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O COCO LHC PESE À Coros de Divisibilidade Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, impar. Divisibilidade por 3: Pe Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus = >» algarismos for divisível por 3. | Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos alga- rismos da direita for DO ou divisível por 4. >< Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando > o algarismo das unidades for zero ou 5. “+ Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando for "+ divisível por 2 e por 3 simultaneamente. = Divi lidade por 10: hem Um número é divisível por 10 quan- do o algarismo das unidades for zero. Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cálculos envol- vendo divisões. de= Números Primos Um número natural é denominado Au de “número primo” quando apresenta apenas dois divisores naturais: ele mes- | + mo é a unidade. Existem infinitos núme- ros primos. À seguir indicamos os núme- “ ros primos menores que 100. 4 E 2 1859MSMO 580508 8 sono sorgpsto sob) dm. Are! qto Sapbepsa À nao ES jenits, 87. - 89 Pe 117 20 47 71 My dé ARITMÉTICA BÁSICA Números Primos entre Si Dois números naturais são denomi- nados de: “números primos entre si” quando apresentam como único divisor comum a unidade (número 1). Exemplo: 15 e 16 d(15) d(16) d(15) n d(16) = (1) Portanto, 15.e 16 são primos entre si. Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (mde) en- tre dois números naturais é obtido a par- tir da intersecção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores pri- mos que são comuns tomando-se sem- pre o de menor expoente. Exemplo: 120 e 36 35,15) 2:;4:8; 16) 120=23.3.5 36=22.32 ide (120, 36) = 22.8 = 12 Minimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (mme) entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos múltiplos natu- rais, escolhendo-se o menor excetuando. o zero. O mmec pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, con- siderados uma única vez e de maior ex- poente. Exemplo: 120 e 36 120 =28.3.5 36=22.92 mme (120, 36)=23.32.5=360 NA Produto da Soma pela Diferença O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. (a+b).(a-b)=a2-p? Outros (a-b)3=a3-322b + 3ab2 -b3 (a+b)3=a3+ 30% + 3ab2 + b3 Expressões Algébricas Fator Comum A fatoração de expressões algébri- cas é efetuada colocando-se o fator co- mum em evidência. a.x+b.x=x.(a+b) a.x-b.x=x.(a-b) Exemplo: 4-2 +x= x.(2-x+1) Agrupamento Algumas expressões algébricas po- dem ser fatoradas por agrupamento de dois ou mais termos. a.x+b.x+a.y+b.y= =x-(a+b)+y.(a+b)= =(a+b).(x+y) Exemplo: Bexax+t= =2.(x+)+(x+1)= =(x+1).(42+1) Teoria dos Conjuntos Símbolos Importantes Os símbolos a seguir são muito utili- zados no estudo não só da Teoria dos Conjuntos, como também em outros tó- picos da Matemática. pn não pertence está contido não está contido contém não contém tal que ou tais que implica ou então se, e somente se existe não existe para todo ou qualquer ace su pq ve DRA a conjunto vazio IN naturais naturais excluindo o zero z inteiros Z, inteiros não negativos Z. inteiros não positivos Q racionais I irracionais IR reais IR+ — reais não negativos IR. reais não positivos AUVB AuniãocomB AnB Aintersecção com B A-B Diferença de AcomB B-A Diferença de Bcom A ab amaiorqueb a>2b amaiorou igual ab arb aeb avb aoub emma Conjunto Vazio É o conjunto que não possui elemen- tos. O conjunto vazio é representado por 9=1 4 Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a outro conjunto B, diz-se então que A é sub- conjunto de B, ou seja, AcB E, Observação: de AcAÃ e GA União de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define- se como união de A com B ao conjunto Au B formado por todos os elementos que pertencem a Aou B. AUvB=([x/xc Aouxe B) AUB=B ae É = Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se como intersecção de A com B ao conjunto Ar B formado por todos os elementos que pertencem a Asa B, simultaneamente. AnB=[x/xe Aexe By “O AnA=A ANnZ=B Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define- se como diferença entre A e B ao con- junto A — B formado por todos os ele- mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. A-B=[x/xcA e xeB) Observação: A-B+B-A Rae see Fan B em Exemplo: A=(2,3;4) B=(1:4;2:7] *AUB=([23/4; En cAnB=(2;4) “A-B =(8) *“B-A =(1:7) Conjunto das partes de um Conjunto O conjunto das partes de um con- junto qualquer é formado por todos os seus subconjuntos. Se um conjunto A possuir n ele- mentos, o total de subconjuntos que. ele admite é igual a 27 Observação: Todo número real pode ser. repre- sentado por um ponto sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma Ep pone ses aseodata a UnIapem Ia, es + Xs-a ou xza -a a a e Intervalo Aberto E um subconjunto dos números reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer. (ab)=Ja;bl=fxe IR/a35x<-30ux>3 Potenciação Dado um número real “a” qualquer, sendo “n” um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a nvezes, ou seja, al=aaa. .) .8 n vezes Casos Particulares a0=1 El, É “ig (a=0) al=a Propriedades da Potenciação am, an = amen Observação: cam” + am Exemplo: 22º -29=512 Potências de 10 102=10000(...)000 n zeros 10-"= 0,000(...J001 pesada mn casas decimais Radiciação Define-se como raiz de índice n, de um número real a, ao número real x tal que Mix Sica Observação: Em todo radical, cujo índice é número par, a raiz considerada é sempre positiva. Propriedades da Radiciação m “am =an “Vab="a.Yb Observação: Em caso de índice par, os radican- dos devem ser positivos. Racionalização Racionalizar uma fração consiste em eliminar, através de operações algébri- cas, o radical ou os radicais do denomi- nador. Existem três casos a Ja by .N(Va-vb) (Ja -abyo ab Equações do 2º Grau > Urna Equação na incógnita x é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na forma a.x2+b.x+c=0(a+0) As raízes (soluções) desta equação são obtidas a partir da fórmula. qb sb2 dao a ou =bANA migas Observações: « As equações incompletas que são da forma a.x2+b.x=0 podem ser resolvidas por fatoração. * As equações incompletas que são da forma a.x2+c=0 podem ser resolvidas isolando-se o x. Discriminante Conforme o valor do discriminante A=b2-4 ac, têm-se as seguintes pos- sibilidades quanto à natureza das raízes da equação ax? + bx + c=0: A>0 = Existem duas raízes reais e que são distintas. A=0 = Existem duas raízes reais e que são iguais (dupla). A<0 = Existem duas raízes que são imaginárias. Propriedades cias Raízes Soma das Raízes S=m+xm= -2 Produto das Raízes P=x.x2 Equação a partir das Raízes x2-Sx+P=0 Teorema da Decomposição axebx+c=a (x x4). (=x) Média Harmônica Denomina-se média harmônica entre Os números x4, Xo,..., Xn dO número my, talque Exemplo: EE icule a média harmônica entre os números 2; 5; 9 my = + al=jo E) ES mH=3,69 o Média Ponderada Denomina-se média ponderada en- tre os números x4, xp, .... Xn com pesos iguais a py, Po: Pr respectivamente, ao número mp, tal que E Pp + Pao +... Prim Pr+Pp2+... +Pn Sistema Métrico Decimal Unidades de Comprimento As unidades de comprimento são ba- seadas no metro, unidade principal, seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos formam-se da unidade principal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil). Os submúltiplos formam-se da uni- dade: principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) e mili (milésimo). Assim km: 1000 m Em 100m “tem tem m im——— om É lem —=> 09tm E mm-+0,001 m Observações: + « Dado um número qualquer represen- tando um certo comprimento, em uma das unidades, para transformá-lo em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar a vírgula uma casa pa- raa esquerda. Para transformá-lo na uni- dade imediatamente inferior, basta deslo- car a vírgula uma casa para a direita. * Uma maneira mais simples é: cada “degrau” para cima, desloca-se para a esquerda uma casa decimal e, cada “degrau” que se desce, desloca-se pa- ra a direita uma casa decimal. Unidades de Área As unidades de área são quadrados cujos lados são tomados como unidade de comprimento. A unidade principal de área é o me- tro quadrado, ou seja, a área de um quadrado cujo lado mede um metro de comprimento. tm) tê [e 1m2=(1m). (Im) kmê (1900 mZ mê (100mê (om? 2 ep (0,1 mj2 cm (ooim)? Im, (0,001 mP Observações: « Dado um número qualquer represen- tando uma área, em uma das unida- des, para transformá-lo em uma unida- de imediatamente superior, basta des- locar a “virgula” duas casas para a es- querda. Para transtormá-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita. e Uma maneira mais simples é: a cada “degrau” para cima, deslocam-se para a esquerda duas casas decimais e, a cada “degrau” para baixo, deslocam- se para a direita duas casas decimais. Unidades de Volumes As unidades de volumes são cubos cujas arestas são tomadas como unida- de de comprimento. A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou seja, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de comprimento. 1m3= (tm). (im). (1m) tm? (ooo mê tê (oomê CT damê com Ê 8 m mê > amg omê —+ (0,01 mê la “lime onormê Observações: « Dado um número qualquer represen- tando um volume em uma das unida- des, para transformá-lo em uma unida- de imediatamente superior, basta des- locar a “vírgula” três casas para a es- querda. Para transformá-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula três casas para a direita. * Uma maneira mais simples é: a cada “degrau” para cima, deslocam-se para a esquerda três casas decimais e, a cada “degrau” para baixo, deslocam- se para a direita três casas decimais. Unidades de Capacidade As unidades de capacidade são baseadas no litro, unidade principal. Os múltiplos formam-se de unidade principal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil). Os submúltiplos formam-se da uni- dade principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo), e mili (milésimo). Assim: kb FP Int 19008 100 al ——————————— sol UR ==> 9 À, ob —— amb ta Observações: » Para transformação de unidades, o pro- cedimento é análogo ao de mudança de unidades de medidas de compri- mento. AE 1dmie Unidades Agrárias São unidades de medidas de áreas utilizadas para avaliar superfícies de ter- ras cultivadas, campos, matas, etc. A unidade é o “are”. O múltiplo do are é o hectare (100 vezes o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are). are: 1a=100 mê hectare: 1 ha=100 a = 10 000 m2 centiare: 1ca=001a=1mê (E ESTUDO DAS FUNÇÕES Dados dois conjuntos A e B, chama- se função f: A —B a toda relação na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B. tAa>B x + v=ib) CE) Observação: É necessário que todo elemento xe A esteja relacionado com algum elemento ye B, e esta relação deve ser única. Exemplos de Funções: Ee a a E) Não representam Funções Imageme Contradomínio Sendo a função f: A>B, o conjunto B é chamado de contradomínio da fun- ção f, e o conjunto formado pelos ele- mentos de B, que estão relacionados através de f com elementos do conjunto A, é chamado conjunto-imagem. f Exemplo: ta> B Domínio: D(f) = Imagem: Im E Contradomínio: CD (h=B Constante Uma função t: IR — IR é denomina- da de função constante quando definida por uma sentença do tipo y=6)=K onde k é um número real. Exemplo: Seja f! IR > IR tal que f(x) = 3 IR IR Ts Gráfico de uma Função Constante O gráfico de uma função constante, y=fx) =K, será uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou seja, bj to)=k Ea x Função do 1º Grau Função do 1º grau, ou função afim, é aquela que associa a todo número real x, um outro número real y. tal que y=fig=ax+b onde a, bc IR(a=0) Exemplo: - fo)=2x—5 Gráfico de uma Função do 1º Grau O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela ao eixo das abscissas. Graficamente, existem duas situaçõ- esa considerar: * 12 Caso Função Crescente: a > 0 « 2º Caso: Função Decrescente: a < O Exemplo: f(x) =2x—7 (crescente) ft) =(=4x + 1 (decrescente) Sinal de uma Função do 1º Grau O sinal de uma função do 1º Grau é determinado pela variação da imagem. Eo sinal do y. f0)=0 íb)>0 tj xo — para x < xo TW)=ax+b a<0 fb)=0 — parax=xo f)>0 — paraxxg Observação: Através do estudo do sinal de uma função resolvem-se inequações do 1º grau (assunto posterior). Função do 2º Grau Uma função f: IR — IR é denomina- da de função do 2º grau ou função qua- drática, associa a todo número real x, um outro número real y. tal que yv=fb)=ax+bx+e ondea, bece IR (270). Exemplo: to)=72-4x—1 Ed Se a concavidade é voltada para baixo, o vértice representa um ponto de máximo da função. Yy porra Ea Coordenadas do Vértice As coordenadas do vértica da parábola obtidas através da função do 2º grau y=a2+bx+cé (x, yy), onde b A Xy=-59OYW=-4a Exemplo: y=()=-22+6x-1 b ex 3 Vi tieea Ens A bBDaRE *VATTaE DT da co fê=a poi) 7 a 4(-2) a Ré .V= 2:52) Observação: O yy pode ser calculado a partir do valor do xy OU seja: Yy= xy) Sinal de uma Função do 2º Grau O sinal de uma função do 2º grau é de- terminado pela variação da imagem: é o si- f(x) =0 — para nenhum x f(6)>0 — para todoxe IR fx) 0" 4=0 f6)=0 — parax=xg feio —» paraxXo f()<0 —» para nenhum x f)=-a2+bx+e a>0 A>0 E e f()=0 — parax=x, oux=xp f()>0 — paraxxp fo)<0 — parax0 —» para nenhum x fb)<0 — paratodoxe IR fy)=a2+bx+e a<0 A=0 fx)=0 — parax=xo fx)>0. —». para nenhum x f)X Wj=ad+bx+e a<0 1(0)=0 — parax=x, oux=xa eia — paraxj< xxo Resolução de Inequações do 1º Grau A partir do sinal de uma função do 1º grau na variável x, estuda-se a resolução de inequações do 1º grau da forma ax+b>0 ax+b> 0 ax+b<0 ax+b0 aê +bx+c> 0 a2+bx+e<0o a+bx+c<0 Inequações Produto As inequações do tipo produto, na variável x, são aquelas do tipo ft) -g0)z0 ou fog gb) < O ou ft).90)>0 ou fo). 90) <0 onde f(x) e a(x) são funções de 1º e/ou 2º graus. A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois o resul. — tado é um produto. Lembrete: td=0) t.O=0 S8=0 G.0=6) Exemplo: (2x-4).62-16)<0 BRA mt = 8 dps Portanto se x<-40u20 ou fo o g(x) onde f(x) e g(x) são funções de 1º e/ou - 2º graus. A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois 0 resul- tado é um quociente. Funções Pares Uma função f será denominada de função par quando para todo x do seu domínio: fe) = tt) Exemplo: ft) =x4-3x2 fe) =()!-3(-2=-32 =p) EEE E Observação 1: A função f(x) = cos x é uma função par, pois cos (- x) = cos x. Observação 2: Toda função polinominal que apre- senta somente expoentes pares é uma função par. Observação 3: O gráfico de qualquer função par é simétrico em relação ao eixo dos y. Uma função f será denominada fun- ção ímpar quando para todo x do seu domínio: He) =— 100. Exemplo: H)= + 5% Hed= (5 (=== 5x=— (8 +5)=-At) E SEE EEE ERR Observação 1: A = é fi Ro Observação a Toda o polinominal Somente expoentes ER Us função ímpar. Observação 3: O gráfico de Ee métrico em relação à ori tesiano. ímpar é si- sistema car- Tipologia das Funções Existem algumas funções que, devido às suas características, podem ser dlassifi- cadas em funções: injetora, sobrejetora e bijetora. Função injetora Uma função f: A — B é denominada de função injetora se, e somente se, elementos distintos em seu domínio correspondem a imagens-distintas.no seu oirêeeinto mx = foy=t(x2) Observação: O reconhecimento, a partir do gráfico, de uma função injetora é feito traçando- se retas paralelas ao eixo x: se essas re- tas Interceptam o gráfico de f, no máxi- mo em um ponto, a função é injetora. y pote t ro Função Sobrejetora NES Label uso ad Uma função f: A — B é denomina de função sobrejetora se, e somente se, — O conjunto-lmagem: da função for igual ao contradomínio.. = Observação: O reconhecimento, a partir do gráti- -— co, de uma função sobrejetora é feito | traçando-se retas paralelas ao eixo x: se ta ) essas retas Interceptam o gráfico de t, em pelo menos um ponto (no seu contradomínio), a função é sobrejeto- ra. nd PE SS fASB Função Bijetora ! Uma ão f. A —» B é denominada | o de função bijetora se, e somente se, for t - injetora e sobrejetora. "” -Observaçã o EE mento: a partir do gráfi- co, de uma função bijetora é feito tra- gando-se retas paralelas ao eixo x no contradomínio: se estes retãs intercep- tam o gráfico de f, em um e um só ponto, a a unção é bijetora. EA>B Função inversa Toda função bietora f A>Badmi- te uma função fl: B > A denominada de inversa de f. Observação: Uma função admite inversa, se e so- mente se, for bijetora. Regra Prática: Para se obter a inversa de uma fun- E devemos proceder da seguinte for- roca SE tpo NE áror isola-se O y em função do x; Exemplo: “à (EEÊ ta>B FI:B>A so. ===e (ligi=a ma 7 E Pl=d 9— F(g= 
