Apostila de Vibrações, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná

UNIOESTE/Campus de Foz do Iguaçu

Centro de Engenharias e Ciências Exatas - CECE

Vibrações Mecânicas

Notas de Aulas

Prof. Dr. Samuel da Silva

Foz do Iguaçu, 2008.

Prefácio

Este texto apresenta as notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Esta apostila não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área [7], [5], [10] ou [12], mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas. Assim, é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complemen- tar e reforçar o assunto. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente, sendo assim, suges- tões, correções e comentários são muito bem vindos. Gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Milton Dias Junior da FEM/UNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1. Boa leitura e estudo!

• Lista de Figuras
• 1 Introdução
  • 1.1 Exemplos de aplicação
    • 1.1.1 Análise vibro-acústica
    • 1.1.2 Análise modal experimental e modificação estrutural
    • 1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações
    • 1.1.4 Integridade estrutural
  • 1.2 Conceitos básicos
    • 1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas
    • 1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos
    • 1.2.3 Forças de excitação
    • 1.2.4 Análise de sistemas equivalentes
    • 1.2.5 Posição de equilíbrio estático
  • 1.3 Classificação das vibrações mecânicas
  • 1.4 Exercícios resolvidos
  • 1.5 Exercícios
• 2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade
  • 2.1 Vibrações livres não-amortecidas
  • 2.2 Vibrações livres amortecidas - ( 0 < ξ < 1 ) 2.2.1 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico
    • 2.2.2 Movimento superamortecido ou super crítico(ξ > 1 )
      • cido (ξ = 1) 2.2.3 Movimento amortecido criticamente ou crítico amorte-
  • 2.3 Decremento logarítmico
  • 2.4 Exercícios
• 3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade
  • 3.1 Vibração causada por excitação harmônica
    • rotativas 3.2 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas
  • 3.3 Função de resposta ao impulso (IRF)
  • 3.4 Resposta para excitação do tipo degrau unitário
  • 3.5 Método da integral de convolução
  • 3.6 Função de transferência e métodos freqüênciais
    • 3.6.1 Transformada de Laplace
    • 3.6.2 Função de resposta em freqüência (FRF)
  • 3.7 Estimativa experimental de IRFs e FRFs: Análise Espectral
    • por vibrações forçadas 3.8 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento
  • 3.9 Exercícios
  • cas de Medição 4 Isolamento de Vibrações, Tipos de Amortecimento e Técni-
  • 4.1 Isolamento de Vibrações
    • 4.1.1 Isolamento ativo
    • 4.1.2 Isolamento passivo
  • 4.2 Tipos de Amortecimento
    • 4.2.1 Amortecimento de Coulomb
    • 4.2.2 Amortecimento histerético
    • 4.2.3 Amortecimento proporcional
  • 4.3 Técnicas de Medição
    • 4.3.1 Medição em campo
    • 4.3.2 Medição em laboratório
    • 4.3.3 Transdutores para medição de vibrações
• 5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade
  • 5.1 Equações de Lagrange
  • 5.2 Solução via modos normais: análise modal analítica
    • 5.2.1 Vibrações livres: sistema sem amortecimento
      • cional 5.2.2 Vibrações livres: sistema com amortecimento propor-
  • 5.3 Vibrações forçadas
  • 5.4 Introdução à análise modal experimental
  • 5.5 Exercícios
• Referências Bibliográficas
• 1.1 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros. Lista de Figuras
• 1.2 Alguns modos de vibrar da porta.
• 1.3 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississípi em 2007.
• 1.4 Sistema torsional.
• 1.5 Exemplo de força harmônica.
• 1.6 Exemplo de força periódica.
• 1.7 Exemplo de força transitória.
• 1.8 Exemplo de força aleatória.
• 1.9 Sistema massa-mola-amortecedor.
• 1.10 Sistema mecânico como molas em paralelo.
• 1.11 Sistema mecânico como molas em série.
• 1.12 Exemplo 1.
• 1.13 Exemplo 2.
• 1.14 Exemplo 2 - solução.
• 1.15 Exemplo 3.
• 1.16 Exemplo 3 - solução.
• 1.17 Exemplo 4.
• 1.18 Exercício 1.
• 1.19 Exercício 2.
• 1.20 Exercício 3.
• 1.21 Exercício 4.
• 2.1 Sistema massa-mola-amortecedor.
• 2.2 Exemplo de resposta de sistema livre não-amortecido com
  • gdl para várias condições iniciais diferentes.
• 2.3 Sistema massa-mola com 1 gdl.
• 2.4 Vagão batendo em uma mola.
• 2.5 Sistema com 1 gdl.
• 2.6 DCL do sistema.
• 2.7 Exemplo de resposta do sistema subamortecido.
  • com movimento subamortecido. 2.8 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl
• 2.9 Sistema massa-mola-amortecedor com dois amortecedores.
• 2.10 Resposta do sistema superamortecido.
• 2.11 Resposta do sistema criticamente amortercido.
  • sucessivas. 2.12 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes
• 2.13 Resposta livre do sistema.
• 2.14 Resposta livre do sistema estrutural.
• 2.15 Resposta ao impulso h(t).
  • tema com 1 gdl. 3.1 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sis-
• 3.2 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl.
• 3.3 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada.
• 3.4 Curva da função Λ (r, ξ).
• 3.5 Exemplo de resposta ao impulso h(t) de um sistema.
  • um grau de liberdade. 3.6 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com
• 3.7 Funções de resposta em freqüência para um sistema com
  • grau de liberdade.
  • com 1 grau de liberdade. 3.8 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema
  • um sistema com 1 grau de liberdade. 3.9 Gráfico da parte real e imaginária da FRF (compliância) para
• 3.10 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico.
• 3.11 Exemplo de um sinal estacionário.
• 3.12 Distribuição de partes de um sinal estacionário.
  • IRF discreta h[n]. 3.13 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma
• 3.14 Conjunto moto-bomba.
• 3.15 FRF (Compliância) para um sistema com 1 grau de liberdade.
• 3.16 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade.
• 4.1 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores.
• 4.2 Transmissibilidade Absoluta do sistema.
• 4.3 Exemplo de máquina como isolamento passivo.
• 5.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.2 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.3 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo.
  • excitação harmônica. 5.4 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de
  • aplicado na massa 1. 5.5 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação F (t)
• 5.6 Resposta experimental da estrutura ensaida.
• 5.7 FRFs experimentais.
• 5.8 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.9 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.10 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.11 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.
• 5.12 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade.
• 5.13 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade.

Capítulo 1

Introdução

A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas. Inicialmente, apresenta-se uma lista de al- gumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta dis- ciplina, com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações. Em seguida, destaca-se formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações, como graus de liberdade, elementos de um sistema vi- bratório, forças de excitação, análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático. Por fim, é mostrada uma forma de classificar os proble- mas de vibrações. Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos.

1.1 Exemplos de aplicação

Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina.

1.1.1 Análise vibro-acústica

A análise vibro-acústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas, automóveis, aeronaves, etc. Um nível de ruído ou vibração ex- cessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia, prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema. Portanto, uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em pro- jetos modernos, seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo. Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel. O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel. O es-

vistos na figura (1.2), constatou-se que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades. A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema.

(a) Carro com instrumentação usada no ensaio.

(b) Detalhe da porta.

Fig. 1.1: Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros.

Fig. 1.2: Alguns modos de vibrar da porta.

1.1.3 Manutenção preditiva por análise de vibrações

Quando um componente mecânico de um máquina rotativa^3 , como ro- lamentos, mancais, conexões, etc. apresentam algum defeito, como desali- nhamento, desbalanceamento, trinca, etc. o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão. Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados: referência (sem dano) e com dano. Assim, é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não. Adicionalmente, com aplicação de análise espectral, pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apre- senta. As unidades de geração de usinas hidrelétricas, como as de Itaipu, são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas.

1.1.4 Integridade estrutural

Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmi- cas de estruturas como pontes, fuselagens de aeronaves, estruturas offshore, barragens, etc. visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas. Esta é uma área multidisciplinar, que compreende estudo de materi- ais, ferramentas estatísticas, reconhecimento de padrões, análise de tensões e

(^3) Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais, compressores, turbinas, etc.

1.2.1 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas

O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes ne- cessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um con- junto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.

1.2.2 Componentes de sistemas mecânicos

Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amor- tecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido^5 em movimento é

T =

mv¯^2 +

Iω¯^2 (1.1)

sendo v¯ a velocidade do centro de massa do corpo, ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo e I¯ é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa. Já um componente de rigidez (uma mola linear) tem um relação força deslocamento conforme a equação abaixo

F = kx (1.2) onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento. A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento. No SI^6 a unidade de rigidez é N/m. Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos po- dem dissipar energia de formas diferentes. O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma

(^5) Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões

devem ser consideradas na análise dinâmica e, assim, o momento de inércia deve ser levado em conta. (^6) Sistema Internacional.

F = cv (1.3) sendo c o coeficente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. que serão descritos mais a frente durante este curso. Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada ge- neralizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torsional, figura (1.4).

Fig. 1.4: Sistema torsional.

O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional a sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional a velocidade angular. Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente são determinados pelo cálculo da energia cinética to- tal, energia potencial, e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada

T =

Ieq θ˙^2 , (1.4)

V =

kteqθ^2 , (1.5)

W = −

∫ (^) θ 2

θ 1

cteq θdθ.˙ (1.6)

1.2.3 Forças de excitação

De acordo com a força de excitação que age em um sistema mecânico as respostas de vibração podem ter características diferentes. A seguir os tipos

−1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.

−0.

−0.

−0.

0

0.

0.

0.

0.

1

Tempo [s]

Amplitude [N]

Fig. 1.5: Exemplo de força harmônica.

(^00) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.

1

1.

2

2.

3

3.

4

4.

Tempo [s]

Amplitude [N]

Fig. 1.6: Exemplo de força periódica.

(^00) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

1

Tempo [s]

Amplitude [N]

Fig. 1.7: Exemplo de força transitória.

−3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−

−

0

1

2

3

Tempo [s]

Amplitude [N]

Fig. 1.8: Exemplo de força aleatória.

Fig. 1.10: Sistema mecânico como molas em paralelo.

F = keqx = k 1 x + k 2 x + · · · + knx =

( (^) n ∑

i=

ki

x. (1.13)

Analisando a Eq. (1.13) observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por:

keq =

∑^ n

i=

ki. (1.14)

Molas em série: Já o sistema da figura (1.11) tem molas em série que são fixadas a um bloco com massa m. Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinação de molas.

Fig. 1.11: Sistema mecânico como molas em série.

Definindo o deslocamento do bloco como sendo xi na i-ésima mola e assumindo que cada mola não tem massa, a força desenvolvida na extre- midade de cada mola tem a mesma magnitude, mas direções opostas. Assim a força em cada mola é

F = keqx = k 1 x 1 = k 2 x 2 = · · · = knxn. (1.15)

Sendo assim, o deslocamento total será descrito por

x = x 1 + x 2 + · · · + xn =

∑^ n

i=

xi =

F

k 1

F

k 2

F

kn

Resolvendo para xi da Eq. (1.15) e substituindo na Eq. (1.16) conduz à

F =

x ∑n i=

1 ki

A partir da Eq. (1.17) pode-se concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por

keq =

∑n i=

1 ki

1.2.5 Posição de equilíbrio estático

Sistemas mecânicos, como os da figura (1.9), têm elementos elásticos que estão sujeitos a forças quando o sistema está em equilíbrio. A deflecção resultante no elemento elástico é chamada de deflecção estática, geralmente nomeada por ∆st. O efeito de deflecção estática de um elemento elástico em um sistema linear não tem efeito na rigidez equivalente do sistema.

1.3 Classificação das vibrações mecânicas

Há diferentes formas de classificar as vibrações em sistemas mecânicos:

Quanto a excitação: As vibrações podem ser livres^8 ou forçadas^9.

Quanto ao amortecimento: As vibrações podem ser amortecidas ou não- amortecidas.

Quanto ao deslocamento: Pode ser retilíneo ou torcional, ou combinação de ambos. (^8) O sistema vibra nas suas freqüências naturais e não há força de excitação externa. (^9) O sistema vibra na freqüência de excitação.