apostila - logica, Notas de aula de Informática

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URI – Universidade Regional Integrada

Campus de Erechim

Curso de Ciência da Computação

Apostila de Lógica para a Computação

Prof. Neilor Tonin

Erechim, 4 de Agosto de 2008

Plano de ensino da disciplina: 35-324 Lógica para a Computação Departamento: 03 Engenharias e Ciência da Computação Carga horária: 60 horas Créditos: 04 EMENTA: Álgebra booleana. Proposições. Operações Lógicas sobre Proposições. Construção de Tabelas-Verdade. Tautologia, Contradições e Contingências. Implicação Lógica. Álgebra das Proposições. Método Dedutivo. Argumentos , Regras de Inferência. Validade mediante Regras de Inferência. Cálculo de Predicados. OBJETIVOS: Formalização de idéias complexas de forma mais simples. Propicia um novo ou melhor entendimento das questões relacionadas com toda a Ciência da Computação. Auxilia no desenvolvimento de aplicações e solução de problemas reais que envolvem aplicação da computação. RELAÇÃO DOS CONTEÚDOS:

1. Proposições – Conectivos:

• Valores lógicos; Proposições Simples e Proposições Compostas; Conectivos; Tabela-Verdade.

2. Operações Lógicas sobre Proposições:

• Negação; Conjunção; Disjunção; Disjunção Exclusiva; Condicional; Bicondicional;

3. Construção de Tabelas-Verdade:

• Tabela-Verdade de uma proposição composta; Número de Linhas; Construção de uma T.V.; Valor lógico

4. Tautologia, Contradições e Contingências:

• Tautologia; Princípio de substituição; Contradição; Contingência.

5. Implicação Lógica:

• Definição; Propriedades; Tautologia e equivalência Lógica;
• Proposições associadas a uma condicional;
• Negação conjunta de duas proposições; Negação disjunta de duas proposições;

6. Álgebra das Proposições
7. Método Dedutivo: Formas normais; Princípio da dualidade;
8. Argumentos , Regras de Inferência:

• Definição; Validade; Critério; Condicional Associada; Argumentos Válidos;
• Regras de Inferência; Validade mediante as Regras de Inferência

9. Cálculo de Predicados:

• Quantificadores e Variáveis; Predicados e nomes próprios; Regras de formação;
• Regras de inferência para o quantificador universal;
• Regras de inferência para o quantificador existencial;
• Teoremas e regras de equivalência do quantificador;
• Identidade. BIBLIOGRAFIA BÁSICA (LIVROS TEXTOS): Sérates, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8 ed – Brasília:Editora Jonofon LTDA, 1998. Nolt, J; Rohatyn, D. Lógica. Coleção Schaum, McGraw-Hill, Inc., 1991. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (LIVROS REFERENCIADOS): James L. Hein. Discrete Structures, Logic and Computability; Jones & Bartlett 1995. H. B. Enderton. A mathematical introduction to logic, Academic Press, 2ed. 2001. D. M. Gabbay. Elementary Logics: a procedural perspective, Prentice Hall, 1998. Alencar Filho, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. 8 ed. São Paulo: Ed. Nobel, 1976. Mendelson, B. Introduction to Mathematical Logic. Princeton, NJ, Van Nostrand, 1964. Cálculo da média semestral: (P14 + P24 + T*2 ) / 10 onde: P1 = Primeira prova P2 = Segunda prova T = Trabalho

Assim, o que os princípios da não-contradição e do terceiro excluído afirmam é que: Toda proposição pode assumir um, e somente um, dos dois valores: F ou V ( 0 ou 1 respectivamente). Exercício:

2. Dar os valores lógicos das proposições abaixo, isto é, atribua V ou F para cada uma delas. a) 3+5= b) A lua é um satélite da terra. c) Colombo descobriu o Brasil. d) Pedro Álvares Cabral descobriu a Colômbia. e) o número 11 é primo. f) (8-3)^2 = 8^2 - 3^2 g) Um número divisível por 2 é par h) 1 e -1 são raízes da equação x^2 -1=

1.2 – Proposições simples e Proposições compostas

As proposições podem se classificadas como simples ou compostas. A proposição simples é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. A proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições simples através de um elemento de ligação denominada conectivo. Ex.: Proposição simples P : Zenóbio é careca. Q: Pedro é estudante R: O número 25 é um quadrado perfeito Proposições compostas P: Zenóbio é careca e Pedro é estudante Q: Zenóbio é careca ou Pedro é estudante R: Se Zenóbio é careca, então é feliz As proposições compostas são também chamadas de fórmulas proposicionais. Constrói-se uma proposição composta a partir de duas ou mais proposições simples e do uso de conectivos.

1.3 – Conectivos

Definição: Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar proposições compostas a partir de proposições simples. Temos 1 conectivo unário e 4 conectivos binários. Ex.: P: O número 6 é par e o número 8 é o cubo do número 2 Q: O triângulo ABC é retângulo ou o triângulo ABC é isósceles R: Não está chovendo S: Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo (subentende .. o triângulo ABC...) Podemos considerar como conectivos usuais da lógica as palavras grifadas, isto é: E, Ou, Não, Se ... Então..., ... Se e somente se... (sse) Exercício:

3. Dentre as proposições do exercício 1, quais são: a) Simples: b) Compostas:

1.4 – Tabela-Verdade

Construção das tabelas - verdades : Segundo o princípio do terceiro excluído , toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). P V F

V

P

F

O valor lógico de uma expressão composta depende unicamente dos valores lógicos das expressões simples que compõem a mesma. Admitindo isso, recorre-se a um dispositivo denominado tabela – verdade para aplicar este conceito na prática. Na tabela – verdade figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Assim, por exemplo, uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q pode ter as possíveis atribuições: p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Neste caso, as combinações entre os elementos são: VV, VF, FV e FF. As tabelas - verdade são construídas como arranjos dos elementos componentes, e como um elemento pode receber somente os valores V ou F, o tamanho de uma tabela é dado pela quantidade de elementos combinados: No caso de uma proposição composta com 3 elementos , teríamos 8 combinações possíveis : VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF. p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F Observação 1: a ordem das letras pode ser diferente e a combinação entre as letras também pode ser dirente da apresentada acima. Deve-se somente tomar o cuidado de não repetir duas combinações (2 linhas c/ VVF, por exemplo). Observação 2: Para construirmos as tabelas – verdade podemos usar as seguintes regras. O número de linhas sempre depende do número de elementos combinados, e como uma proposição pode assumir os valores V ou F , o número de linhas de uma tabela – verdade é dado por 2n. 1 elemento : 2 l^ linhas = 2 linhas 2 elementos: 2^2 linhas = 4 linhas 3 elementos: 2 3 linhas = 8 linhas 4 elementos: 2 4 linhas = 16 linhas Para construir a tabela inicia-se sempre atribuindo V, F,V, F,... para o elemento mais à direita da tabela, V, V, F, F,... para o segundo elemento da direita para a esquerda, V, V, V, V, F, F, F, F, ... para o terceiro elemento à partir da esquerda e assim, sucessivamente. Exercício: construa uma tabela – verdade para 4 elementos: p, q, r, s.

1.5. Notação

O valor lógico para uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeiro escrevendo: V(p) = V. Analogamente, pode-se exprimir que a proposição p tem o valor falso utilizando-se V(p) = F. Considerando, por exemplo, as seguintes proposições simples: p: O Sol é verde q: um hexágono tem 6 lados r: 2 é um número ímpar s: um triângulo tem 4 lados Temos: V(p)=F V(q)=V V(r) =F V(s) =F

p: A neve é branca  V 

q: 2  5  V  }

p. q: A neve é branca e 2 < 5 (V) V (p. q) = V(p). V(q) = V. V = V (2)

p : O enxofre é verde  F 

q: 7 é um número primo  V }

p ^ q : O enxofre é verde e 7 é um número primo (F) V (p ^ q) = V(p) ^ V (q) = F ^ V = F

2.3. Disjunção ( v , + )

Definição: chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade( V ) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p + q”, que se lê: “p ou q”. O valor lógico da disjunção de duas proposições é, portanto definido pela seguinte tabela – verdade: p q p + q V V V V F V F V V F F F V (p + q) = V (p) + V (q) Exemplos:

p: Paris é a capital da França  V 

q: 9 − 4 = 5  V  }

p + q: Paris é a capital da França ou 9 – 4 = 5 (V) V (p + q) = V(p) + V(q) = V + V = V (2)

p: Camões escreveuos Lusíadas  V 

2  2 = 3  F  }

p + q : CAMÕES escreveu os Lusíadas ou 2 + 2 = 3 (V) V (p + q) = V(p) + V(q) = V + F = V

2.4. Disjunção Exclusiva ( ⊕, + )

Na linguagem comum a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, p. ex., consideremos as duas seguintes proposições compostas: P : Carlos é médico ou professor Q: Mário é alagoano ou gaúcho Na proposição P se está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos é médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: “Carlos é médico e professor”. Mas, na proposição Q, é óbvio que uma e somente uma das proposições “Mário é alagoano”, “Mário é gaúcho” é verdadeira, pois, não é possível ocorrer “Mário é alagoano e gaúcho”. Na proposição P diz-se que “ou” é inclusivo , enquanto que, na proposição Q, diz-se que “ou” é exclusivo.

Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo “+” para “ou” inclusivo e os símbolos “+, ⊕” para “ou” exclusivo. Assim sendo, a proposição P é a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples “Carlos é médico”, “Carlos é professor”, isto é: P: Carlos é médico + Carlos é professor A proposição Q é a disjunção exclusiva das proposições simples “Mário é alagoano”, “Mário é gaúcho”, isto é: Q: Mário é alagoano ⊕ Mário é gaúcho De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por “p ⊕ q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e falsidade(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela seguinte tabela – verdade: p Q (^) p ⊕ q V V F V F V F V V F F F

2.5 Condicional ( → ):

Definição: chama-se condicional uma proposição representada por “se p então q” cujo valor lógico é falsidade ( F ) quando p é verdadeira e q é falsa e verdade ( V ) nos outros casos. Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a notação “p→q” e pode ser lida das seguintes formas: I. p implica q II. se p então q III. p é condição suficiente para q IV. q é condição necessária para p Na condicional “p→q” , diz-se que p é o antecedente e o q o conseqüente. O símbolo “→” é chamado de implicação. Considere o seguinte exemplo: João trabalha em uma estação meteorológica e faz a seguinte afirmação no dia 03 de março: Se a umidade subir acima de 90 %, então choverá em menos de 24 horas p: A umidade sobe acima de 90 % q: Choverá em menos de 24 horas. Até o dia 05, embora a umidade estivesse a 95 % durante as últimas 48 horas, não choveu. Isso significa que a afirmação feita anteriormente era falsa, ou seja: V(p  q) : F | V(v  f): F  Isso significa que sempre que o antecedente for verdadeiro, o conseqüente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira. O condicional não afirma a veracidade do antecedente e do conseqüente, mas a relação existente entre eles. Ex2.: Se João é Engenheiro, então sabe matemática. A tabela – verdade da condicional de duas proposições é, portanto: P q (^) p→q 1 V V V 2 V F F 3 F V V 4 F F V

7. Traduza para a linguagem comum, sabendo que p: os preços são altos e q: os estoques são grandes. a) (p.q) ->p b) (p.~q) ->~p c) ~p. ~q d) p+~q e) ~(p.q) f) ~(p+q) g) ~(~p+~q)
8. Seja p a proposição “Jorge é alto” e q a proposição “Jorge é elegante”. Traduzir, para a linguagem simbólica, as seguintes proposições: a) Jorge é alto e elegante. b) Jorge é alto mas não é elegante. c) Não é verdade que Jorge é baixo ou elegante. d) Jorge não é baixo e nem é elegante. e) Jorge é alto, ou é baixo e elegante. f) Não é verdade que Jorge é baixo ou que não é elegante.
9. Determinar o valor lógico (V + F) de cada uma das seguintes proposições compostas: a) Se 1 + 2 = 5, então 3 + 3 = 6 b) Não é verdade que 2 + 2 = 7 se e somente se 4 + 4 = 9 c) DANTE escreveu os Lusíadas ou 5 + 7 < 2 d) Não é verdade que 1 + 1 = 3 ou 2^0 = 1 e) É falso que , se Lisboa é a capital da França, então Brasília é a capital da Argentina.
10. Escrever simbolicamente para p: João é esperto, q: José é tolo. a) João é esperto e José é tolo. b) João é esperto ou José é tolo. c) João é esperto e José não é tolo
11. Seja p: Vanda é aluna e q: Sílvia é professora. Escreva simbolicamente: Vanda é aluna ou não é verdade que Sílvia seja professora e Vanda seja aluna.
12. Símbolo para: Vanda tem 5 anos ou se Vanda é bonita, então, é tagarela.
13. Dar os valores das proposições abaixo: a) (8 > 2). (4 <=4) b) (6 < 10). (6 > 3/2) c) (6 < 2) + ((4-3) >=1) d) (5 > 8) ⊕ (4>3) e) (4 < 2) + (2<4) f) (8-3= 5) -> (2 <= 2) g) (8>10) -> (6-2 = 4) h) (8>10) -> (6 < 5) i) (4 < 2 ) <-> (8-2 = 15)
14. Dar o valor da proposição p nos casos adiantes: a) V(p→q) = V e V(q) = V b) V(q→p) = V e V(q) = F c) V(q+p) = F e V(q) = F d) V(q+p) = V e V(q) = V
15. Considerando V(p) = F , V(x) = F e V(y) = V a) V(((p + q). (x + y) ) → p ) = b) V(x. y → p ) = c) V(p. y. p. x ) =
16. Verificar se a informação dada é suficiente para determinar o valor da expressão: a) (p → s) → r, onde r tem o valor V b) (p+r)+(s → q), onde q tem valor F c) ((p+q ) ↔ (q.p)) → ((r.p)+q), onde o valor de q é V. d) ((p ↔ q) → p, onde o valor de q é V. e) ((p ↔ q ↔ p)→ p+q, onde o valor de q é V. f) (p+q → r.p+q), onde o valor de q é F.

3. Tabelas-verdades de proposições compostas:

Dadas várias proposições simples p,q,r,..., podemos combiná-las mediante o uso dos conectivos: ~, ., +, , ↔ e construir proposições compostas, tais como: (p.(~qp)). ~((p↔~q)(q+p)) Com o emprego das tabelas-verdades das operações lógicas fundamentais é possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada. Logicamente, o valor-verdade final depende dos valores lógicos das proposições componentes. Exercício:

17. Construir as tabelas-verdades: a) (q.r) + m b) (q+r) → ((q+s) → (p+s)) c) (p → r ) → p d) (p → r ) ⊕ p e) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r )) f) ~ (p + q) ↔ (~~p + ~q)

4. Tautologia, contradição e contingência (indeterminada)

As fórmulas proposicionais podem apresentar os seguintes casos quanto às suas tabelas-verdades: a) Última coluna da tabela-verdade apresenta somente V(s)  Fórmula tautológica  Tautologia b) Última coluna da tab. - verdade apresenta somente F(s)Fórmula contra-válidaContradição c) Última coluna da tabela-verdade apresenta V(s) e F(s)  Fórmula indeterminada Exercícios:

18. Verificar quais fórmulas são contradições, tautologias ou indeterminadas. a) p ↔ p+p b) (a → b) → ((b → c) → (a → c)) c) (a → b ). (b → a) d) ã → a ⊕ b e) a. (ã + b) f) ~(~p. q ) ↔ ~p + ~ q

5. Implicação Lógica e Equivalência Lógica

5.1. Relação de implicação: uma proposição p implica uma proposição q se e somente se p → q for uma tautologia.

Obs.: o símbolo → é de operação lógica e o símbolo ⇒ é de relação. Ex.: p. q ⇒ p ↔ q uma vez que a operação condicional → gera uma tautologia. Tabela-Verdade:

Argumentos Chama-se de argumento toda a afirmação de que várias proposições (p1, p2, ..., pn) têm por conseqüência uma outra proposição q. As proposições p1, p2, ..., pn são as premissas , e a proposição q é a conclusão do argumento. Um argumento é escrito da seguinte forma: p, p→q, q→r ├ r onde:

p, p→q, q→r ├ r

Premissas conclusão Validade de um argumento através da Tabela-verdade: Um argumento é valido quando para todas as linhas da tabela verdade onde as premissas forem verdadeiras, a conclusão também é verdadeira. Exemplo: comprove a validade dos seguintes argumentos: a) p, p→q ├ q b) p→q, q ├ p c) p ↔ q, q ├ p

Regras de Inferência

A utilização de tabelas-verdade permite validar qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso na medida que aumenta o número de proposições simples componentes dos argumentos. Para um argumento com 6 proposições (o que é bastante comum) por exemplo, é necessário construir uma Tabela Verdade com 2^6 linhas ( linhas), perspectiva nada animadora. Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento, consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premissas P1,P2, ...Pn , mediante o uso de certas Regras de Inferência. Existem 10 regras de inferência (eliminação e introdução) para cada um dos 5 operadores lógicos. Vejamos o seguinte exemplo:

C,SA, CS ├ A

a) provar pelo uso da T.V. b) O argumento é válido porque pode ser derivável pelas regras de inferência. A derivação é a seguinte:

1. C P
2. S  A P
3. C  S P
4. S (^) 1,3 MP (→ E)
5. A (^) 2,4 MP (→ E) As três primeiras suposições da resolução têm um P ao lado, indicando que cada uma delas é uma premissa. Então, deduzimos a conclusão ‘A’ em duas etapas de raciocínio. A primeira etapa é das linhas 1 e 3 para a linha 4. A Segunda etapa é das linhas 2 e 4 para 5. Os números à direita denotam as linhas das quais 4 e 5 são derivadas. As duas etapas tem a mesma forma. Cada uma delas é uma instância da primeira das 10 regras de inferência, denominada modus ponens que chamaremos ‘MP’. a) Modus Ponens : do condicional () e seu antecedente, podemos inferir seu consequente. Modus ponens é a regra de eliminação para condicional. Ex.: Prove: ~P (Q R), ~P,Q ├ R b) Eliminação da negação (~E): a partir de uma expressão p, podemos inferir p. Ex: Não é verdade que Getúlio Vargas não foi presidente. Ex.: Prove: Prove: ~P Q, ~~~P ├ Q

As 10 regras de Inferência

1. Modus Ponens : do condicional () e seu antecedente, podemos inferir seu consequente. Modus ponens é a regra de eliminação para condicional. 2. Eliminação da negação (~E): a partir de uma expressão ~~α, podemos inferir α. Ex: Não é verdade que Getúlio Vargas não foi presidente. 3. Introdução da conjunção (.I): a partir de duas expressões quaisquer α e β, podemos inferir a conjunção das duas expressões: 1. p 2. q 3. p.q 1,2 .I 4. Eliminação da conjunção (.E): De uma conjunção qualquer, podemos inferir qualquer um dos seus conjunctos: 1. p.q 2. q 1 .E 5. Introdução da disjunção (+I): a partir de uma expressão qualquer α, podemos inferir a disjunção de φ com outra fórmula proposicional (expressão) qualquer (α pode ser o primeiro ou o segundo disjuncto desta disjunção). 1. p 2. p+q 1 +I Ex: Hoje é sexta-feira. Se a afirmação for verdadeira, a afirmação: Hoje é Sexta-feira ou Sábado também é verdadeira. 6. Eliminação da disjunção (+E): De expressões quaisquer, na seqüência α+β, αδ e βδ, podemos inferir a expressão δ. 1. p+q 2. p  r 3. q  r 4. r 1,2,3 +E Dessa forma, a partir das premissas: hoje é Sábado ou hoje é Domingo, se hoje é Sábado então é um fim de semana (S F), se hoje é Domingo então é um fim de semana, segue se hoje é um fim de semana. Prove. 7. Introdução do bicondicional ( ↔ I) : de duas expressões quaisquer, na forma αβ e βα, podemos inferir a expressão α↔β. 1. p  q 2. q  p 3. p ↔ q 1,2 ↔ I. 8. Eliminação do bicondicional ( ↔ E) : de uma expressão qualquer, na forma α↔β, podemos então inferir αβ ou β α. 1. p ↔ q 2. p  q 1, ↔ E. As regras 9 e 10 diferem das 8 demais por empregarem raciocínio baseado em hipóteses. As hipóteses não são declaradas como verdadeiras, elas são “artifícios lógicos”, as quais acolhemos temporariamente como um tipo especial de estratégia de prova. Suponha que um corredor machucou o joelho, uma semana antes de um grande jogo, e temos que persuadí-lo a parar de correr por alguns dias a fim de que o seu joelho sare. Afirmamos: “Se você continuar correndo, não poderá jogar na próxima semana”. Sua resposta: “Me prove isso”. Tem-se então as seguintes premissas: a) Seu joelho está inchado. b) Se seu joelho está inchado e você continuar correndo, ele não irá sarar em uma semana. c) Se seu joelho não sarar em uma semana, você não estará apto a jogar o próximo jogo. 9. Introdução da implicação ou Prova do condicional (  I ou PC). Dada a derivação de q a partir de uma hipótese p, podemos descartar a hipótese e inferir p  q. Ex. Prove o argumento anterior. Premissas: I: Joelho Inchado C: Continuar correndo S: Joelho irá sarar em uma semana A: Estará apto a jogar na próxima semana. A partir dessas premissas, quer-se concluir que: Se o jogador continuar correndo, não estará apto a jogar na próxima semana 10. Introdução da negação ou Redução ao absurdo (~I ou RAA). Dada a derivação de uma contradição a q.~q partir de uma hipótese p, podemos descartar a hipótese e inferir ~p. Dessa forma, se assumirmos p como hipótese e ao final temos q. ~q, concluimos o contrário da hipótese (~p) por RAA. Ex. Prove: p q, ~q ├ ~p

1. p  q p
2. ~q p
3. p H
4. q 1,3 MP
5. q. ~q 2,4 .I
6. ~p 3,5 RAA

Teoremas Teorema se diferencia de argumento pelo fato de não ter nenhuma premissa, somente conclusão. Sua prova é então baseada somente em hipóteses, que são descartadas por PC ou RAA. Exemplos: ├ P → (P+Q) ├ P → ((P → Q) → Q) ├ P ↔ ~~P ├ P + ~P Vimos em uma aula anterior equivalência lógica. Quando a bicondicional entre duas expressões resultar em uma tautologia dizemos que essas expressões são equivalentes. Através das regras de inferência podemos também provar a equivalência lógica entre duas expressões. Exemplo: para provar a equivalência entre as expressões: ~(P.Q) e ~P + ~Q representaríamos como na letra a): ├ ~(P.Q) ↔ ~P + ~Q ├ ~(P+Q) ↔ ~P. ~Q

Estratégias para provas

Não há uma forma única de se construir uma prova. Se um argumento pode ser provado, ele pode ser provado por diferentes trocas de regra. Então, algumas estratégias ajudam, embora alguns problemas requeiram ainda, habilidade e engenhosidade. Estratégias para prova. Se a conclusão for Então faça Fórmula atômica Fórmula negada Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional Se nenhuma ação parece ser imediata, coloca-se como hipótese a negação da conclusão para RAA. Se isso for bem - sucedido, então a conclusão pode ser obtida depois de RAA por ~E. Coloca-se como hipótese a conclusão, sem o símbolo da negação, para RAA. Se resultar uma contradição, a conclusão pode ser obtida por RAA Prove cada um dos conjunctos, separadamente e então faça a conjunção deles com .I.

• Tenta-se provar os condicionais necessários para +E caso tenha + nas premissas.
• Se não der certo pode-se usar como hipótese a negação da conclusão e tenta-se RAA.
• Pode-se também provar um dos seus disjunctos e aplicar +I. Coloca-se como hipótese o seu antecedente e deriva-se o seu conseqüente por PC. Use PC, duas vezes, para provar os dois condicionais necessários para se obter conclusão por ↔ I.

As 10 regras de Inferência (permitido utilizar em prova)

1. Modus Ponens : (  E) (MP) do condicional (α β) e seu antecedente (α), podemos inferir seu conseqüente (β).
2. Eliminação da negação (~E): a partir de uma expressão ~~α, podemos inferir α.
3. Introdução da conjunção (.I): a partir de duas expressões válidas quaisquer α e β, inferimos conjunção das duas: α.β.
4. Eliminação da conjunção (.E): De uma conjunção qualquer α.β, podemos inferir α ou β.
5. Introdução da disjunção (+I): a partir de uma expressão α, podemos inferir a disjunção de α com qualquer expressão.
6. Eliminação da disjunção (+E): De expressões quaisquer, na seqüência α+β, αδ e βδ, podemos inferir δ
7. Introdução do bicondicional ( ↔ I) : de duas expressões quaisquer, na forma αβ e βα, podemos inferir α ↔β.
8. Eliminação do bicondicional ( ↔ E) : de uma expressão qualquer, na forma α ↔β, podemos então inferir αβ ou βα.
9. Introdução da implicação (  I) (PC). Derivando β a partir de uma hipótese α, descartamos a hip. α e inferimos αβ.
10. Introdução da negação (~I ou RAA). Derivando β+~β a partir de uma hipótese α, descartar a hip. e inferimos ~α.

Regras de Equivalência ou Álgebra das proposições

1. Lei da dupla negação:  ⇔ 

2. Idempotência: ⋅ ⇔  |  ⇔ 

3. Comutatividade: ⋅ ⇔ ⋅ |  ⇔ 

4. Associatividade: α.(β.γ) ⇔ (α.β).γ

5. Distributivas: α.(β+γ) ⇔ (α.β) + (α.γ)

6. De Morgan ⋅ ⇔  |  ⇔ ⋅

7. Eliminação da Condicional: α→β ⇔ 

8. Eliminação da Bicondicional: α ↔ β ⇔ ⋅⋅

9. Regras para Absorção:

a) ⋅ ⇔  | ⋅ ⇔ 

b) ⋅ ⇔ 

c) ⋅ ⇔ F

d)  ⇔ V

e) ⋅ V^ ⇔ 

f) ⋅ F^ ⇔ F

g)  V^ ⇔ V

h) ^ F^ ⇔ 

Forma Normal Disjuntiva

Literais : São letras sentenciais ou negações de letras sentenciais: a, ã, p

Conjunção fundamental : conjunção de 2 ou mais literais sem repetir a letra sentencial: a.b, ã.c, ~b.c

Forma Normal Disjuntiva : Diz-se que uma expressão está na FND se:

a) é uma letra sentencial,

b) uma conjunção fundamental ou

c) a disjunção de 2 ou mais conjunções fundamentais, nenhuma das quais incluída em outra.

Assinale as expressões que estão na FND:

( ) a.b.~c

( ) a.b + c

( ) a

( ) ã.b + ã.b

( ) a.~b.~c + a.b + a.~c

( ) a.b + c

( ) ã + ã.b

( ) a.b + c.~b

Exercícios

Para cada uma das expressões abaixo:

a) utilizando as regras de equivalência, transforme a expressão para F.N.D.

b) simplifique a expressão ao máximo

1. a. b  b

2. a.  b  b

3. b.a  a

4. b.a  a

5. a.  b  b

6. a.   b  b

7. b.  a  a

8. b.  a  a

9. b. a  a

10. a.  b  b

11. x. y  y

12. a.  x  x

13. a.  y   y

14. x.   y  x

15. y.  x  x

16. y.  x  x

17. y. x  x

18. a.b  b  a

19. a.b  a. y. x

20. x.a. y.b  x.a

21. y.  x  x.y

22. y.  x  x.  y. z

23. y.x  x.y  y

24. a.b  a.c. b

25.  b.a c.b  b.c

26. y.  x  x.x

27. y.  x  x.y. z

28. x.y  x.y  y 

29. a.b  a.a. b

30.  b.a. c.a  b.a

31.  a.b. b.a  c.a

32.  b.a. b.a  b.a  b.a 

33.  b.a. b.c  b.c  a.b 

34.  y.x  x.y  y . x

35.  x  x.y  y . x  y  x  y . x

36. ^ y.x ^ x .^ x ^ y.x ^ x ^ y^ .^ x

37. y.x  x.y  y . x

38. y.x  x.y  y . x  y.x  x.y  y.x

39. y.x  x.y  y . x  y.x  x.y  y.  x

40.  p  r  p

41.  p  r   p

42.  p  r  p.r

43.  p.r  r  p.r

44.   p  r   p

45.  p.r  p.q. r  p  p.r

46.  p.r  r   p.r  p  p

47.  p.r  r   p.r  p  p

48.  p.q  r   p.r 

49.  p  r   p

50.  p  r    p

51.  p  r   p.r

52.  p.r  r   p.r

53.   p  r    p

54.  p.r  r   p.r  p   p

55.  p.q  r   p.r

Circuitos Lógicos Um circuito lógico nada mais é do que a combinação de várias portas lógicas com o objetivo de realizar uma determinada tarefa. O processador de um computador não deixa de ser um aglomerado de circuitos lógicos. Qualquer operação feita em um computador, por mais complexa que seja, é derivada de combinação de tarefas lógicas e aritméticas simples tais como somar bits, mover bits, etc. Pode-se implementar um circuito lógico simples em um circuito Integrado. Abaixo é apresentado o circuito MC54F/74F da Motorola, composto de várias portas NAND. Uma ferramenta bastante simples que pode ser utilizada para projetar e testar circuitos lógicos é a Digital Works. Abaixo são apresentadas as opções da ferramenta que aparecem na tela principal e os passos para projetar um pequeno circuito (1) (2) (3)

VCC GND