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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR I
ANTONIO CARLOS BASSO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA
APONTAMENTOS DE AULA
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Apostila ga I, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
Tudo sobre Matrizes
Tipologia: Notas de estudo
2012
1 / 52
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR I
ANTONIO CARLOS BASSO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA
APONTAMENTOS DE AULA
MATRIZES
1.1 INTRODUÇÃO
Nesta seção, apresentaremos os conceitos básicos sobre Matrizes^1. Estes conceitos
aparecem naturalmente no estudo da Álgebra Linear e são essenciais, não apenas porque eles ordenam e simplificam o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.
Definição:
Uma matriz 𝑨𝒎×𝒏 é um quadro retangular de 𝒎𝒏 elementos dispostos em 𝒎 linhas
(horizontais) e 𝒏 colunas (verticais).
Representaremos uma matriz de ordem 𝒎 × 𝒏 , ou seja, m linhas e n colunas por:
ij mn
m m mn
n
n
mxn a
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
, 𝑜𝑛𝑑𝑒
O símbolo aij representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna.
As matrizes também podem ser representadas por parênteses ou duas barras. (Cuidado
não use uma barra , pois essa notação é exclusiva para o estudo dos Determinantes).
Por exemplo:
(^) ij (^) mn
m m m
n
n
m n a
a a a
a a a
a a a
A (^)
1 2 2
21 22 2
11 12 1
ou ijmn
m m mn
n
n
m n a
a a a
a a a
a a a
A (^)
1 2
21 22 2
11 12 1
Se 𝑚 = 𝑛, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem n e que os elemetos:
𝑎 11 𝑎 22 … 𝑎𝑛𝑛 formam a diagonal principal de 𝐴.
_________________________
(^1) Embora o termo matriz tenha sido usado pela vez em 1848 por James Sylvester (1814-1897),
foi Arthur Cayley (1821-1895) quem primeiro considerou matrizes como conceito especial, em uma artigo de 1858 intitulado “Uma memória sobre a teoria das matrizes”.
1.2.1 Matriz Nula
É a matriz cujos os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 e 𝑗, tais como:
0 0 0 = 0 0 0 0
Usualmente indicamos uma matriz nula (independente do seu formato) por 0.
1.2.2 Matriz Diagonal
É matriz quadrada que apresenta os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 se 𝑖 ≠ 𝑗, tais como:
1.2.3 Matriz Identidade ou Matriz Unidade 𝑰𝒏
É a matriz diagonal que apresenta 𝑎𝑖𝑗 = 1 se 𝑖 = 𝑗, exemplos:
I 2
I 4
1.2.4 Matriz Linha
É a matriz que apresenta uma única linha (𝑚 = 1) , tais como:
1 3 , 2 1 3 , 1 3 1 0 4
1.2.5 Matriz Coluna
É a matriz que apresenta uma única coluna 𝑛 = 1 , tais como:
Obs. É o tipo de matriz usada para representar vetores em 𝑅𝑛^.
No decorrer do curso apresentaremos mais algumas matrizes ditas especiais.
1.3 Igualdade de Matrizes
Definição:
Duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚 ×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]𝑚×𝑛 são iguais se , 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 ou seja, se os
elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo 1. Calcule os valores reais de 𝑥, 𝑦 e 𝑧 para que as matrizes
y
x
A
e
B z 3 sejam iguais.
Comparando os elementos correspondentes, verificamos que existe a possibilidade da
igualdade se, e somente se :
𝑥^2 − 1 = 8
𝑦 + 3 = 2 𝑧^3 = 8
, resolvendo as equações, temos:
𝑥^2 − 1 = 8 𝑦^ +2 3 = 2 𝑧^3 = 8
𝑥^2 = 9 𝑦 + 2 = 6 𝑧 = 3 8 = 2
Resposta: 𝑥 = ±3, 𝑦 = 4 e 𝑧 = 2.
1.4 Adição Matricial
Definição:
Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 𝑚×𝑛 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑛 , então a soma das matrizes 𝐴 e 𝐵 é a matriz
𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑛 , definida por
Ou seja, C é a matriz cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵.
Exemplo 1. Se 𝛼 = − 5 e
A ,então
Propriedades da multiplicação por escalar
Se α e β são números reais e 𝑨 e 𝑩 matrizes de mesma ordem, então
a) 𝜶 𝜷 𝑨 = (𝜶𝜷)𝑨
b) 𝜶 + 𝜷 𝑨 = 𝜶𝑨 + 𝜷𝑨
c) 𝜶 𝑨 + 𝑩 = 𝜶𝑨 + 𝜶𝑩
d) 𝟏𝑨 = 𝑨
Exemplo 2. Dadas a matrizes
A ,
B e
C. Calcule a
matriz 𝑋, tal que 2 𝐴 + 𝑋 + 𝐵 = 3 2 𝑋 − 𝐶.
Isolando a matriz 𝑋
2 𝐴 + 2𝑋 + 𝐵 = 6𝑋 − 3 𝐶
2 𝑋 − 6 𝑋 = − 2 𝐴 − 𝐵 − 3 𝐶
4 𝑋 = 2𝐴 + 𝐵 + 3𝐶
1 4 2 𝐴^ +^ 𝐵^ + 3𝐶
1 4
5 2 7 4 −^
1 2 11 4 1
Resposta: 𝑋 =
5 2 7 4 −^
1 2 11 4 1
Exemplo 3. Dadas as matrizes 𝐴 = 2 −^1 1 3
e 𝐵 = 1 2 4 0
. Determine as matrizes 𝑋 𝑒 𝑌, tais
que: 3 𝑋^ + 2𝑌^ =^ 𝐴 5 𝑋 + 4𝑌 = 2𝐵
Para encontrar as matrizes 𝑋 𝑒 𝑌, é necessário resolver o sistema linear (qualquer método ). Usando então as operações elementares, multiplique a linha 1 por 5, a linha 2 por 3 ,
troque os sinal de uma das linhas e some, eliminando-se a variável matriz 𝑋 , determina-se 𝑌.
1 2 −^5
1 2
1 2
1 2 (−^5 𝐴^ + 6𝐵)^ ⋮^ 𝑌^ =^
19 2 −^
15 2
Para encontrar a matriz 𝑋 , substitui 𝑌 no sistema (qualquer linha) ou faz – se o mesmo
procedimento isolando a matriz 𝑌. Então isolando 𝑌,
Multiplicando a linha 1 por 2, trocando o sinal e somando com a linha 2, temos
− 6 𝑋 − 4 𝑌 = − 2 𝐴 ⋮ 𝑋 = 2 2 −^1
5 𝑋 + 4𝑌 = 2 𝐵 ⋮ 𝑋 = 4 −^2
+ −^2 −^4
−𝑋 = − 2 𝐴 + 2𝐵 ⋮ 𝑋 = 2 −^6
Resposta: 𝑋 = 2 −^6 − 6 6
e 𝑌 =
17 2 19 2 −^
15 2
1.7 Notação de Somatório
Faremos aqui uma breve revisão (o necessário para definição de multiplicação de
matrizes) desta notação compacta e útil, que é amplamente usada na matemática.
O símbolo
n
i
ai 1
, representa a seguinte soma:
A letra 𝑖 é chamada de índice do somatório e pode ser substituída por qualquer letra. Assim podemos escrever
n
j
n
k
j k
n
i
ai a a 1 1 1
Exemplo1. Calcule:
2 𝑖^
4
𝑖=
Exemplo 2. Escreva na forma expandida
n
i
ri ai 1
𝑛
𝑖=
Exemplo 3. Escreva na forma expandida (Importante entender, será usado no item seguinte) :
a)
5
1
1 1 k
ak bk ,
5
k= 1
4
𝑖 = 1
b)
5
1
1 2 k
ak bk ,
5
k= 1
c)
5
k 1
amkbkn ,
5
k= 1
d)
p
k
amkbkn 1
p
k= 1
1.8 Multiplicação Matricial
Definição
Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 𝑚 ×𝑝 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 𝑝×𝑛 , então o produto de 𝐴 e 𝐵 é a matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 𝑚×𝑛 , definida
por
cij = 𝑎𝑚𝑘 𝑏𝑘𝑛 =𝑎𝑖 1 𝑏 1 𝑗 + 𝑎𝑖 2 𝑏 2 𝑗 + 𝑎𝑖 3 𝑏 3 𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗
p
k=
Onde, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Exemplo 1. Sejam 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (^) 2×3 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (^) 3×2, 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 (^) 3×1e 𝐷 = 𝑑𝑖𝑗 (^) 2×2 Verifique se é
possível ocorrer a multiplicação e caso seja possível dê a ordem da matriz resultante, nas operações entre as matrizes indicadas abaixo:
a) 𝐴𝐵
Para que seja possível a multiplicação, o número de coluna da matriz 𝐴 tem que ser
igual ao número de linhas da matriz B e a matriz resultante terá ordem igual ao número de linhas da coluna 𝐴 e o número de colunas da matriz 𝐵( conforme definição), logo:
𝐴2×3. 𝐵3×2 = 𝐴𝐵2×
c) 𝐴. 𝐶
. 2 −^1
d) 𝐷. (𝐴 + 𝐵)
e) 𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵
𝐶^2 = 𝐶. 𝐶 = 2 −^1
. 2 −^1
= 3 −^5
𝐴𝑇^. 𝐵 = −^1 3
= −^11 −^5
𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵 = 3 −^5
− −^11 −^5
𝐶^2 − 𝐴𝑇^. 𝐵 = 14 0
Propriedades da Multiplicação Matricial
a) Em geral 𝑨. 𝑩 ≠ 𝑩. 𝑨 Notas: 1. Além de ser diferentes pode acontecer que, um membro pode estar definido e o outro não.
- Até podem ser iguais. ( Os casos especiais serão estudados mais adiante)
b) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 𝑩𝑪 = 𝑨𝑩 𝑪
c) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 𝑩 + 𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝑨𝑪
d) Se 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 têm ordens (formas) apropriadas, então 𝑨 + 𝑩 𝑪 = 𝑨𝑪 + 𝑩𝑪
e) Se 𝐴 𝑒 𝐵 têm ordens (formas) apropriadas e 𝛼 ∈ 𝑅, então 𝑨 𝜶𝑩 = 𝜶(𝑨𝑩)
f) Se 𝐴 𝑒 𝐼 têm formas apropriadas, então 𝑨𝑰 = 𝑰𝑨 = 𝑨
g) Se 𝑨 𝑒 𝟎 são têm formas apropriadas, então 𝟎𝑨 = 𝟎 e 𝑨𝟎 = 𝟎 (onde a matriz 0 é a matriz nula)
Nota: Pode ocorrer 𝑨𝑩 = 𝟎 sem que 𝑨 ou 𝑩 sejam nulas.
h) 𝑨𝑩 𝑻^ = 𝑩𝑻𝑨𝑻
1.8.1 Potências inteiras não negativas de uma matriz quadrada A de ordem n.
- Se 𝒑 é um número inteiro positivo, definimos então 𝑨𝒑^ = 𝑨. 𝑨. ⋯. 𝑨 𝒑
- Se 𝒑 = 0, definimos também 𝑨𝟎^ = 𝑰𝒏
Propriedades. Seja 𝑨 uma matriz de ordem n , 𝒑 ≥ 𝟎 e 𝒒 ≥ 𝟎, então
a) 𝑨𝒑𝑨𝒒^ = 𝑨𝒑+𝒒
b) (𝑨𝒑)𝒒^ = 𝑨𝒑𝒒
Cuidado! Em geral 𝑨𝑩 𝒑^ ≠ 𝑨𝒑𝑩𝒑^. Só ocorre a igualdade no caso em que 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨.
Exemplo1. Dada a matriz 𝐴 = 1 −^2 3 2
. Calcule: a) 𝐴^0 , b) 𝐴^2 e c) 𝐴^3.
a) 𝐴^0 = 𝐼 2 = 1 0 0 1
b) 𝐴^2 = 𝐴. 𝐴 = 13 − 22. 13 − 22 = −^5 −^6 9 − 2
c) Aplicando a propriedade associativa da multiplicação matricial, temos 𝐴^3 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 = 𝐴^2. 𝐴 = 𝐴. 𝐴^2 Neste caso, constatamos a comutatividade e podemos fazer uso dela,
𝐴^3 = 𝐴^2. 𝐴 = −^5 −^6
. 1 −^2
= −^23 −^2
𝐴^3 = 𝐴. 𝐴^2 = 1 −^2
. −^5 −^6
= −^23 −^2
6) 2C+F – G
7) 3(𝐶 − 𝐸)𝑇^ − 2 𝐶𝑇
8) Determinar a matriz X, tal que 2 X A 3 B , nos casos:
a) 𝐴 = 2 4 0 1
e 𝐵 = −^1 − 2 1
b) 𝐴 =
e 𝐵 =
- Sejam as matrizes
e 0 3 5
A B
e um número real,
encontre as matrizes indicada abaixo. a) 𝐴 − 𝜆𝐼 2.
b) 𝐵 − 𝜆𝐼 3
- Sejam
e.
A B
Calcule: a) 𝐴𝐵 e b) 𝐵𝐴
Obs.:
Se 𝒂 e 𝒃 são números reais, então 𝒂𝒃 = 𝟎 só é válido se 𝒂 ou 𝒃 for zero. Este resultado, no entanto, não é válido para matrizes. Se 𝒂 e 𝒃 são números reais, então 𝒂𝒃 = 𝒃𝒂. Esta Propriedade (COMUTATIVA), no entanto, não é válido para matrizes.
- Sejam
, B= e
A C
. Calcule: a) 𝐴𝐵 e b) 𝐴𝐶
Obs.: Se a, b e c são números reais para os quais ab = ac e a 0 , então b = c ,
isto é podemos cancelar 𝒂. No entanto esta propriedade não é válida para as matrizes. No exemplo constatamos que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐵 ≠ 𝐶.
- Se
, B= , C= e D=
A
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
Encontre as matrizes indicadas abaixo: 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 e 𝐴𝐷.
13) Verifique a propriedade associativa A BC ( ) ( AB C ) através do cálculo de ambos
os membros da igualdade, nos casos:
a)
, e C=
A B
b)
2 1 , B= e C=
A
- Seja
A
. Encontre a matriz 2 A^3^ 3 A^2 4 A 5 I 2.
15) Faça as operações 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 e note que AB BA I ,quando isto acontece dizemos
que as matrizes 𝐴 𝑒 𝐵 são Inversas (estudaremos este assunto no capítulo seguinte).
a)
e
A B
b)
A B
^ ^ ^
- Faça as operações indicadas e note as matrizes
A e
B são
inversas e reflita sobre as operações dos itens b e c.
a)
Note que AB BA I ,
b)
Observe que 𝐴. 𝑋 = 𝑌
c)^16
Enquanto que a matriz 𝐵 que é a inversa da matriz 𝐴, ao multiplicar a matriz 𝑌 resulta
na matriz 𝑋.
- Faça as operações indicadas e note as matrizes
e
são
inversas e reflita sobre as operações dos itens b e c.
4. 3 𝐶 − 2 𝐸 = 42 − 511 −−^65
5. 2(𝐴 − 𝐵)𝑇^ − 3 𝐴𝑇^ = −^8
- Operações não definidas.
7. 3(𝐶 − 𝐸)𝑇^ − 2 𝐶𝑇^ =
- a) 𝑋 = −^
5 2
5 2 − 3 1
c) 𝑋 =
7 2 −^2 −^2 3 2
1 2 −^
3 2 5 2 0 −^
1 2 .
- a) 𝐴 − 𝜆𝐼 2 = −^3 −^ − 𝜆 1 2 − 𝛾^4
b) 𝐵 − 𝜆𝐼 3 =
- a) 𝐴𝐵 = 0 0 0 0
b) 𝐵𝐴 = −^8 −^16 4 8
- a) 𝐴𝐵 = 8 5 16 10
b) 𝐴𝐶 = 8 5 16 10
Note que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 e 𝐵 ≠ 𝐶.
12. 𝐴𝐵 = 25 −^10
𝐴𝐶 = 25 −^10
- a) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 = 32 51 − 2 − 17
b) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 = − 3
14. 2. 𝐴^3 + 3. 𝐴^2 + 4. 𝐴 + 5𝐼 2 = 419 1926
- a) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 = 10 01.
b) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 =
Logo as matrizes 𝐴 e B são matrizes inversas ou seja 𝐵 = 𝐴−^1.
- a) 𝐼 2 = 1 0 0 1
b) 22 32
c) 1 3
- a) 𝐼 3 =
b)
c)
- Será feito em classe.