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SIR ELIAS
UNIDADE 1 - LIMITES
1.1 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Seja a função f(x) =
(x 1 )
2 x^2 x 1
definida para todo x real e x ≠ 1. Se x ≠ 1, podemos
dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) =
(x 1 )
( 2 x 1 )(x 1 )
⇒f(x) = 2x + 1.
Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes
de 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0, f(x) 1 2 2,5 2,8 2,98 2,
Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1, f(x) 5 4 3,5 3,2 3,02 3,
Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x)
aproxima-se de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará
f(x).
1.2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Uma das conseqüências das propriedades de limite é a regra de obter o limite de uma
função polinomial.
Teorema 1 O limite de uma função polinomial
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + ... + anxn^ = ∑
=
n
i 0
aixi, ai ∈^ R, para x tendendo para a, é igual ao
valor numérico de f(x) para x = a.
Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites como sendo as
propriedades P e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades.
PROPRIEDADES
Se (^) x^ lim → af(x) = L, (^) x^ lim → ag(x) = M e c = constante, então:
- (^) x^ lim → ac = c
- (^) x^ lim → a[c. f(x)] = c. (^) x^ lim → af(x) = c. L
- (^) x^ lim → a[(f + g) (x)] = (^) x^ lim → a f(x) + (^) x^ lim → ag(x) = L + M
- (^) x^ lim → a[(f - g) (x)] = (^) x^ lim → af(x) - (^) x^ lim → a g(x) = L - M
5. x^ lim → a[(f. g) (x)] = x^ lim → a f(x). x^ lim → ag(x) = L. M
- (^) x^ lim → a
g(x )
f( x ) = (^) limg(x)
limf(x )
x a
x a →
→
M
L
(M ≠^ 0)
- (^) x^ lim → a[(f)n^ (x)] = [ (^) x^ lim → af(x)]n^ = Ln
8. x^ lim → an^ f(^ x)= nxlim → af(x) = n^ L^ (se n ∈ N* e L ≥ 0 ou se n é ímpar e L ≤ 0)
EXERCÍCIOS
1.1 - Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o
teorema utilizado.
a) lim^ (^3 x^5 x^2 )
2 x 2
→
b) 4 x 3
x 2 x 3 lim
2 x (^1) −
→ −
c)
2 2 x (^13) x 2 lim 2 x x^1
→
d) (^3 )
3 2 x (^2) x 4 x 3 lim x^2 x^3 x^2
→ −
Solução
a) Pelo teorema da função polinomial, vem:
lim ( 3 x^25 x 2 ) x 2
b) (^4) x 3 lim x^22 x^3 x (^1) −
→ − =^ lim( 4 x 3 )
lim(x 2 x 3 )
x 1
2 x 1 −
→ −
→ − = (^7)
c)
2 2 x (^13) x 2 lim 2 x x^1
2 2 x (^13) x 2 lim 2 x x^1
2
x 1
2 x 1 lim( 3 x 2 )
lim( 2 x x 1 )
→
Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função
quando x = a, concluímos:
x 2 x
x 4 lim (^2)
2 x (^2) −
→
x
x 2 lim x 2
→
1.4- Calcular os limites:
a) x 1
limx^21 x (^1) −
→
b) 2 x
lim^4 x^2 x (^2) +
→ −
c) (^) x →lim 3 / 2
2 x 3
4 x 2 9
d) x x 6
x 4 x 3 lim (^2)
2 x (^3) − −
→
e) (^) xlim → 1 / 2 2 x 5 x 2
2 x 5 x 3 2
2 − +
f) 2 x 5 x 12
lim 6 x^11 x^3 2
2 x 3 / (^2) − −
→ −
g) x 1
x 1 lim (^2)
3 x (^1) −
→
h) (^2)
3 x (^24) x
8 x lim −
→ −
i) (^3)
4 x (^28) x
x 16 lim −
→
1.5- Seja a função f definida por
f (x) =
3 sex 1
sex 1 x 1
x 2 3 x 2
Calcular limx→ 1 f(x).
Solução:
Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende para a, interessa o
comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função
quando x = a, temos:
limf(x ) x→ 1 =^ (x 1 ) lim(x^2 )^1
(x 1 )(x 2 ) lim x 1
x 3 x 2 lim x 1 x 1
2 x 1
→ → →
1.6 - Seja a função f definida por f(x) =
3 , se x 2
, se x 2 x 2
2 x^23 x 2
. Calcular (^) xlim→ 2 f(x)
1.7 - Seja a função f definida por f(x) =
3 se x 3
se x 3
x 3
2 x^29 x 9
Mostre que
limf(x) 3
x 3
→ −
1.8 Calcular x 3 x 5 x 3
lim 2 x x^4 x^1 3 2
3 2 x (^1) − + −
Solução
Temos lim(^2 x x^4 x^1 )^0 3 2 x 1
→ e^ lim( x^33 x^25 x 3 ) 0 x 1
Os polinômios (2x^3 + x^2 - 4x +1) e (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) anulam-se para x = 1, portanto,
pelo teorema de D´Alembert , são divisíveis por (x - 1), isto é, x - 1 é um fator comum em
(2x^3 + x^2 - 4x +1) e (x^3 - 3x^2 + 5x - 3).
Efetuamos as divisões de (2x^3 + x^2 - 4x + 1) e (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) por (x - 1), obtemos:
x 2 x 3
2 x 3 x 1 (x 1 ).(x 2 x 3 )
(x 1 ).( 2 x 3 x 1 ) x 3 x 5 x 3
2 x x 4 x 1 2
2 2
2 3 2
3 2 − +
Então
2 x 2 x 3
2 x 3 x 1 lim x 3 x 5 x 3
2 x x 4 x 1 lim (^2)
2 (^32) x 1
3 2 x 1
→ →
1.9 - Calcular os limites:
Lembremos que, ao considerarmos limx→ af(x), estávamos interessados no comportamento
da função nos valores próximos de a , isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo
aberto contendo a , porém diferentes de a e, portanto, nos valores desse intervalo que são
maiores ou menores que a.
Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x assume valores próximos
e menores que a , é diferente do comportamento da mesma função, quando x assume valores
próximos e maiores que a. Quando isto acontece o limite de f(x) não existe em a.
Assim, por exemplo, na função:
f(x) =
x 2 se x 1
2 se x 1
4 x se x 1
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 ( à esquerda de 1 ) temos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0, f(x) 4 3,5 3,25 3,1 3,01 3,
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, ( à direita de 1 ), temos: x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1, f(x) 0 -0,5 -0,75 -0,9 -0,99 -0,
Observamos que, se está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função
estão próximos de 3, e se x está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão
próximos de -1.
Em casos como este, onde supomos x assumindo valores próximos de 1, mas somente
à esquerda ou somente à direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela
direita de 1, que definiremos a seguir.
Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[. O limite de f(x), quando x se
aproxima de a pela direita, será L e escrevemos
limf(x) L x a
+^ =
→ Definição
Seja f uma função definida em um intervalo aberto ]b, a[, cujo (^) xlim → a−f(x)^ =L. O limite de
f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L ( (^) xlim → a−f(x)^ =L) e o limite de f(x), quando
x se aproxima de a pela direita, também será L ( (^) xlim → a+f(x)^ =L)
As propriedades de limites e o teorema do limite da função polinomial são válidos se
substituirmos "x → a " por "x→ a+ ", ou por "x → a –^ “.
Exemplos Na função f definida por
f(x) =
3 x se x 1
1 se x 1
x^24 se x 1
temos: lim f(x) lim( 3 x) 2 x 1 x 1
+ =^ + −^ =
→ → e^ lim^ f(x) lim(x^4 )^3
2 x 1 x 1
− =^ − − =^ −
→ →
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que limx→ 1 f(x) não existe. A justificação
da não existência de um limite devido ao fato de os limites laterais serem diferentes é dada no
teorema que segue.
Teorema
Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x ∈^ I - {a}.
Temos (^) xlim → af(x)=Lse, e somente se, existirem (^) xlim → a+f(x)e (^) xlim → a−f(x)e forem ambos iguais a L.
EXERCÍCIOS
Nos exercícios abaixo, para cada função f calcule os limites indicados, se existirem.
1.12 - f(x) =
4 x 1 se x 1
2 se x 1
3 x 2 se x 1
a) (^) xlim → 1 +f(x) b) (^) xlim → 1 −f(x) c) limx→ 1 f(x)
1.13 - f(x) =
4 x se x 1
3 2 x se x 1
a) (^) x →lim − 1 +f(x) b) (^) x lim→ − 1 −f(x) c) (^) xlim →− 1 f(x)
1.14 - f(x) =
4 5 x se x 3
2 x 5 se x 3
a) (^) xlim → 3 +f(x) b) (^) xlim → 3 −f(x) c) (^) xlim→ 3 f(x)
1.15 - f(x) =
x 1 se x 2
0 se x 2
1 x^2 se x 2
a) (^) xlim → 2 +f(x) b) (^) xlim → 2 −f(x) c) (^) xlim→ 2 f(x)
x → (^1) (x 1 )^2 lim^1
onde o símbolo "- ∞^ " lê-se "menos infinito" ou "infinito negativo".
Consideremos agora a função h definida por h(x) =
x 1
para todo x real e x ≠^ 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 temos:
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0, f(x) 1- -2 -4 -10 -100 -
E atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1, f(x) 1 2 4 10 100 1000
Observemos que se x assume valores próximos e à esquerda de 1, a função decresce
ilimitadamente e se x assume valores próximos e à direita de 1, então a função cresce
ilimitadamente. Estamos considerando os limites laterais que são "infinitos" e escrevemos:
= + ∞ −
→ −^ − →+x 1
e lim^1 x 1
lim 1 x 1 x 1 Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam
infinitamente, quando x se aproxima de a, pela esquerda ou pela direita de a, construímos
uma tabela de valores da função quando x estava próximo de ª Vejamos como chegar à
mesma conclusão sem construirmos essa tabela.
Teorema
Sejam f e g tais que (^) xlim → af(x)=c≠^0 então:
I) (^) g(x )^0 se f(x^ ) g(x )
limf(x^ ) x a
→ quando x está próximo de a;
II) (^) g(x )^0 se f(x^ ) g(x )
limf(x^ ) x a
→ quando x está próximo de a.
EXERCÍCIOS
1.18) Calcule
a) (^) x 1 2 (x 1 )
3 x 2 lim −
→
b) (^) x 2 2 (x 2 )
1 x lim −
→
Solução
a) Com limx → 1 (^3 x+^2 )=^5 e lim^ (x^1 )^0
2 x 2
→ , estudemos o sinal de^ (x 1 )^2
3 x 2 g(x )
f(x ) −
quando x está
próximo de 1.
sinal de g(x) = (x - 1)^2
Notemos que 0 (x 1 )
3 x 2 g(x )
f(x ) −^2 >
quando x está próximo de 1, então:
x → (^1) (x 1 )^2 lim^3 x^2
b) Com (^) xlim → 2 (^1 −x)=−^1 e lim^ (x^2 )^0
2 x 2
→ , estudemos o sinal de^ (x 2 )^2
1 x g(x )
f(x ) −
quando x está
próximo de 2.
Notemos que (^) (x 2 ) 2
1 x g(x )
f(x ) −
< 0 quando x está próximo de 2, então: (^) − =− ∞
x → (^2) (x 2 )^2 lim^1 x
1.19) Calcule
a) (^) x 2 2 (x 2 )
3 x 4 lim −
→
b) (^) x 1 2
(x 1 )
2 x 3
lim
→
c) (^) x 1 2 (x 1 )
1 3 x lim −
→
x
sinal de f(x) = 3x + 2
(x 1 )^2
3 x 2 g(x)
f(x) −
0
(^1 2) x
0
sinal def(x)= 1 − x
sinal deg(x)=(x− 2)^2
(x 2 )^2
1 x g(x)
f(x)
sinalde
b)
x 3
1 2 x
lim
x 3 −
→
c) 52 x
3 x 2
lim
2
x 5 −
→
e) (^3)
2
x 2 ( 2 x)
2 x 3 x 5
lim
→
1.4.1 PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS
Veremos a seguir um resumo de dez teoremas cujos enunciados serão apresentados
com o símbolo "x → a ", mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por " x → a –^ " ou "x →
a+ "
Dados Conclusão = + ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a
→ lim(f g)(x) x a = − ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a
→ lim(f g)(x) x a = + ∞ → limf(x) x a limg(x) b 0 x a
→
→ (^) seb 0
se b 0 lim(f.g)(x ) x a = − ∞ → limf(x) x a limg(x) b 0 x a
→
→ seb 0
se b 0 lim(f.g)(x ) x a = + ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a
→ lim(f.g)(x) x a = + ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a
→ lim(f.g)(x) x a = − ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a
→ lim(f.g)(x) x a = + ∞ → limf(x) x a 0 f(x )
lim x a
→ = − ∞ → limf(x) x a 0 f(x )
lim^1 x a
→ limf(x) 0 x a
→ (^) f(x)
lim x a
Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos: = + ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a lim(f g)(x)? x a
→ = − ∞ → limf(x) x a
→ limg(x) x a lim(f g)(x)? x a
→ = + ∞ → limf(x) x a
→ limg(x)
x a xlim → a(f+g)(x)=?
→ limf(x)
x a (ou -^ ∞^ )^
limg(x) 0 x a
→ lim(f.g)(x)? x a
→ = + ∞ → limf(x)
x a (ou -^ ∞^ )^
→ limg(x)
x a (ou +^ ∞^ )^ (x)?
g
lim^ f x a
→
1.5 LIMITES NO INFINITO
Seja a função f definida por f(x) = x
x + 2 para todo x real e x ≠ 0. Atribuindo a x
valores 1, 5, 10, 100, 1000, 10000 e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000 10000 f(x) 3 1,4 1,2 1,02 1,002 1,
Observemos que, à medida que x cresce através de valores positivos, os valores da
função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1
quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez maiores.
Escrevemos, então:
1 x
lim x^2 x
→ + ∞
Consideremos novamente a função f(x) = x
x + 2
. Atribuindo a x os valores -1, -5, -10,
-100, -1000, -10000 e assim por diante, de tal forma que x decresça ilimitadamente, temos:
x -1 -5 -10 -100 -1000 - f(x) -1 0,6 0,8 0,98 0,998 0,
Observemos que, à medida que x decresce através de valores negativos, os valores da
função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar f(x) tão próximos de 1
quanto desejar se atribuirmos para x valores cada vez menores.
Escrevemos, então:
1 x
x 2 lim x
→ − ∞ Seja a função f(x) = x^2 , definida para todo x real. Atribuindo a x valores 1, 5, 10, 100, 1000 e assim por diante, de tal forma que x cresça
ilimitadamente, temos:
x 1 5 10 100 1000 f(x) 1 25 100 10000 1000000
Observamos que, a medida que x cresce através de valores positivos, os valores da
função também crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar
f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para
x valores suficientemente grandes e escrevemos:
→ + ∞ limf(x) x Se agora atribuirmos a x os valores -1, -5, -10, -100, -1000 e assim por diante, de tal
forma que x decresça ilimitadamente, temos:
a) lim^ (^4 x^7 x^3 )
2 x
→ + ∞ =^
→ + ∞ lim ( 4 x^2 ) x
b) lim^ (^3 x^2 x^5 x^3 )
3 2 x
→ + ∞ =^
→ + ∞ lim ( 3 x^3 ) x
c) lim^ (^5 x^4 x^3 x^2 )
3 2 x
→ − ∞ =^
→ − ∞ lim ( 5 x^3 ) x
d) lim^ (^3 x^7 x^2 x^5 x^4 )
4 3 2 x
→ − ∞ =^
→ − ∞ lim ( 3 x^4 ) x
1.23) Encontre:
a) 5 x 1
lim^3 x^2 x (^) −
→ + ∞
b) 2 x 3
lim^54 x x (^) −
→ − ∞
c) 3 x 2
lim^5 x^24 x^3 x (^) +
→ − ∞
d) 3 x 5 x 2
lim 4 x^1 x (^2) + −
→ − ∞ Solução
a) (^5) x 1
3 x 2 lim x −
→ + ∞ =^5 x
3 x lim x → + ∞ =^5
lim x
→ + ∞
b) (^2) x 3 lim^54 x x (^) −
→ − ∞ =^2 x
4 x lim x → − ∞ =^
lim( 2 ) 2 x
→ − ∞
c) (^3) x 2
5 x 4 x 3 lim
2 x (^) +
→ − ∞ =^3 x
5 x lim
2 x → − ∞ =^
lim^5 x x
d) (^3) x 5 x 2
4 x 1 lim (^2) x (^) + −
→ − ∞ =^ x (^3) x^2
4 x lim → − ∞ =^3 x
lim x → − ∞ = 0
1.24) Encontre:
a) 5 x 1
3 2 x lim x (^) +
→ + ∞
b) 3 x 2
4 x 3 lim x (^) +
→ − ∞
c) x 1
x 4 lim
2 x (^) +
→ + ∞
d) x 1
lim x^1 2
3 x (^) +
→ − ∞
e) 3 x 5 x 6 x 2
lim x^3 x^4 3 2
2 x (^) + − +
→ + ∞
f) 8 x 1
lim x^4 3
2 x (^) −
→ − ∞
1.5.1 Resumo
Faremos um resumo dos teoremas apresentados, lembrando que as proposições
continuam verdadeiras se trocarmos "x →+ ∞ " por " x →– ∞ "
Dados Conclusão = + ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x lim(f g)(x)? x
→ + ∞ = − ∞ → + ∞ limf(x) x
→ − ∞ limg(x) x
→ − ∞ lim(f g)(x) x = + ∞ → + ∞ limf(x) x limg(x) b 0 x
→ + ∞
→ + ∞ seb 0
seb 0 lim(f.g)(x ) x = − ∞ → + ∞ limf(x) x limg(x) b 0 x
→ + ∞
→ + ∞ seb 0
seb 0 lim(f.g)(x ) x = + ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x
→ + ∞ lim(f.g)(x) x = + ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x
→ + ∞ lim(f.g)(x) x = − ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x
→ + ∞ lim(f.g)(x) x = + ∞ → + ∞ lim f(x) x 0 f(x )
lim x
→ + ∞ = − ∞ → + ∞ limf(x) x 0 f(x )
lim^1 x
→ + ∞ limf(x) 0 x
→ + ∞f(x) lim^1 x Não podemos estabelecer leis para os seguintes casos: = + ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x lim(f g)(x)? x
→ + ∞ = − ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x lim(f g)(x)? x
→ + ∞ = + ∞ → + ∞ limf(x) x
→ + ∞ limg(x) x lim(f g)(x)? x
→ + ∞ = + ∞ → + ∞ limf(x)
x (ou -^ ∞^ )^
limg(x) 0 x
→ + ∞ lim(f.g)(x)? x
→ + ∞ = + ∞ → + ∞ limf(x)
x (ou -^ ∞^ )^
=+ ∞ → + ∞ limg(x)
x (ou +^ ∞^ )^ (x)?
g
lim^ f x
→ + ∞
1.6 CONTINUIDADE
Quando definimos
x a
lim f(x )
analisamos o comportamento da função f^ ( x ) para
valores de x^ próximos de a^ , mas diferentes de a.^ Em muitos exemplos vimos que
, 2 2
(^24) ≠ −
− x x
x
(a) f(x) =
, 2 4
8 2
3 ≠ −
− x x
x
(b )f(x) = em x = 2. 3 , x =^2
, 1 1
2 x^2 − x ≠
x
(c )f(x) = em x = 1 0 , x = 1
, 2 2
(^24) ≠ −
− x x
x
(d )f(x) = em x = 2. 0 , x =^2
, 1 1
(^23) + 4 ≠
x x
x x
(e )f(x) = em x = 1 4 , x = 1
, 2 2
(^24) ≠ −
− x x
x
(f) f(x) =
1.26) Calcule p^ de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
x^2 + px + 2 , x ≠ 3 x +^2 p , x ≤−^1
( a ) f ( x ) = b ) f ( x )= 3 , x = (^3) p^2 , x > − 1
1.27) Exercícios de revisão de Limites.
a) f(x) =
x 6 x 7 se x 2
2 sex 2
2 x 3 x 1 se x 2
2
2
b) =
− − → (^22)
6 lim (^2)
2 (^3) x x
x x x
c) =
4 12 12 lim (^32)
4 3 2 (^3) x x x
x x x x x
d) =
− + + → − ∞ 2
2 3 5 1 lim (^3)
5 6 2
x
x x x x
e) (^) = − + −
− + → (^485)
2 lim (^32)
3 2 (^1) x x x
x x x
f) = − −
→ (^21)
3 lim (^2) (^1) x x
x x
Respostas de limites Página 3
a) 2 b) 4 c) - 8/ d) - 12 e) 0 f) 1/ g) 9/
h) 3
5
i) 2 j) –
Página 4
Página 9
a)1 b)5 c) ∃
a)5 b)5 c) 5
a)1 b)-11 c) ∃
a)1 b)-3 c) ∃
a)2 b)2 c) 2
a)1 b)1 c) 1
Página 17
a) + ∞ b) + ∞ c) + ∞ d) – ∞ e) – ∞ f) + ∞
a) + ∞ b) – ∞, se não for par e
- ∞ se for ímpar c) + ∞, se c > 0 e
- ∞ se c < 0 d) – ∞, se c > 0 e
