Árvore Binária, Notas de estudo de Informática

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Algoritmos e Estrutura de Dados II

Arvores^ ´ 2017-

Prof. Warley Gramacho [email protected]

Arvore Bin´´ aria

Defini¸c˜ao

Uma ´arvore bin´aria T ´e um conjunto finito de n´os com as seguintes propriedades:

T = ∅, e a ´arvore ´e dita vazia; ou O conjunto consiste em uma raiz, r, e em exatamente duas ´arvores bin´arias distintas TL e TR. A ´arvore TL ´e dita a sub-´arvore esquerda de T , e ´arvore TR ´e dita a sub-´arvore direita de T.

A C E F

B D

K I P

x Y

1 2 3

1 5 6 7

2 3 4

Arvores bin´´ arias

Propriedade 2

Em uma ´arvore bin´aria de altura h o n´umero m´aximo de n´os poss´ıvel 2 h^ − 1_._

n =

h∑− 1 i= 0

2 i^ = 1 + 21 + 22 + 23 + · · · + 2 h−^1 = 2 h^ − 1

Arvores bin´´ arias

Propriedade 3 Em uma ´arvore bin´aria de altura h o n´umero m´ınimo de n´os poss´ıvel ´e h_._

Arvores bin´´ arias

Propriedade 5 Em uma ´arvore bin´aria n˜ao vazia, se n = n´umero de n´os e e = n´umero de arestas, ent˜ao e = n − 1_._

Arvores bin´´ arias

Propriedade 6 Em uma ´arvore bin´aria n˜ao vazia, se n 0 = n´umero sem filhos e n 2 = n´umero de n´os com dois filhos, ent˜ao n 0 = n 2 + 1_._

Tipos Especiais de ´Arvores Bin´arias

´Arvore estritamente bin´aria ´Arvore bin´aria completa

Arvores ziguezague^ ´

´Arvore bin´aria cheia

Arvores Bin´´ arias Estendidas - 2 -´arvores

Defini¸c˜ao

Um ´arvore bin´aria T ´e dita uma 2 -´arvores ou uma ´arvore bin´aria estendida se cada n´o v adimite 0 ou 2 filhos. Em tal caso, os n´os com dois filhos s˜ao chamados de n´os internos , e aqueles com 0 filhos s˜ao os n´os externos.

Extens˜oes de ´Arvores Bin´arias

Defini¸c˜ao Uma ´arvore n-´aria T , n ≥ 2 , ´e um conjunto finito de elementos, denominados n´os ou v´ertices, tais que:

T = ∅, e a ´arvore ´e dita vazia; ou Existem um n´o especial, r, denominado raiz de T , e os restantes podem ser sempre divididos em n subconjuntos disjuntos, as i-´esimas sub-´arvores de r, 1 ≤ i ≤ n, as quais s˜ao tamb´em ´arvores n-´arias.

A raiz da i-´esima sub-´arvore de um n´o v de T , se existir, ´e denominada i-´esimo filho de v A ´arvore n-´aria possui uma ordenac¸˜ao impl´ıcita nas sub-´arvores de cada n´o, mesmo que algumas ou todas essas sub-´arvores sejam vazias.

Arvore´ n-´aria

De maneira similar, definem-se:

´arvore estritamente n-´aria; ´arvore n-´aria cheia; ´arvore n-´aria completa.

Representa¸c˜ao sequencial de ´arvores bin´arias

D

T

S

X J

K

B C

E

A

U W

Y

G H

D E T Y A K S G H U W B C X J

Definindo ´arvore bin´aria

info

1 struct BinaryTree 2 { 3 struct BinaryTree *esq; 4 int info ; 5 struct BinaryTree *dir; 6 }; 7 8 typedef struct BinaryTree TBinaryTree;

Representa¸c˜ao encadeada de ´arvores bin´arias

1

7

7

7 7

7

7 7

3

9

7 7

4

5 8

Definindo ´arvore bin´aria

1 struct BinaryTree 2 { 3 int info ; 4 struct BinaryTree *esq; 5 struct BinaryTree *dir; 6 }; 7 8 typedef struct BinaryTree TBinaryTree;

Listing 1: Definindo em linguagem C