Apostila metodos, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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M´etodos Matem´aticos

Prof. Pablo Siqueira Meirelles

Departamento de Mecˆanica Computacional

UNICAMP

Novembro 22, 2011

Pref´acio

A elabora¸c˜ao e resolu¸c˜ao de modelos matem´aticos que representem os sistemas em estudo constitui uma atividade essencial nas ciˆencias exatas, e mesmo em algumas n˜ao t˜ao exatas, a exemplo da economia. O matem´atico holandˆes Peter Eikof [7], autor de um dos mais conhecidos livros de identifica¸c˜ao de sistemas, tem por´em se preocupado em alertar para dois erros freq¨uentes e que devem ser evitados pelos usu´arios: jamais se apaixonar pelos modelos, pois eles nunca ser˜ao melhores do que a realidade, e nunca tentar ir al´em dos limites de validade dos modelos. Somente a experiˆencia profissional ´e capaz de conferir a real coerˆencia e dimens˜ao a estas observa¸c˜oes. Em consonˆancia com estas observa¸c˜oes, e n˜ao apesar delas, ´e tarefa dos cien- tistas elaborar modelos cada vez mais precisos, confi´aveis e gerais, e ao mesmo tempo disponibilizar as ferramentas necess´arias a explora¸c˜ao destes modelos. A matem´atica, atrav´es da sua longa hist´oria, tem se desenvolvido de maneira n˜ao uniforme no tempo, impulsionada pelas conjunturas e em congruˆencia com circunstˆancias sociais, econˆomicas, tecnol´ogicas, cient´ıficas e at´e teol´ogicas e filos´oficas. No passado re- cente o desenvolvimento da matem´atica aplicada tem se tornado um aliado imprescind´ıvel para o avan¸co acelerado da tecnologia. A exigˆencia crescente de precis˜ao tem motivado a elabora¸c˜ao de modelos sofisticados para representar fenˆomenos mais complexos. A verifica¸c˜ao (valida¸c˜ao) e corre¸c˜ao (ajuste) dos modelos tem recebido um aux´ılio enorme pela evolu¸c˜ao nos meios de observa¸c˜ao dos fenˆomenos f´ısicos, refletida principalmente na evolu¸c˜ao dos transdutores, possibilitada pela microeletrˆonica, e nos meios de coleta e processamento dos sinais. Por outro lado, a manipula¸c˜ao de modelos maiores e mais sofisticados, somadoa exigˆencia de redu¸c˜ao nos tempos de processamento, requerem ”hardwares” cada vez mais poderosos e m´etodos num´ericos cada vez mais eficientes e robustos. A procura da fronteira entre a sofistica¸c˜ao dos procedimentos experimentais e o en- riquecimento dos conhecimentos que a evolu¸c˜ao dos processamentos matem´aticos podem extrair das informa¸c˜oes obtidas da observa¸c˜ao da realidade, pode ser sentida no seguinte confronto de id´eias: Lanczos [1] defende que, a evolu¸c˜ao das ferramentas matem´aticas n˜ao ser´a jamais capaz de compensar a falta de dados experimentais, ao que J´ez´equel [2] contrap˜oe, E necess´´ ario desenvolver o processamento matem´atico tanto quanto poss´ıvel para extrair o m´aximo proveito dos dados experimentais dispon´ıveis. Finalmente, ´e imposs´ıvel n˜ao mencionar a virada de p´agina hist´orica promovida nas trˆes ultimas d´ecadas do s´eculo XX pela evolu¸c˜ao e dissemina¸c˜ao dos recursos computa-

Parte I

Primeia parte

Qualquer n´umero complexo c pode ser representado de diferentes formas, tais como:

c = a + ib ; c = ρ(cosϕ + isenϕ) = ρ∠ϕ = ρ∠(ϕ + 2kπ) , c = ρeiϕ^ , c = (a, b)

Para estas representa¸c˜oes s˜ao v´alidas as rela¸c˜oes:

ρ =

a^2 + b^2 (M´odulo)

ϕ = arctg

b a

(Fase ou argumento)

Figura 1.1: Representa¸c˜ao gr´afica.

Defini¸c˜ao - Complexo conjugado: ´e chamado conjugado do n´umero complexo c = a+ib ao n´umero c = a − ib, para qualquer valor real de a e b.

1.3 Opera¸c˜oes com n´umeros complexos

1.3.1 Soma

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Propriedades:

• Existˆencia
• Unicidade
• Associativa
• Comutativa
• Existˆencia do neutro
• Triangular: |Z 1 + Z 2 | ≤ |Z 1 | + |Z 2 |

1.3.2 Produto por um n´umero real

r.(a + ib) = ra + irb Propriedades:

• Existˆencia
• Unicidade
• Associativa
• Distributiva
• Existˆencia do neutro

1.3.3 Produto de dois n´umeros complexos

Define-se o produto de dois n´umeros complexos da forma a seguir 1 :

(a + ib).(c + id) = ac + iad + ibc + i^2 bd = (ac − bd) + i(ad + bc) ρ∠ϕ. τ ∠γ = ρ.τ ∠(ϕ + γ)

Propriedades:

• Existˆencia
• Unicidade
• Associativa
• Distributiva
• Existˆencia do neutro

1.3.4 Potˆencia de expoente racional

Z^0 = 1 ∀ Z 6 = 0

Z^1 = Z ∀ Z

Zn^ = Z.Z.....Z︸ ︷︷ ︸ n (ρ∠ϕ)n^ = ρn∠nϕ (^1) Demonstrar a equivalˆencia entre as duas express˜oes como exerc´ıcio

1.4 Transcendentes elementares

eiz^ = cos z + i sin z e−iz^ = cos z − i sin z =⇒

cos z =

eiz^ + e−iz 2 sin z =

eiz^ − e−iz 2 i tan z =

i

eiz^ − e−iz eiz^ + e−iz

Defini¸c˜oes:

cosh z =

ez^ + e−z 2 sinh z =

ez^ − e−z 2 tanh z =

ez^ − e−z ez^ + e−z

Exerc´ıcios:

1. Demonstrar que:

a. ρ∠ϕ. τ ∠γ = ρ.τ ∠(ϕ + γ) b. cos z = eiz^ + 2 e−iz c. sin z = e

iz (^) −e−iz 2 i d. tan z = (^1) ie eiziz^ −+ee−−iziz e. cosh z = cos iz f. sinh z = −i sin iz g. tanh z = −i tan iz

2. Utilizando as fun¸c˜oes transcendentes achar express˜oes simplificadas para:

a. sin(a ± b) b. cos(a ± b) c. tan(a ± b) d. sin(a) ± sin(b) e. cos(a) ± cos(b)

f. tan(a) ± tan(b)

g. sin^2 x + cos^2 x

h. cos^2 x − sin^2 x

i. sinh^2 x + cosh^2 x

j. cosh^2 x − sinh^2 x

k. sinh(x ± y)

l. cosh(x ± y)