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matrizes e operações com matrizes
Tipologia: Notas de estudo
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MSc Elisa Netto Zanette Drª Ledina Lentz Pereira MSc Sandra Regina da Silva Fabris
A Matemática, desde os seus primórdios, entrelaça-se intimamente com a história da civilização e é uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART^1 , 1997). Vários conceitos básicos dessa ciência, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância na Matemática (LIMA^2 , 2000, p.28).
Observamos uma mudança contínua que se processa tanto nas condições sócio-político- econômica das sociedades quanto na própria Matemática. Ë fato que a validez das teorias Matemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e técnicas a elas associadas, varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em fase dos novos desenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro e fora da Matemática (LIMA^3 , 2001, p.159).
Usamos Matemática diariamente, mesmo sem perceber. Isso só, poderia justificar a sua importância. É facilmente percebida, nas atividades simples do homem às mais complexas, nos esportes, na estatística, nas construções, nas previsões orçamentárias. Sem dúvida, ela confere “poder” aos economistas, aos empresários, etc. A Matemática é ferramenta imprescindível para que se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender as linguagens que se utiliza no cotidiano.
As concepções matemáticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas gerações podem ser divididas em Aritmética (números), Álgebra (letras + números) e Geometria (figuras planas e espaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a Geometria Analítica como uma fusão da Álgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso da aritmética, da geometria, da trigonometria, da álgebra, do cálculo diferencial e integral, etc. Alguns problemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela Álgebra, ou Geometria ou Aritmética. Coube a Descartes a solução de problemas geométricos através da Álgebra e vice-versa, em 1637.
Para Baumgart (1999) a origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que se deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah (“Ciência das equações”), escrito em Bagdá (ano 825) por um matemático árabe. Esse tratado de álgebra é com freqüência citado, abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque, tanto cronológico quanto conceitual, em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las; (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc.
A Álgebra Linear (o nome indica sua origem geométrica) ou Álgebra Vetorial é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear tenha origem nos estudos de sistemas lineares de equações.
Segundo o matemático Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também têm matrizes as formas bilineares e, mais, particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas.
(^1) BAUMGART, John K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. Trad. Hygino H Domingues. São Paulo:
Atual, 1997. (^2) LIMA, Elon Lages. Meu Profesor de Matemática e outras histórias. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de
Matemática). Rio de Janeiro: Solgraf Publicações Ltda, 2000. (^3) LIMA, Elon Lages. Matemática e Ensino. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio de
Janeiro: R&S, 2001.
hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas. Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático que se pretende operar em bloco, simultaneamente.
Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: a dimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Uma planilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilha representa um elemento da matriz.
De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou por seus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ] ou duplas barras . Da mesma forma, cada elementos está associado a dois subíndices que indicam sua posição na matriz.
Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por aij, onde i representa a linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunas possui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn.
Exemplo 1:
é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa
um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) e terceira coluna (j=3) que indicamos por a 23 = -5. Os demais elementos indicamos por:
21 22 23
11 12 13
(b) B2x2 =
é uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [bij]2x
(c) C1x4 = [ 2 − 2 4 9 ]é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [cij]2x Exemplo 2: Consideremos a situação-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego e submetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliação:
1º teste 2º teste 3º teste
Teresa 4,0 3,5 1,
Paulo 5,0 7,3 8,
Marcos 4,8 7,2 3,
André 9,0 8,8 6,
Os números distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o que denominamos de linha e, os colocados na vertical representam o grau de aprovação no teste e são chamados de coluna. A tabela de valores resultante do quadro é denominada matriz e cada número é chamado de elemento. Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por três (4 x 3) ou seja, é uma a matriz com 4 linhas e 3 colunas. Assim, representamos a situação-problema em:
C
A4x3 =
Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representação em matriz da seguinte situação: Analisando a pontuação (de 0 a 10) obtida por Paulo, André e Luana, no programa de formação continuada da empresa em que trabalham, nos últimos anos, temos: Paulo, com 8, 7, 9 e 8 pontos; André, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9. Esta situação-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuação dos três por ano. Observe: Representando num quadro:
2004 2005 2006 2007
Paulo 8 7 9 8
André 6 6 7 6
Luana 4 8 5 9
Representando numa matriz:
Para saber a pontuação de André, por exemplo, em 2006, basta procurar o número que fica na 2ª linha e na 3ª coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 3 ou seja, nossa matriz tem 3 linhas e 3 colunas e indicamos por A3,3. Quando uma matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz quadrada. Exemplo 4: Vamos avaliar uma outra situação-problema na comparação entre pessoas com seus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valores encontrados:
Altura(m) Massa(kg) Idade(anos)
Eduardo 1,83 72 18
Fernando 1,75 54 14
Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3 ou seja com 2 linhas e 3 colunas. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.
1ª linha 2 a^ linha
3ª coluna 2 a^ coluna 1 a^ coluna
lgumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Vamos conhecer!
Exemplo: A3x4=
31 32 33 34
21 22 23 24
11 12 13 14
é uma matriz retangular de ordem 3 ×××× 4 ou A = [aij]3x
Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preços dos produtos químicos para tratamento de água P 1 , P 2 , P 3 , P 4 das empresas A, B, e C. P 1 P 2 P 3 P 4 A 190 182 204 179 B 191 180 200 177 C 192 181 205 175 Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhas e 4 colunas. Os preços da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A = ( 190 182 204 179 ). Idem para os preços das empresas B e C. Os preços do produto P 1 , relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna
3x1, indicada por P 1 =
. Idem para os produtos P 2 , P 3 e P 4.
A3x3=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
. A é uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2.
Os elementos aij da matriz quadrada quando i = j formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.
Exemplo: A3x3=
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Diagonal principal
Diagonal secundária
Note que: Matrizes com a característica de ser linha ou coluna têm papel importante na Álgebra e são denominadas vetores. E estes têm representação geométrica no plano e no espaço tridimensional.
Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais → a 11 , a 22 , ... ann
Na diagonal secundária estão os elementos aij tais que i+j = n+1 ou seja, que têm soma dos índices igual a n+1 → São: a1n, a2(n-1), ... an1.
As matrizes quadradas se classificam em:
5.1 Matriz diagonal: É a matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são iguais a zero ou seja, se A=[ aij ], então aij = 0 quando i ≠ j. Indicamos por D = diag (a 11 , a 22 , ... ann ).
Exemplo 1: D3x3 =
5.2 Matriz identidade ou matriz unidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos. É representada por In, sendo n a ordem da matriz ou simplesmente I.
Ou, matriz identidade é uma matriz diagonal com os elementos não nulos iguais a 1.
Exemplo: I 3 =
Pode ser representada genericamente por:
In = [ aij ] com aij =
Note que: A multiplicação de qualquer matriz pela identidade resulta na matriz original.
5.3 Matriz escalar ou singular: É a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais. Note que toda matriz identidade é uma matriz escalar.
Exemplo: A 3 =
5.4 Matriz triangular superior: É a matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou é a matriz A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) para i > j
Exemplo:A 4 =
5.5 Matriz triangular inferior: É a matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são nulos ou é a matriz quadrada A=[aij] cujos elementos aij são nulos (aij = 0) para i < j
Exemplo:A 4 =
Note que: Uma Matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Por exemplo:
Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols no 1o^ mês, 45 Zafiras no 2o^ mês, no último mês foram 20 Passats. Observe, ao lado, a tabela de vendas e a matriz diagonal que é simultaneamente triangular.
Gol Zafir a
Passat
M1 10 6
0 0
M2 0 45 0 M3 0 0 20
ou
0 0 20
0 45 0
106 0 0
ma matriz qualquer quadrada, pode ser simétrica e anti-simétrica. Observe:
6.1 Matriz simétrica: É a matriz quadrada de ordem n tal que A = At. É a matriz cujos elementos aij = aji. Em geral a matriz simétrica é indicada pela letra S Também podemos dizer que: Se uma matriz (quadrada) A e a sua transposta At^ são iguais, isto
simétrica (com relação a sua diagonal principal). A = At^ Matriz Simétrica
Exemplo: A =
−
−
2 1 7
0 3 1
5 0 2
= At^ = S
Observe que na Matriz simétrica os elementos dispostos simetricamente em relação a diagonal principal são iguais. Neste exemplo, temos: a 12 = a 21 = 0 a 13 = a 31 = 2 a 23 = a 32 = -
6.2 Matriz anti-simétrica: É a matriz quadrada de ordem n tal que At^ = (-A) ou é a matriz cujos elementos aij = (-aji) para i≠j e aij=0 para i=j. Em geral a matriz simétrica é indicada pela letra S´ A = -At^ Matriz anti-simétrica Observe nos exemplos que, como A=(-At^ ) então A é simétrica e a 12 = - a 21 , a 13 = - a31, a 23 = - a 32 a 11 = a 22 = a 33 = 0
elementos dispostos simétricamente em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.
Exemplo 1: A=
=-At^ = S´
Exemplo 2: B=
=-Bt^ = S´
Agora, tente você!
Resolva a lista de atividades 1
U
1.Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e 12 Passats no 1o^ mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2o^ mês, no último mês foram 86 Gols, 40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz.
2.Encontre as matrizes definidas em:
(a) A=(aij)3x2 com aij=i–5j (b) B=(bij)4x4 com bij =
3.Encontre as matrizes definidas em:
(a) A=(aij)3x2 com aij=4i–j
(b) B=(bij)3x3 com bij =i^2 +j^2
(c) C=(cij)2x3 com cij =
(d) D = (dij)3x3, matriz identidade
4.Considere a matriz B =
. Encontre os valores dos seguintes elementos de B:
a) b 11 b) b 21 c) b 12 d) b 32 e) b 42 f) b 24
5.Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2, 2x4, 2x6!
e B =
(d) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais; (b) Encontre At^ e Bt.
uas matrizes, A = [aij] e B = [bij], só podem ser adicionadas ou subtraídas se tem a mesma ordem. Neste caso, a soma (adição) de A com B é uma matriz C = [cij], indica-se por A + B = C, tal que: cij = aij + bij
A diferença (subtração) entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é definida pela soma de A com (-B), indica-se: A + (-B) = A – B, tal que:
cij = aij - bij
Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtraídas) se e somente se elas possuem a mesma
21 22
11 12
21 22
11 12
21 21 22 22
11 11 12 12
Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C 1 , C 2 , C 3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupo empresarial, numa semana:
C 1 C 2 C 3 A 18 41 17 B 17 52 15 C 25 48 19
A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P 1 =
Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas não se altera, qual o total de embalagens produzidas pelo grupo, por indústria e por modelo, ao final de duas semanas?
1ª semana + 2ª semana = P 1 + P 2 =
A matriz P 1 + P 2 indica a produção por empresa e produto ao final de duas semanas. Temos então: Indústria A: produziu 36 mil embalagens do modelo C 1 , 82 mil do C 2 e 34 mil de C 3. Indústria B: produziu 34 mil embalagens do modelo C 1 , 104 mil do C 2 e 30 mil de C 3. Indústria C: produziu 50 mil embalagens do modelo C 1 , 96 mil do C 2 e 38 mil de C 3. Este é um exemplo de soma de matrizes Analisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo: O total de embalagens produzidas do modelo C 1 (= 120 000), do modelo C 2 (= 282 000), do modelo C 3 (=102 000). O total de embalagens produzidas, por industria, nos três modelos: A (=152 000), B (=
D
Exemplo 5: Se A=
e B=
então,
Exemplo 6: Se A = [ 2 b − 1 ]e B = (^)
Exemplo 7: Se A = [ 2 5 − 1 ]e B = [ 3 − 2 4 ]então A + (-B) = A–B = [ − 1 7 − 5 ]
eja A = [aij] e k um escalar (número) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k, é a matriz B = [bij] tal que bij = k aij , ou seja, é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k → bij = kaij
Exemplo 2: Se A= [ 3 − 2 4 ]então. A =
.[ 3 2 4 ]
Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produção de embalagens de indústrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C 1 , C 2 , C 3 produzidas pelas industrias A, B e C, numa semana:
C 1 C 2 C 3 A 18 41 17 B 17 52 15 C 25 48 19
S
Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C.
= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais → Loja B
= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais → Loja C
Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado
pela matriz V.P =
. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na
venda mensal dos calçados do tipo C 1 , C 2 e C 3 é de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 da Loja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C.
Exemplo 2:Uma empresa produz dois tipos de produtos, P 1 e P 2. São usados três tipos de ingredientes na produção: x, y, z nas seguintes proporções: Tabela Matriz P 1 P 2 x 3 1 y 4 2 z 3 7
Ip =
Diariamente são fabricados 80 produtos do tipo P 1 e 120 do tipo P 2. Esta quantidade de
Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos: Ingrediente x → 3.80+1.120 = 240+120= Ingrediente y → 4.80+2.120 = 320+240= Ingrediente z → 3.80+7.120 = 240+840=
Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz Pi =
Podemos obter esta matriz Pi denominada de matriz produto de Ip por P, da seguinte forma:
= Pi
Note que: cada elemento da matriz final é a soma dos produtos ordenados de uma linha da primeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja: 360 = 3.80+1. 560 = 4.80+2. 1080= 3.80+7. Este é mais um exemplo de multiplicação de matrizes.
Conceituando o produto de matrizes:
Utilizamos na definição de produto de matrizes o conceito de somatório: Vamos rever este conceito?
Definição:
Produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de Ae pelo número de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A.
Dadas as matrizes A = (aik)mxn e B = (bik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C = (cij)mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
p ∑ k (^) = Aik B
Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ aij ]2xn e B = [ bij ]mx1, com m = n, o produto AB, nesta ordem, é a matriz C = [ cij ]2x1 tal que, cij é a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matriz resultante C tem o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B.
Exemplo 1: Seja A = [ 3 − 2 4 ], B =
e D =
a) A x B =? Resolução: A 1 x 3 x B 3 x 1 = [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C1 x 1.
b) B x C =? Resolução: B 3 x 1 x C 2 x 2 =? Não existe produto BC pois o nº de colunas de B é diferente do nº de linhas de C ou 1 ≠ 2.
c) C x D =?
x
21 22 23 24
11 12 13 14
Para determinar M que é o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha da matriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna. Calculamos cada elementos aij da matriz M = CD. Como? (1) Multiplicamos a 1ª linha de C pela 1ª coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1ª linha de C pela 2ª coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1ª linha de C
O
Na multiplicação de matrizes, utilizamos o símbolo de somatório (^) ∑ (letra sigma maiúscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo, a soma a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 pode ser representada abreviadamente por:
5
i 1
5
i 1
n
im
índice da soma, m é o limite inferior do somatório e n é o limite superior do somatório.
5
1
i
