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Vibrações

ME77A

Professor: Cláudio TAVARES

VIBRAÇÕES

• Sistemas dinâmicos: Cinemática + Cinética = Dinâmica
• Vibrações mecânicas: movimentos oscilatórios
• Movimento oscilatório: em torno de uma posição de equilíbrio.

Abordagem Newtoniana ou Vetorial

• Equações de equilíbrio (forças)
• Equações cinemáticas (geometria)
• Equações constitutivas (material) Abordagem Lagrangeana ou Energética
• Grandezas escalares
• Definição de diferentes tipos de energias
• Conservação da energia total

Sistemas Dinâmicos Discretos Representação de um sistema físico:

• Contínuo: reais; propriedades distribuídas ao longo do espaço
• Discretos: simplificação; propriedades concentradas em elementos discretos Sistemas discretos são associados a um número finito de graus de liberdade (gdl)
• Gdl: definido como o número de coordenadas generalizadas independentes necessárias para descrever completamente o comportamento do sistema
• Um sistema contínuo, a rigor, possui infinitos graus de liberdade.

Elemento Elástico Usualmente chamado de “mola”: não possui massa e não dissipa energia 𝑭𝑹 = 𝒌. 𝒖 𝒖 = 𝒖𝟏 − 𝒖𝟐 k: é a rigidez (constante de proporcionalidade)

Elemento Dissipador Usualmente chamado de “amortecedor”: não possui massa e não restitui energia 𝑭𝑫 = 𝒄. 𝒖 𝒖 = 𝒖𝟏 − 𝒖𝟐 c: é o amortecimento (constante de proporcionalidade)

Sistemas Dinâmicos Discretos Oscilador Linear Diagrama de corpo livre (abordagem newtoniana) 𝑭𝑹 = k.u 𝑭𝑫 = 𝒄. 𝒖

Sistemas Dinâmicos Discretos Condição de equilíbrio dinâmica (princípio de D’Alambert) 𝑭 𝒕 − 𝒎𝒖 − 𝑭𝑹 − 𝑭𝑫 = 𝟎 𝒎𝒖 + 𝒄𝒖 + 𝒌𝒖 = 𝑭 𝒕 equação de movimento EDO de 2ª ordem

Sistemas Dinâmicos Discretos Conservação da Energia Total (abordagem lagrangeana) Equação de Lagrange para 1 gdl 𝒅𝓛 𝒅𝒕

𝑵 Onde 𝑭 𝑵 = 𝑭 𝒕 − 𝒄 𝒖 , que representa as forças não conservativas

Sistemas Dinâmicos Discretos Conservação da Energia Total (abordagem lagrangeana) 𝝏𝓛 𝝏𝒖

Movimento Oscilatório

• Lineares: pode-se aplicar o princípio da sobreposição
• Não lineares: métodos de análise mais complexos Movimento Harmônico
• Movimento periódico: se repete em intervalos de tempo iguais (τ: período de oscilação)
• A frequência de oscilação é o inverso do período: 𝑓 = 1 𝜏
• Para um movimento representado por 𝑥 𝑡 , se ele é periódico, 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝜏

Movimento Oscilatório

• O movimento harmônico é a forma mais simples de movimento periódico 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 2 𝜋 𝑡 𝜏 : onde A é a amplitude da oscilação

Movimento Oscilatório Representação complexa (fasor) 𝑧 = 𝐴𝑒 𝑖𝜃 = 𝐴 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃: 𝜃 = 𝜔𝑡 𝑅𝑒 𝑧 = A cos 𝜔𝑡 𝐼𝑚 𝑧 = A sin 𝜔𝑡 Para 2 movimentos harmônicos, mas com diferença de fase igual a φ, temos 𝑧 1 = 𝐴 1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 e 𝑧 2 = 𝐴 2 𝑒 𝑖𝜔𝑡+𝜙

Vibração Livre não Amortecida (sistema de 1 gdl) Equação diferencial de movimento −𝑘𝑥 = 𝑚𝑥 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 Mesmo sistema na posição vertical Equilíbrio estático: 𝑚𝑔 − 𝑘𝛿 = 0 −𝑘 𝑥 + 𝛿 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑥 𝑚𝑔 − 𝑘𝛿 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑥 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0