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Instru¸c˜oes para a atividade :
N LEIA AS INSTRUC¸ ˜OES ANTES DE COMEC¸ AR A SUA ATIVIDADE!
N Comece preenchendo todas as informa¸c˜oes solicitadas acima;
N A atividade ´e individual e com consulta;
N D´uvidas acerca do enunciado das quest˜oes s˜ao permitidas;
N As quest˜oes devem ser respondidas usando caneta de cor AZUL ou PRETA ou a L ´APIS com a teoria abordada em sala de aula e em folha de papel OF´ICIO ou ALMAC¸ O;
N O arquivo com o enunciado das quest˜oes juntamente com as folhas de resolu¸c˜ao dever´a ser entregue ao professor no dia da avalia¸c˜ao.
- Um estudo demogr´afico modela a popula¸c˜ao P de uma comunidade (em milhares de habitantes) usando a fun¸c˜ao
P (q) = 3q^2 + 4q + 200,
em que q ´e um ´ındice de qualidade de vida que varia de q = 0 (qualidade de vida extremamente baixa) a q = 10 (qualidade de vida excelente). Suponha que o ´ındice varia com o tempo de tal modo que, daqui a t anos,
q (t) =
t^2 + 2t + 3 2 t + 1
(a) Expresse a fun¸c˜ao composta C (t) = (C ◦ x) (t).
(b) Use a regra da cadeia para determinar a fun¸c˜ao C′^ (t).
(c) Qual ser´a a taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao com o tempo daqui a quatro anos? A popula¸c˜ao estar´a aumentando ou diminuindo nessa ocasi˜ao?
- Pretende-se estender um cabo de uma usina de for¸ca `a margem de um rio de 900 m de largura at´e uma f´abrica situada do outro lado do rio, 3. 000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio ´e de R$ 5, 00 o metro, enquanto que para estendˆe-lo por terra custa R$ 4, 00 o metro.
Figure 1:
(a) Expresse uma fun¸c˜ao custo para estender um cabo da usina de for¸ca at´e `a f´abrica.
(b) Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao do item (a).
(c) Use a teoria de Valor Extremo Absoluto de uma fun¸c˜ao em intervalos fechados para estimar o valor de x que minimiza o custo para o percurso mais econˆomico para o cabo?.
- Uma empresa que fabrica brinquedos para animais de estima¸c˜ao calcula que seus custos e receitas podem ser modelados pelas equa¸c˜oes
C = 75.000 + 1, 05 x e R = 500x −
x^2 25
em que x ´e o n´umero de brinquedos produzidos em 1 semana. A produ¸c˜ao durante uma semana espec´ıfica ´e de 5.000 brinquedos e est´a aumentando a uma taxa de 250 brinquedos por semana. Use deriva¸c˜ao impl´ıcita em rela¸c˜ao a vari´avel tempo t para expressar a equa¸c˜ao que relaciona as taxas de varia¸c˜ao instantˆaneas de (a) C e x, (b) R e x e (c) L e x, onde L ´e o lucro.
- Uma empresa estima que, se x milhares de reais forem investidos na propaganda de certo produto, S (x) unidades do produto ser˜ao vendidas, em que
S (x) = − 2 x^3 + 27x^2 + 132x + 207, para 0 ≤ x ≤ 17.
(a) Quantas unidades ser˜ao vendidas se a empresa n˜ao investir em publicidade?
(b) Quanto a empresa deve investir em publicidade para maximizar as vendas? Qual ´e o n´ıvel m´aximo de vendas?
