MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
CAMPUS PATO BRANCO
ENGENHARIAS
AULAS DE MATEMÁTICA NO MAPLE
PROF. M. Sc. JOSÉ DONIZETTI DE LIMA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
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Apostila Maple, Notas de estudo de Engenharia Civil
Apostila do prof. Donizetti para uso do programa MAPLE
Tipologia: Notas de estudo
2011
Em oferta
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Compartilhado em 09/03/2011
mariane-de-pieri-5 🇧🇷
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
CAMPUS PATO BRANCO
ENGENHARIAS
AULAS DE MATEMÁTICA NO MAPLE
PROF. M. Sc. JOSÉ DONIZETTI DE LIMA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
Objetivo:
Evidenciar a necessidades e importância de softwares computacionais desenvolvidos na era da
informativa como elemento facilitador do processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
Utilização propriamente dita do software.
Enfatizar que o software deve desempenhar o papel de coadjuvante do processo de aprendizado da
Matemática.
Justificativas:
O Maple possibilita ampla variedade de aplicações, relativa simplicidade de uso e atualização
periódica em novas versões, o que permite projetar-lhe uma permanência relativamente longa no
cenário acadêmico.
O Maple é um pacote muito potente em termos de computação algébrica e numérica de uma ampla
gama de assuntos relacionados do aprendizado e ao uso dos recursos matemáticos, visualizados
como fins em si mesmos ou como ferramenta de trabalho em outras áreas do conhecimento
(engenharia, física, etc...).
Notas :
MAPLE é a marca registrada do software produzido por “ Walterloo University , Canadá”.
Será considerado que o usuário já tenha algum conhecimento de utilização de software em
ambiente Windows.
O Maple exige uma maior intimidade do usuário com a Matemática e com o Sistema Operacional
Windows.
Ementa :
O ensino de Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é a ferramenta básica e imprescindível tanto na
formação dos futuros profissionais, como em diversas atividades da pesquisa universitária,
principalmente nos estudos de Física, Matemática, Biologia, Engenharias, tecnologias, etc. Em seu
ensino temos vários tópicos, que merecem destaque devido às suas aplicações potenciais, tais como
cálculo de área, volume e comprimento de arco, e que podem ser mais bem assimilados se lançarmos
mão a sua visualização de representações especiais e das soluções obtidas com auxílio de softwares
matemáticos. Sendo assim, nesta apostila, pretendemos explorar, utilizando o software Maple, os
seguintes tópicos:
- Noções básicas de Matemática:
Expressões numéricas.
Expressões algébricas.
Polinômios.
Gráficos bidimensionais e tridimensionais.
Funções, funções compostas, etc.
Resolução de equações e inequações.
- Assuntos propriamente de Cálculo Diferencial e Integral (CDI)
Limites e continuidades.
Derivadas e integrais.
Gráficos bidimensionais em coordenadas especiais: polar, paramétrica, implícitas, etc.
Gráficos tridimensionais com coordenadas cilíndricas, esféricas, paramétricas, implícitas, etc.
Aplicações: Cálculo de comprimento de arco, área de uma região limitada, área e volume de um
sólido, sólidos de revolução, entre outras.
Observação : Nesta apostila, não ensinamos Matemática, mas explicamos a utilização do software
Maple. Apenas para uma breve revisão do conceito matemático, apresentamos os conceitos
envolvidos e na medida do possível utilizamos o software para verificar algumas propriedades
importantes do tópico que está se analisando no momento.
2. SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA - Adaptado de LENIMAR, 2002
Nos últimos 25 anos tem havido grande progresso na teoria envolvendo algoritmos simbólicos ou
algébricos. Além disso, a forma de representar esses algoritmos matemáticos em computador também
progrediu bastante. Isso deu origem a uma nova disciplina conhecida sob várias denominações:
Computação Algébrica, Computação Simbólica, Álgebra Computacional, Manipulação de Fórmulas,
Manipulação Simbólica. Assim, o programa ou conjunto de programas de computador relacionados
com essa disciplina passou a se chamar: Sistema de Computação Algébrica ou Sistema de
Manipulação Simbólica, entre outros nomes.
São inúmeras as áreas da ciência e da tecnologia em que a Computação Algébrica vem sendo utilizada.
Para citar só algumas delas: Mecânica Celeste, Acústica, Relatividade Geral, Química, Teoria dos
Números, Teoria dos Grupos, Análise Numérica, Robótica e Metalurgia.
Os Sistemas de Computação Algébrica podem ser divididos em duas categorias: sistemas de uso
específico e sistemas de uso geral. O que esses sistemas têm em comum é uma grande capacidade de
efetuar rapidamente cálculos analíticos que podem ser bastante trabalhosos.
Os sistemas de uso específico foram desenvolvidos para resolver problemas em áreas específicas da
Física ou da Matemática. Podemos citar como alguns exemplos o SHEEP para Teoria da Relatividade
Geral, o CAMAL para Mecânica Celeste, o GAP para Teoria dos Grupos e o Macaulay para
Geometria Algébrica.
Os sistemas de uso geral possuem não só recursos algébricos, mas também podem incorporar recursos
numéricos ou gráficos, além de serem verdadeiras linguagens de programação para cálculos analíticos.
Possuem grande numero de funções e operações matemáticas de modo a permitirem que seus usuários
obtenham prontamente respostas analíticas para cálculos envolvendo fatorações, trigonometria,
logaritmos, polinômios, limites, derivadas, integrais, equações diferenciais, sistemas de equações,
séries de potências, transformadas de Laplace, transformadas de Fourier, cálculo matricial, formas
diferenciais, etc.
Alguns exemplos desses sistemas são:
Derive – Um dos menores e mais eficientes sistemas já criado. Nos anos 80 chama-se MuMATH.
Reduce – Um dos mais antigos sistemas de uso geral, surgiu no final dos anos 60.
Mathematica – O primeiro a incorporar recursos algébricos, numéricos, gráficos e funcionar
também como linguagem de programação. É um dos atuais grandes sistemas de uso geral.
Maple – Canadense, o Maple é um sistema completíssimo de uso geral e com uma interface com o
usuário bastante amigável. Possui inúmeros recursos algébricos e numéricos, constrói animações e
gráficos planos ou tridimensionais e funciona como linguagem de programação para permitir que o
usuário construa suas próprias funções e procedimentos. Versões de demonstração podem ser
obtidas na página do fabricante na Internet.
3. APRESENTAÇÃO - MOTIVAÇÃO :
A computação algébrica é um novo meio de aprendizado que une a informática ao ensino da
Matemática. Este novo método de ensino das ciências exatas e de Matemática em particular, vem
sendo adotado em diversas universidades, e ocupa posição de destaque no mundo educacional de
países desenvolvidos. As universidades estrangeiras ministram cursos regulares de computação
algébrica aos alunos destinados à área de ciências exatas, o que é uma medida clara da importância que
o meio científico e tecnológico vem sendo direcionado a este ramo.
A capacidade de armazenamento de informações, a velocidade de operação e a precisão, fazem do uso
do computador uma ferramenta indispensável em todas as nossas atividades acadêmicas, profissionais
e domésticas. Porém, ensinar o aluno somente a operar um computador não garante a melhoria da
qualidade de ensino. É de suma importância que nossos estudantes estejam ao menos familiarizados
com essa tecnologia, pois, afinal, são membros da nossa futura sociedade. Uma das principais razões
do uso do computador na educação é desenvolver o raciocínio e possibilitar situações de resolução de
problemas, a fim de desenvolver o pensamento do aluno. O computador não deve ser inserido na
educação como uma máquina de ensinar ou uma informatização instrucionista, deve ser usado como
uma informatização construtivista que permita a reflexão e construção de idéias a partir da relação
professor, computador e aluno. Devemos levar em conta que o computador não é o principal
referencial do processo de ensino-aprendizagem, mas serve apenas como uma ferramenta auxiliar
(coadjuvante).
No mercado de informática existem vários softwares (pacotes computacionais) que oferecem
condições de cálculos numéricos, manipulações algébricas e simbólicas. Os softwares MAPLE,
MATHEMATICA, etc..., são sistemas de computação algébrica muito eficientes no apóio ao ensino
do Cálculo Diferencial e Integral (CDI), e vêm sendo utilizados, por exemplo, nas fases iniciais dos
cursos de Engenharia, Computação, Física e Matemática, em universidades estrangeiras,
proporcionando aos alunos maior interesse e compreensão. Por outro lado, o software MATLAB
(Laboratório de Matrizes), pode ser utilizado para trabalhar com a álgebra linear, pois o mesmo é um
software elaborado para o tratamento matricial de dados.
No que se refere ao processo de ensino-aprendizagem esses pacotes computacionais exercem grande
influência no desenvolvimento intelectual dos alunos. Este recurso didático apresenta a facilidade da
construção de gráficos de funções e resolução de problemas. No aprendizado da montagem de
equações a resolver, da previsão de seu comportamento e soluções. Os softwares além de
possibilitarem uma maior visualização gráfica, também apresentam tópicos avançados e muitas
aplicações práticas. Esta grande ferramenta matemática permite ao estudante uma compreensão mais
nítida dos processos e potencialidades do Cálculo Diferencial e Integral (CDI), auxiliando-o em seus
estudos.
Os potentes pacotes computacionais MAPLE, MATHEMATICA não são restritos ao CDI, pois
também se aplicam em diversas áreas da Matemática, Física, Engenharia, etc. Outros tópicos básicos
relacionados com a Matemática que podem ser abordados facilmente são: Álgebra Linear, Equações
Diferenciais, Séries Infinitas, Matemática Financeira, Estatística e muitos outros. Por outro lado, o
MATLAB, pode ser usado não apenas para a Álgebra Linear, mas pode ser aplicado nas mais diversas
áreas como o CDI, a Estatística, a Matemática Financeira, a Programação Linear, entre outras.
Nesta apostila apresentamos os conceitos básicos de utilização do software Maple. Abordaremos
alguns tópicos básicos e específicos de Matemática, tais como construção de gráficos bidimensionais e
tridimensionais, operações com expressões algébricas e polinômios, principais funções e constantes
matemáticas presentes no Maple, além dos conteúdos próprios do CDI (limites, continuidades,
derivadas, integrais e suas aplicações).
Para executar um comando basta digitá-lo, e então pressionar a tecla “ ENTER ”. Neste momento, o
texto digitado é considerado como uma entrada, e será então dada uma saída, que aparecerá
imediatamente abaixo da entrada. Caso ocorra algum erro de execução, ou de sintaxe, uma mensagem
apropriada será dada como saída. Deve-se tomar muito cuidado na hora de digitar um comando, pois
são consideradas as diferenças entre caracteres (letras, por exemplo) maiúsculos e minúsculos, sendo
que muitas vezes, este é o motivo de vários erros na hora de sua execução.
Algumas pessoas, quando iniciam a utilização do software Maple, enfrentam algumas dificuldades,
devido a pequenos detalhes importantes que passam despercebidos. Aqui, colocaremos o significado
dos símbolos mais utilizados, para que não ocorram estes tipos de problemas. Veja a seguir a tela do
Maple.
OBSERVAÇÃO DO CURSO : Adaptado de TANEJA, 1997
Vamos desenvolver nosso curso acessando as seções referentes a determinados assuntos. Uma seção é
identificada com um quadradinho com um sinal de [+] ou [-] dentro dele. Para expandi-la devemos
clicar com o mouse o sinal [+] e ele mudará para [-] possibilitando assim que possamos acessar o
conteúdo desta seção. Para fechá-la, clique o sinal [-] e ele mudará para [+].
4. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA USANDO O MAPLE
O Maple é uma linguagem para o cálculo matemático simbólico que possibilita grande variedade de
aplicações, relativa simplicidade de uso e atualização periódica em novas versões, o que faz com que
se prolongue sua ampla permanência no meio acadêmico. Para utilizá-lo basta digitar os comandos no
teclado e pressionar “ ENTER ”, todos os comandos são precedidos de ponto - e - vírgula “ ; ” se você
deseja ver o resultado imediatamente ou por dois pontos “ : ” se você quiser que o Maple V guarde o
resultado para posterior utilização.
4.1. OPERAÇÕES BÁSICAS
Adição : +
Subtração : -
Multiplicação : *
Divisão : /
Potenciação : ^ ou ******
Aqui apresentaremos alguns exemplos com as operações básicas da Matemática. Note que os
operadores da multiplicação, divisão e potenciação - diferem dos operadores da Matemática usual.
O operador cerquilha “ # ” possibilita a inserção de comentários após uma instrução sem causar
influência na execução do comando.
O símbolo “ % ” servem para aproveitar um último resultado para uma instrução seguinte.
O comando “ evalf” avalia um resultado em decimais para n dígitos, sendo o número padrão igual a 10 ,
se desejarmos aumentar a precisão do cálculo, basta especificar o número de casas decimais desejado.
Exemplos :
> 3*%; # VOCÊ PODE USAR O SÍMBOLO % PARA OPERAR COM O ÚLTIMO RESULTADO.
> evalf(%); # NOS FORNECE O VALOR DECIMAL DA DIVISÃO
> evalf(Pi,20); # CALCULANDO O VALOR DE PI COM 20 DÍGITOS
> 3^5;
4.2. OPERAÇÕES ELEMENTARES
Operação Símbolo Exemplo numérico
Adição + > 3+2;
Subtração - > 3 - 2;
Multiplicação * > 32;*
Divisão / > 3/2;
Potenciação ^ ou ** > 3^2;
Notas :
- case sensitive => diferencia uma variável escrita com letra maiúscula de uma variável escrita com
letra minúscula.
- “ := ” => Comando de atribuição. Exemplo : a:=3 (a variável a recebe o valor 3).
Exemplos:
> a:=3;
a := 3
> b:=2;
b := 2
> c:=a+b;
c := 5
> d:=a-b;
d := 1
> e:=a/b;
e :=
> f:=a^b;
f := 9
> f:=ab;**
f := 9
4.3. CONSTANTES PRÉ-DEFINIDAS
Constante Símbolo Exemplo
Pi ( ) pi > pi;
Infinito ( ) infinity > infinity;
Número complexo ( 1 ) I
> I;
I
Número ( e ) exp(1) > exp(1);
e
4.4. CONSTANTES E FUNÇÕES DA ARITMÉTICA
Aqui temos o número representado pela constante Pi e as funções:
“ ifactor ” => faz a decomposição de um número em fatores primos.
“ iquo ” => determina o quociente da divisão entre dois números.
“ igcd ” => determina o máximo divisor comum entre dois números.
“ root ” => calcula a raiz n - ésima de um número.
Nota : Comandos para trabalhar com números inteiros.
Os exemplos a seguir ilustram como cada um destes comandos devem ser usados:
Exemplos :
> Pi;
> evalf(Pi);
> evalf(Pi,100);
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230 \
> ifactor(20);
2 ( 5 )
> ifactor(13);
> ifactor(144);
4 ( 3 )
2
> ifactor(120);
3 ( 3 ) ( 5 )
> iquo(144,120);
> iquo(2401,33);
> igcd(123,45);
> igcd(144,120);
> igcd(1500,650);
> sqrt(n);
n
> sqrt(2);
> evalf(%);
> evalf(sqrt(3));
> evalf(sqrt(10),20);
> sqrt(3.1);
> root 3;^5
> root 3;
( 2 / 3 )
> evalf(%); 2.
> evalf(root 6); 2.
4.6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Para tratar de conjuntos finitos, o Maple apresenta uma série de comandos:
Operação Símbolo Objetivo
União union Faz a operação de união entre conjuntos
Intersecção intersect Faz a operação de interseção entre conjuntos
Diferença minus Retira um conjunto de outro
Valor máximo max Encontra o maior valor de um conjunto
Valor mínimo min Encontra o menor valor de um conjunto
Exemplo : Considerando os conjuntos A = {-2, 3, 4, 7, - 18, 15}, B = {-9, 3, 6, 8, 10, - 11} e
C = {0, - 4, 3, 9, 7, 8, - 14}, fazer as seguintes operações:
a) A B b) A C c) B C d) A B C e) A ( B C ) f) ( A B )( A C )
g) A B h) B A i) Máximo( A ) j) Mínimo ( B ) k) Máximo( A )-Mínimo( B )
Solução : Inicialmente vamos definir os conjuntos A, B e C, na tela do Maple.
> A:={-2,3,4,7,-18,15};
A :={ -18, -2, 3 , 4 , 7 , 15 }
> B:={-9,3,6,8,10,-11};
B :={ -11, -9, 3 , 6 , 8 , 10 }
> C:={0,-4,3,9,7,8,-14};
C :={ -14, -4 , 0 , 3 , 7 , 8 , 9 }
a) > A union B;
b) > A union C;
c) > B union C;
d) > A union B union C;
e) > A union (B intersect C);
f) > (A union B)intersect(A union C);
g) > A minus B;
h) > B minus A;
i) > max(-2,3,4,7,-18,15);
j) > min(-9,3,6,8,10,- 1 1);
k) > max(-2,3,4,7,-18,15) - min(-9,3,6,8,10,-11);
Exercício : Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4, 6, 12, - 3}, B = {4, 5, 8, 3, - 2, - 5} e C = {6, 12, - 3}.
Calcular:
a) A união B união C b) A interseção B interseção C c) A união ( B interseção C)
d) (A união B) interseção ( A união C) e) A - B - C f) C - A - B
g) A união ( B - C) h) (A - C) interseção (B - C)
4.7. FUNÇÕES ELEMENTARES:
Função Símbolo Exemplo
Exponencial exp(x)
Logaritmo natural ln(x) > ln(exp(1)); 1
Raiz quadrada sqrt(x)
Valor absoluto ou Módulo abs(x)
Trigonométricas
sin(x); cos(x); tan(x)
sec(x); csc(x); cot(x)
Trigonométricas Inversas
(determinação do arco ou ângulo)
arcsin(x); arccos(x); arctan(x)
arcsec(x); arccsc(x); arccot(x)
Exemplos :
> sqrt(3);
> evalf(%);
> abs(x);
x
> abs(-2);
> exp(x);
e
x
> exp(1);
e
> evalf(%,20);
> ln(10);
ln( 10 )
> evalf(%);
> log(x);
ln( x )
> log(10);
ln ( 10 )
> evalf(%);
> sin(Pi);
> sin(2);
sin ( 2 )
> evalf(%);
> sin(Pi/4);
> arctan(infinity);
> tan(Pi/2);
Error, (in tan) numeric exception: division by zero
4.9. COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU :
O exemplo abaixo mostra como resolver uma equação do 1º grau passo a passo:
> eq:=4x+18=48;*
eq := 4 x 18 48
> eq - (18=18);
4 x 30
x
> eq1:=7x - 1 2 = 2x + 3;**
eq1 := 7 x 12 2 x 3
> eq1 - (-12=-12);
7 x 2 x 15
> % - (2x=2x);**
5 x 15
x 3
Exercícios :
- Resolver as equações abaixo:
a) 6x - 18 = - 3x +27 b) 2x +10 = 3x + 5/7 c) 4y - 6 = 10y - 12 d) x + 5 = 2x - 6
- Achar a solução dos sistemas abaixo:
a) x + y = 5 ; 2x - y = 1 b) 7x +8y = 9 ; - x + y = 3 c) 3x + 4y - 5z = 2; 2x - y + z = 1; - x-3y-z=
4.10. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS :
Uma das grandes vantagens de um programa como o Maple é permitir manipular expressões algébricas
do mesmo modo que uma calculadora permite manipular expressões aritméticas. Alguns dos
comandos algébricos do Maple estão listados a seguir:
Símbolo Objetivo Exemplo
simplify Simplificar uma expressão
factor Fatorar uma expressão dada
subs Determinar o valor da expressão para um valor específico
expand Expandir as expressões (desenvolver o Binômio de Newton, por exemplo)
numer Numerador de uma expressão
denom Denominador de uma expressão
Inicialmente, vamos usar os seguintes comandos:
“simplify ” => simplifica uma expressão algébrica.
“expand ” => expande uma expressão algébrica.
“ factor ” => fatora uma expressão algébrica.
“ solve ” => resolve um sistema de equações para um conjunto de incógnitas.
“ subs ” => substitui um valor atribuído à uma variável.
“ numer ” => recebe a expressão do numerador de uma expressão algébrica fracionária.
“ denom ” => recebe a expressão do denominador de uma expressão algébrica fracionária.
Vamos ilustrar, com alguns exemplos cada um destes comandos.
> simplify ((2+x)/x+(2-x)/x);
x
> a:=4x^2/(1+x^2)^3+(5-x)^2;*
a := 4
x
2
( 1 x )
2
3
( 5 x )
2
> simplify(%);
80 x
2 25 78 x
4 28 x
6 10 x 30 x
3 30 x
5 10 x
7 x
8
( 1 x )
2
3
> subs(x=1,a);
> p:=numer(a);
p := 80 x
2 25 78 x
4 28 x
6 10 x 30 x
3 30 x
5 10 x
7 x
8
> q:=denom(a);
q :=( 1 x )
2
3
> subs(x=1,p);
> subs(x=1,q);
> expand((3x^2-4x)(x+1)(3x^2+5x+1));**
9 x
5 12 x
4 14 x
3 21 x
2 4 x
> expand((3x^2-4x)(x+1)(3x^2+5x+1));**
9 x
5 12 x
4 14 x
3 21 x
2 4 x
4.11. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Como sabemos como criar expressões algébricas, agora vamos tratar da manipulação de operações
com polinômios que são expressões algébricas a uma variável. Podemos somar , subtrair ,
multiplicar, dividir e elevar a uma potência expressões polinomiais usando os símbolos aritméticos
( + , - , ***** , / e ^ , respectivamente)).
Símbolo Objetivo Sintaxe
rem Calcula o resto da divisão de dois polinômios rem (expressão, divisor, variável)
quo Calcula o quociente da divisão de dois polinômios rem (expressão, divisor, variável)
degree Indica o grau de um polinômio degree (polinômio)
coeff Indica o coeficiente de um termo indicado coeff (polinômio, termo)
tcoeff Indica o termo independente de um polinômio tcoeff (polinômio)
coeffs Lista todos os coeficientes não nulos de um polinômio tcoeffs (polinômio)
Observação : Não esquecer de utilizar o símbolo de multiplicação (*) entre as variáveis.
Inicialmente, vamos aprender os dois comandos a seguir:
“rem ” => que calcula o resto da divisão de um polinômio por outro.
“ quo ” => que calcula o quociente da divisão de um polinômio por outro.
A sintaxe destes comandos é:
rem(expressão, divisor, variável)
quo(expressão, divisor, variável) ;
Veja os exemplos a seguir:
> p:=x^3-2x^2+x-1;*
p := x
3 2 x
2 x 1
> q:=3x^3+7x^2-2x+8;*
q := 3 x
3 7 x
2 2 x 8
> r:=p+q;
r := 4 x
3 5 x
2 x 7
> s:=p-q;
s := 2 x
3 9 x
2 3 x 9
> P:=x^3+1;
P := x
3 1
> Q:=x+1;
Q := x 1
> R:=P/Q;
R :=
x
3 1
x 1
> simplify(R);
x
2 x 1
> S:=P*Q;
S :=( x )
3 1 ( x 1 )
> simplify(S);
( x )
3 1 ( x 1 )
> expand(S);
x
4 x
3 x 1
> rem(P,Q,x);
> quo(P,Q,x);
x
2 x 1
> rem(x^4+3x^2-1,x^3+x,x);*
1 2 x
2
> rem(x^3+x,x^4+3x^2-1,x);*
x
3 x
> quo(x^4+3x^2-1,x^3+x,x);*
x
> simplify((x^3+x)(%)+(%));*
x
4 x
2 x
> Q^3;
( x 1 )
3
> expand(%);
x
3 3 x
2 3 x 1
Observação : Agora, vamos trabalhar com os outros comandos:
“degree ” => indica o grau de um polinômio.
“coeff ” => indica o coeficiente de um termo indicado.
“tcoeff ” => indica o termo independente de um polinômio.
“coeffs ” => lista todos os coeficientes não nulos de um polinômio.
Exemplos :
> polinomio:=x^6-x^5-9x^4+x^3+20x^2+12x+5;*
polinomio := x
6 x
5 9 x
4 x
3 20 x
2 12 x 5
> degree(polinomio);
> coeff(polinomio,x^4);
> tcoeff(polinomio);
> coeffs(polinomio);