Juliano Gonçalves Oler
Universidade Federal de Uberlândia
Universidade Aberta do Brasil
Centro de Educação a Distância
Universidade Federal de Uberlândia
Licenciatura Plena em Matemática - PARFOR
Cálculo II
Faculdade de Matemática
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apostila explicativa com exercicos, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral
apostila explicativa com exercicos
Tipologia: Notas de estudo
2024
1 / 171
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Juliano Gonçalves Oler
Universidade Federal de Uberlândia
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Licenciatura Plena em Matemática - PARFOR
Cálculo II
Faculdade de Matemática
EQUIPE DO CENTRO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA UFU - CEaD/UFU
ASSESSORA DA DIRETORIA Sarah Mendonça de Araújo
EQUIPE MULTIDISCIPLINAR Alberto Dumont Alves Oliveira Dirceu Nogueira de Sales Duarte Júnior Fabiano Goulart Gustavo Bruno do Vale João Victor da Silva Alves Otaviano Ferreira Guimarães
SETOR DE FORMAÇÃO CONTINUADA Marisa Pinheiro Mourão
REVISORA Paula Godoi Arbex
ESTAGIÁRIOS Ana Caroline Marques Costa Antonio Mourão Cristhian Zanforlin Lousa Daniel Kenji Nishiyama Heldson Luiz da Silva Janaína Batista do Nascimento Julian Degutis de Freitas Garcia Thainá Aparecida Azevedo Tosta Thamara Tofeti Lima
Sumário
- Sobre o curso
- Módulo 1 - Integral indefinida: técnicas de integração
- Introdução
- Integrais imediatas
- Integrais elementares: soma e produto por escalar
- Integrais e a regra da cadeia
- Integrais e a regra do produto
- Resolvendo integrais através de substituições trigonométicas
- Intregrais de funções racionais: método das frações parciais
- Teste seus conhecimentos
- Respostas dos testes
- Módulo 2 - Séries Numéricas
- Introdução
- Sequências Numéricas
- Séries Infinitas
- Séries de termos positivos
- Critério de convergência de séries alternadas
- Séries absolutamente convergentes
- Teste seus conhecimentos
- Respostas dos testes
- Módulo 3 - A Integral Definida
- Introdução
- Somas de Riemann
- A integral definida
- O Teorema Fundamental do Cálculo
- Cálculo de áreas
- Teste seus conhecimentos
- Respostas dos testes
- Módulo 4 - Integrais Impróprias
- Integrais Impróprias
- Teste seus conhecimentos
- Respostas dos testes
- Referências Bibliográficas
Sobre o curso
A Matemática é uma ciência que nasceu da necessidade que o homem tinha de resolver problemas, e vem se desenvolvendo e aprimorando ao longo dos tempos. Produz técnicas analíti- cas que são empregadas por engenheiros e outros profissionais na criação, desenvolvimento e aprimoramento tecnológico de vários produtos. O mundo como o conhecemos hoje não seria possível sem a Matemática. Não teríamos carros, aviões, celulares, computadores, televisões, aparelhos médicos etc. Assim, essa nobre ciência é uma parte essencial das engrenagens que fazem a sociedade evoluir. O profissional da área de Matemática é, então, um elemento funda- mental para o desenvolvimento tecnológico e, portanto, socioeconômico de qualquer sociedade. Nesse contexto, é de suma importância o processo de formação de profissionais que vão atuar na área de Matemática. Essa tarefa é desempenhada pelas instituições de ensino superior. O processo de formação em um curso superior de Matemática envolve a aquisição de vários conhecimentos. Para facilitar a assimilação destes, o curso é divido em várias disciplinas. Uma dessas disciplinas é a de Cálculo II , que, em essência, objetiva apresentar ao aluno uma visão geral da Matemática, além familiarizá-lo com a linguagem, conceitos e ideias relacionadas ao estudo das técnicas de integração e séries numéricas. Essa disciplina visa, ainda, apresentar ao estudante aplicações do cálculo diferencial e integral, com a formulação e solução de problemas do mundo real. Para facilitar o entendimento, tal disciplina é dividida em quatro módulos:
- Integral indefinida: técnicas de integração;
- Séries Numéricas;
- A Integral Definida;
- Integrais Impróprias.
A duração de cada módulo é de quinze dias. O texto básico da disciplina é contemplado com exercícios estrategicamente posicionados, de tal forma que o conteúdo previamente estudado fique bem assimilado em seus conceitos mais básicos. Quanto à metodologia, o curso terá seguinte base: estudo da teoria do livro texto, com o treino através dos exercícios nele contidos, e atividades dentro do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), as quais serão passadas para os alunos dentro do período de vigência de cada módulo, e farão parte do processo de avaliação, assim como as provas presenciais. Quanto ao sistema de avaliação, serão distribuídos 100 pontos, sendo 60 pontos relativos às provas escritas em modo presencial e 40 pontos nas atividades passadas pelo Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). As listas de exercícios que serão disponibilizadas no AVA deverão ser entregues em datas que também serão apresentadas no AVA, para que os tutores possam corrigir.
Cálculo II 7
Desejamos ao caro aluno um ótimo curso, e torcemos para que venha atingir com sucesso os objetivos da disciplina.
8 Cálculo II
Destacamos alguns termos no texto do Guia cujos sentidos serão importantes para sua com- preensão. Para permitir sua iniciativa e pesquisa, não criamos um glossário, mas se houver dificuldade, interaja no Fórum de Dúvidas. Cabe, ainda, mencionar que os exemplos e exercícios presentes nesse material foram retira- dos dos livros texto que constam na bibliografia.
10 Cálculo II
Módulo 1
Integral indefinida:
técnicas de integração
Introdução
No curso de Cálculo I foi introduzido o conceito de derivada e estudadas suas propriedades. Vale a pena recordarmos que a derivada é uma propriedade local. Visto que, ao calcularmos a derivada de uma função f , o fazemos com relação a um dado ponto p pertencente ao domíno da função estudada.
Pergunta. Seja y = f (x) uma função real. Vo ê se re orda de omo representamos a
derivada da função f^?
Se y = f (x) é uma função real, ou seja, f : R −→ R, é usual representarmos a derivada de f por:
y′ f ′ (x) ⇒ para as três notações, lê-se derivada da função f (x) com relação a x. df Cálculo II 11
- Se f é a função cotangente , isto é, f (x) = cotg(x), então a derivada da função f , em relação à variável x, é dada por f ′ (x) = −cosec^2 (x).
- Se f é a função secante , isto é, f (x) = sec(x), então a derivada da função f , em relação à variável x, é dada por f ′ (x) = sec(x) · tg(x).
- Se f é a função cossecante , isto é, f (x) = cosec(x), então a derivada da função f , em relação à variável x, é dada por f ′ (x) = −cosec(x) · cotg(x).
- Se f é a função arco seno , isto é, f (x) = arc sen(x), então a derivada da função f , em relação à variável x, é dada por f ′ (x) = (^1) Cálculo I I 13
Integrais imediatas
Pare e Pense. Professor, p or que estamos re ordando o on eito de derivada sendo que
neste mó dulo queremos estudar integrais?
Suponha que, em um dia comum de aula, o professor de cálculo adiantou-se alguns minutos e deixou escrito no quadro a igualdade:
f ′ (x) = cos(x).
À medida que os alunos foram chegando para a aula, observaram na lousa a igualdade e imedi- atamente perceberam qual função o professor estava procurando. Observe que a igualdade f ′ (x) = cos(x) nos reporta para a seguinte pergunta:
Qual função devo derivar para obter a função cosseno?
Como vimos anteriormente, se f (x) = sen(x), então f ′ (x) = cos(x) e, portanto, a resposta para a pergunta é:
f (x) = sen(x).
Neste caso, dizemos que a função f (x) = sen(x) é chamada de primitiva ou antiderivada da função f (x) = cos(x).
Observação. Sempre que existir uma função F (x) tal que
F ′ (x) = f (x)
para to do x p erten ente a um intervalo I, dizemos que a função F é uma primitiva ou
anti-derivada da função f.
14 Cálculo II
Observação. Não existe uma úni a primitiva para uma dada função f , mais pre isamente,
se F é uma primitiva da função f , então Fc(x) = F (x) + c, tamb ém é uma primitiva de f ,
para to do c ∈ R.
Já vimos que uma função f pode ter várias primitivas F. Por outro lado, de acordo com a lista de funções deriváveis que recordamos anteriormente, é possível afirmar que a maior parte das funções estudadas no curso de Cálculo I possui pelo menos uma primitiva.
Pergunta. Quando derivamos, o pro esso para se en ontrar a derivada é hamado de
derivação. Há um nome para o pro esso para se en ontrar a primitiva de uma função?
Existe uma notação que nos p ermita identi ar o pro esso para se obter uma primitiva?
Damos o nome de integração ao processo realizado para se encontrar uma primitiva de uma dada função. Simbolicamente, quando estamos calculando uma primitiva, utilizamos: ˆ f (x) dx : integral def com relação a x.
Mais precisamente, o símbolo
f (x) dx nos diz:
“ qual a familia de funções F (x), devo derivar com relação a x, para obter a função f (x)”.
Decompondo
f (x) dx, temos: ˆ : sinal de integração f (x) : função integrando f (x) dx : integrando dx : identifica a variável de integração.
16 Cálculo II
Observação. Se f é uma função que p ossui primitiva F , então:
f (x) dx = F (x) + c se, e somente, se F ′ (x) = f (x).
Utilizando a lista de funções diferenciáveis, podemos calcular imediatamente as integrais:
TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS Cálculo II 17
Pergunta. O resultado que a abamos de veri ar é uma parti ularidade das funçõ es
f (x) = x^3 e g(x) = cos(x), ou é válido para quaisquer funçõ es deriváveis?
O resultado obtido utilizando as funções f (x) = x^3 e g(x) = cos(x) pode ser estendido a qualquer função derivável.
Considere F (x) e G(x) primitivas das funções f (x) e g(x), respectivamente. Dessa forma, temos que: (^) ˆ
f (x) dx = F (x) + c 1 e
g(x) dx = G(x) + c 2. (1.3)
Afirmamos que a função H(x) = F (x) + G(x) + c 1 + c 2
é uma primitiva da função h(x) = f (x) + g(x).
De fato, d Cálculo II 19
Observação. Sejam f : I ⊂ R −→ R e g : I ⊂ R −→ R funçõ es reais om primitivas
F (x) e G(x), resp e tivamente. Então:
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) dx +
g(x) dx,
ou seja,
a integral da soma de funçõ es é sempre a soma das integrais.
Pergunta. Professor, sab endo al ular a integral
sec^2 (x) dx é p ossível al ular a integral
ˆ (^) ( (^) π
20 Cálculo II