 2
2 − (^) c (^) + − = => Equação padrão da elipse
F 1 (-c,0) C
B 1
B 2
A 1 A 2
P(x,y)
F 2 (c,0)
x
y
b
a
F 1 C = O’
P(x,y)
F 2
x'
y'
xc x
x'
x
y
yc
y
y'
Equação da hipérbole com centro na origem do sistema:
Da definição:
F 1 P −F 2 P = 2 a
Como:
F 1 P (x c)i (y 0 ) j
r r = + + −
F 2 P (x c)i (y 0 ) j
r r = − + −
Tem-se:
( x+c)^2 +(y)^2 − (x−c)^2 +y^2 =± 2 a
b
y a
x 2
2 2
2 − = → Equação reduzida de hipérbole
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema:
Do gráfico temos:
x = x'+x c =>^ x' =x−xc y = y'+y c => y' =y−yc
Equação da hipérbole no sistema S’ => 1 b
y' a
x' 2
2 2
2 − =
No sistema S:
( ) ( ) 1 b
y y a
x x 2
2 c 2
2 − (^) c (^) − − = => Equação padrão da hipérbole
F 1 (-c,0) V 1 V 2 F 2 (c,0)
a
C
c
x
y
P(x,y)
F 1 F 2
V 1 V 2 C = O`
P(x,y)
x'
y'
xc x
x'
x
y
yc
y
y'
Exemplo: ASG2010/1osem:
GEOMETRIAS DE ANTENAS DE RECEPÇÃO DE SINAIS DE SATÉLITES
A recepção de sinais transmitidos pelos satélites pode ser feita com diversos tipos de antenas. No entanto, devido ao maior ganho obtido das antenas de superfície refletora, como são as parabólicas e as esféricas, essas antenas são normalmente as utilizadas. São elas denominadas parabólicas ou esféricas, porque as superfícies das mesmas são geradas a partir de um parabolóide ou de um esferóide, respectivamente.
Mais largamente utilizadas, as antenas parabólicas são classificadas, quanto ao foco, em simétricas e assimétricas. Tanto as simétricas, como as assimétricas podem ter um ou mais elemento de reflexão do sinal. Quando somente a superfície parabólica é o refletor que concentra o sinal no foco e não existem sub-refletores, as antenas são ditas prime focus, ou ponto focal. Quando se utilizam sub-refletores, colocados no caminho de propagação do sinal, entre a superfície refletora principal e o ponto de iluminação, elas são denominadas Cassegrain e Gregorianas.
Na antena tipo Gregoriana, o sinal depois de sub-refletir em um refletor elíptico, dirige-se para o alimentador/iluminador tipo corneta.
De acordo com as medidas indicadas na figura, determine a equação da parábola e da elipse. Determine também a equação do parabolóide que forma o refletor parabólico simétrico.
0,
x (m)
y (m)
-1,5 -0,5 0,5 1,
1, 1, 35
a x
z
c
y b
C b y
z
c
O traço no plano xOy é a elipse: 1 , z^0
b
y
a
x
2
2 2
2
O traço no plano xOz é a elipse: 1 , y^0
c
z
a
x
2
2
2
2
O traço no plano yOz é a elipse: 1 , x^0
c
z
b
y
2
2 2
2
Se pelo menos dois dos valores de a, b e c são iguais, o elipsóide é de revolução. Podemos verificar que as interseções do elipsóide com planos x = k, y = k ou z = k (k = constante), resultam numa elipse, num ponto ou no conjunto vazio.
No caso de a = b = c, a equação do elipsóide fica: 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 1 ou x y z a a
z a
y a
x (^) + + = + + =
e representa uma superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio a.
Se o centro do elipsóide é o ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, assume a forma:
1
( ) ( ) ( ) 2
2 0 2
2 0 2
2 − (^0) + − + − = c
z z b
y y a
x x
Da mesma forma, a superfície esférica de centro (x 0 , y 0 , z 0 ) e raio a, tem equação:
2 2 0
2 0
2 ( x −x 0 ) +(y−y) +(z−z ) =a
10.2.2 - HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA
Se na equação 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
dois coeficientes dos termos do 1º membro são
positivos e um é negativo, a equação representa um hiperbolóide de uma folha. As equações abaixo representam uma forma canônica do hiperbolóide de uma folha,
ao longo do eixo Ox 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
ao longo do eixo Oy 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
ao longo do eixo Oz 2 1
2 2
2 2
2
c
z
b
y
a
x
Obs: Se na equação (^21)
2 2
2 2
2
z b
y a
x (^) tivermos a = b, o hiperbolóide é de revolução, gerado
pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário, no caso, o eixo Oz. O traço
no plano xOy é a circunferência 1 ,z 0 a
y a
x 2
2 2
2
- = = ou x^2 + y^2 =a^2 , z= 0
Se o centro do hiperbolóide de uma folha é o ponto (x 0 , y 0 , z 0 ) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação na forma canônica, obtida por uma translação de eixos coordenados, assume a forma:
c
(z z ) b
(y y ) a
(x x ) 2
2 0 2
2 0 2
2 − (^0) + − − − =
O traço no plano xOy no hiperbolóide de uma folha, é uma elipse.
1 , z 0
b
y
a
x
2
2 2
2
O traço no plano xOz no hiperbolóide de uma folha, é uma hipérbole.
1 , y 0
c
z
a
x
2
2 2
2
O traço no plano yOz no hiperbolóide de uma folha, é uma hipérbole.
1 , x 0
c
z
b
y
2
2 2
2
