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F´ısica Matem´atica I
Jorge L. deLyra
01 de Mar¸co de 2010
03: Fun¸c˜oes Elementares, mas Nem Tanto
Vamos examinar aqui algumas das propriedades de algumas fun¸c˜oes anal´ıticas elementares, visando estabelecer alguma familiaridade com elas. Podemos fazer isto, por exemplo, plo- tando as partes real e imagin´aria de cada fun¸c˜ao, ou outras se¸c˜oes das mesmas no plano complexo. Podemos tamb´em examinar as rela¸c˜oes entre diversas fun¸c˜oes. De forma geral, adquirimos alguma intui¸c˜ao sobre fun¸c˜oes complexas quando as escre- vemos em termos de fun¸c˜oes reais conhecidas. Dada uma fun¸c˜ao complexa, podemos fazer v´arias perguntar relevantes sobre ela, tais como as que seguem.
- Se ela ´e anal´ıtica.
- Como a definir algoritmicamente, em termos de fun¸c˜oes reais.
- Qual ´e o dom´ınio dentro de C onde ela est´a definida e ´e anal´ıtica.
- Qual ´e a sua imagem dentro de C.
- Que equa¸c˜oes diferenciais s˜ao satisfeitas por ela.
- Como escrever a fun¸c˜ao em termos da representa¸c˜ao polar.
- Que propriedades alg´ebricas ela tem.
- Como ela se relaciona com outras fun¸c˜oes.
Com a exce¸c˜ao de quest˜oes anal´ıticas envolvendo derivadas e equa¸c˜oes diferenciais, estes s˜ao os tipos de perguntas que tentaremos responder aqui em alguns casos. Todas as fun¸c˜oes que vamos examinar aqui s˜ao generaliza¸c˜oes de fun¸c˜oes reais. De forma geral, estas gene- raliza¸c˜oes geram fun¸c˜oes anal´ıticas quando trocamos o argumento real x pelo argumento complexo z = x + ı y, presumindo que os algoritmos usados na defini¸c˜ao possam ser es- tendidos dos reais para os complexos atrav´es da generaliza¸c˜ao do corpo R para o corpo C. A fun¸c˜ao resultante ´e portanto uma fun¸c˜ao das duas vari´aveis (x, y), mas a analitici- dade est´a relacionada ao fato de que esta dependˆencia ´e introduzida unicamente atrav´es da combina¸c˜ao linear particular (x + ı y). Por exemplo,
w(x, y) = exp(z) = ex[cos(y) + ı sin(y)]
´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica, mas
w(x, y) = exp(ı x) = cos(x) + ı sin(x)
n˜ao ´e.
Como j´a mostramos antes que a soma, o produto e a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes anal´ıticas s˜ao tamb´em fun¸c˜oes anal´ıticas, a forma mais simples de gerar novas fun¸c˜oes anal´ıticas ´e por meios alg´ebricos, com o uso destas opera¸c˜oes para combinar fun¸c˜oes anal´ıticas j´a conhecidas, como por exemplo as potˆencias zn^ para qualquer n inteiro. Desta forma, a partir de potˆencias positivas e negativas podemos gerar fun¸c˜oes racionais como
w(z) =
1 + z
Vemos de imediato que esta fun¸c˜ao est´a definida em todo o plano complexo exceto pelo ponto z = −1, onde ela tem uma singularidade devida a uma divis˜ao por zero. Para entender melhor a fun¸c˜ao, podemos escrevˆe-la explicitamente em termos das partes real e imagin´aria,
w(z) =
1 + x + ı y
= (1 + x) − ı y (1 + x)^2 + y^2
= (1 + x) (1 + x)^2 + y^2
A parte real pode ser tornada arbitrariamente pequena aproximando-se x de −1 com y 6 = 0, e arbitrariamente grande aproximando-se x de −1 com y = 0. A parte imagin´aria pode ser tornada arbitrariamente pequena aproximando-se y de 0 com x 6 = −1, e arbitrariamente grande aproximando-se y de 0 com x = −1. O valor (0, 0), entretanto, n˜ao est´a acess´ıvel `a fun¸c˜ao, para valores finitos de x e y. Este comportamento radicalmente diferente para v´arios limites que tendem ao mesmo ponto ´e caracter´ıstico de pontos de singularidade, como ´e o caso aqui para o ponto (− 1 , 0). Restringindo z aos eixos real ou imagin´ario, podemos plotar se¸c˜oes da fun¸c˜ao. Sobre o eixo real, ou seja para y = 0, a fun¸c˜ao volta a ser a fun¸c˜ao real que foi originalmente generalizada,
w(x, 0) =
1 + x
que ´e uma fun¸c˜ao real bem familiar, com a parte imagin´aria nula. Sobre o eixo imagin´ario temos
w(0, y) = 1 − ı y 1 + y^2 =
1 + y^2
que tamb´em est´a escrita em termos de fun¸c˜oes reais familiares. Note que desta forma podemos pensar que v´arias fun¸c˜oes reais relacionadas s˜ao codificadas em uma ´unica fun¸c˜ao complexa, em suas se¸c˜oes. Podemos, por exemplo, examinar a fun¸c˜ao sobre o eixo x = y, obtendo
w(x, x) = (1 + x)^2 − ı x (1 + x)^2 + x^2
=
(1 + x)^2 2 x^2 + 2x + 1
−x 2 x^2 + 2x + 1
u = ±
ρ + x 2
v = ±
ρ − x 2
onde os sinais dependem do quadrante onde θ se encontra. Temos portanto para as derivadas parciais que aparecem na primeira condi¸c˜ao de Cauchy-Riemann,
∂u ∂x
ρ + x √ 8 ρ
∂v ∂y
ρ + x √ 8 ρ
de forma que a primeira rela¸c˜ao de Cauchy-Riemann est´a satisfeita, qualquer que seja o sinal escolhido, desde que estas express˜oes existam. Observe-se que as derivadas divergem para ρ → 0, e portanto que n˜ao est˜ao definidas naquele ponto. O mesmo acontece com as as outras derivadas parciais, de forma que as rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann n˜ao est˜ao satisfeitas naquele ponto, apesar de que pode-se verificar que elas est˜ao satisfeitas em pontos arbitrariamente pr´oximos dele e, de fato, em todo o resto do plano complexo. Vemos aqui um exemplo de fun¸c˜ao complexa que n˜ao ´e anal´ıtica num determinado ponto, apesar de n˜ao divergir neste ponto de singularidade. Entretanto, a fun¸c˜ao
z tem mais uma propriedade especial. Como a representa¸c˜ao polar de z ´e peri´odica em θ, ´e claro que podemos somar 2π a θ sem mudar o n´umero, ou seja,
z = eı θ^ = eı θ+2ı π^ = eı θ+2nı π,
para um √ n inteiro qualquer. Desta forma, se somarmos π ao ˆangulo da imagem da fun¸c˜ao z, o quadrado dela n˜ao mudar´a de valor, √ z = ρ eı θ^ ⇒
z 2 = ρ^2 eı^2 θ^ = z, √ z′^ = ρ eı^ (θ+π)^ ⇒
z′^2 = ρ^2 eı^2 θe^2 ı π^ = z,
pois exp(2ı π) = 1. Assim, temos sempre dois n´umeros complexos cujos quadrados s˜ao o mesmo n´umero z, √ z = ρ eı θ, √ z = ρ eı θeı π^ = −ρ eı θ,
pois exp(ı π) = −1. Ou seja, encarada como a fun¸c˜ao inversa de w(z) = z^2 , a fun¸c˜ao w−^1 (z) =
z ´e uma fun¸c˜ao que atribui dois valores diferentes a cada valor de z. A rigor, isto escapa do escopo da defini¸ √ c˜ao usual de uma fun¸c˜ao, mas mesmo assim vamos denominar z de uma fun¸c˜ao com valores m´ultiplos. Esta dualidade de valores ´e uma extens˜ao para o plano complexo da dualidade corres- pondente da fun¸c˜ao real
x, que ´e bem conhecida. Entretanto, como sempre acontece, no plano complexo temos estruturas adicionais. Se examinarmos os valores de
z quando damos uma volta em torno de z = 0 no plano complexo, por exemplo ao longo de um c´ırculo de raio ρ, veremos que a fun¸c˜ao apresenta uma descontinuidade em algum ponto do c´ırculo. Isto entra em contradi¸c˜ao, ´e claro, com o fato de que j´a determinamos que a ´unica singularidade da fun¸c˜ao est´a em z = 0, e que a fun¸c˜ao ´e de fato anal´ıtica em todo o resto do plano. Se usarmos o intervalo [−π, π] para os valores de θ, iniciando o processo em θ = 0 e nos aproximando do ponto θ = π por dois caminhos diferentes, uma vez por valores positivos de θ e outra por valores negativos,
Fig. 1: O plano e os caminhos dos limites.
verificamos que o comportamento da fun¸c˜ao ´e o seguinte,
w(z) =
z =
ρ eı θ/^2 ⇒ w(ρ, θ/2) =
ρ cos(θ/2) + ı
ρ sin(θ/2) → ı
ρ, w(ρ, −θ/2) =
ρ cos(θ/2) − ı
ρ sin(θ/2) → −ı
ρ.
Vemos que os dois valores diferem por uma troca de sinal, e que portanto a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua e n˜ao pode ser anal´ıtica, sobre o semieixo real negativo, a menos do ponto z = 0. O mais curioso ´e que a localiza¸c˜ao desta linha de descontinuidades depende do intervalo que usamos para θ, apesar da escolha deste intervalo ser claramente irrelevante para a descri¸c˜ao polar de z! Por exemplo, se usarmos o intervalo [0, 2 π] para θ, e repetirmos o argumento, ent˜ao a linha de descontinuidades estar´a sobre o semieixo real positivo. Seja qual for o intervalo usado para θ, haver´a sempre uma linha de descontinuidades ligando o ponto z = 0 da singularidade da fun¸c˜ao ao infinito, em alguma dire¸c˜ao. Esta descontinuidade e a aparente n˜ao-analiticidade que decorre dela s˜ao um fenˆomeno curioso, pois se estivermos interessados em lidar com a fun¸c˜ao em uma determinada regi˜ao do plano complexo que n˜ao inclua a origem z = 0, ent˜ao sempre podemos evitar estas singularidades atrav´es de uma mudan¸ca adequada no intervalo para θ! A ´unica coisa que n˜ao podemos fazer ´e dar uma volta completa em torno de z = 0. O mais interessante disto tudo, entretanto, ´e que ´e poss´ıvel redefinir a fun¸c˜ao, como uma fun¸c˜ao complexa de valor duplo, de forma a eliminar completamente estas singularidades. A id´eia ´e devida a Riemann e ela leva ao conceito de uma superf´ıcie de Riemann, composta neste caso de duas folhas de Riemann, que s˜ao ligadas uma `a outra atrav´es de uma linha de ramifica¸c˜ao. Neste caso o ponto de singularidade z = 0 ´e chamado de ponto de ramifica¸c˜ao. Para a fun¸c˜ao w(z) =
z a solu¸c˜ao ´e simples: para voltar ao valor inicial e tornar a fun¸c˜ao cont´ınua, basta dar duas voltas em torno da origem, em vez de apenas uma. Assim, usamos o intervalo [0, 4 π] para os valores de θ, cobrindo portanto o plano complexo n˜ao uma vez mas sim duas vezes. Como temos que
w(ρ, θ = 0) =
ρ eı θ/^2 =
ρ eı^0 =
ρ, w(ρ, θ = 4π) =
ρ eı θ/^2 =
ρ eı^2 π^ =
ρ,
vemos que depois da segunda volta a fun¸c˜ao retorna ao valor que tinha no in´ıcio, sendo portanto cont´ınua e, como poderemos mostrar mais tarde, at´e diferenci´avel. Podemos mostrar facilmente que a fun¸c˜ao ´e anal´ıtica em todos os pontos menos na origem, usando as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann escritas em coordenadas polares. N˜ao ´e dif´ıcil mudar vari´aveis nas condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann de (x, y) para (ρ, θ). A dedu¸c˜ao ´e deixada como exerc´ıcio, e o resultado ´e
exp(z) = ex^ eı y^ = ex[cos(y) + ı sin(y)].
Observe que esta f´ormula mostra que tanto a fun¸c˜ao real exp(x) quanto as fun¸c˜oes reais sin(x) e cos(x) s˜ao aspectos diferentes de uma ´unica fun¸c˜ao complexa, que de certa forma as unifica. Sobre o eixo real, a fun¸c˜ao acima se reduz a exp(x), mas sobre o eixo imagin´ario ela se reduz a uma combina¸c˜ao linear de sin(y) e cos(y). N˜ao ´e dif´ıcil verificar que a fun¸c˜ao pode ser calculada para quaisquer valores de x e y, ou seja, que o seu dom´ınio ´e todo o plano complexo. Al´em disso, como exp(x) n˜ao ´e zero para nenhum valor de x, e a combina¸c˜ao [cos(y) + ı sin(y)] n˜ao se anula para nenhum valor de y, vemos que o valor zero n˜ao ´e atingido pela fun¸c˜ao, ou seja, que a sua imagem ´e todo o plano complexo exceto pelo ponto z = 0. Note-se que exp(z) ´e peri´odica na dire¸c˜ao imagin´aria, com per´ıodo 2πı. A periodicidade da fun¸c˜ao complexa que ´e a parte dependente de y, [cos(y)+ı sin(y)], pode ser representada por infinitas voltas ao longo do c´ırculo unit´ario do plano complexo,
Fig. 3: O c´ırculo unit´ario com cos(y) e sin(y) nos dois eixos.
o que ´e um tipo de periodicidade complexa, que n˜ao passa nunca pelo ponto (0, 0). Podemos com igual facilidade generalizar as fun¸c˜oes sin(x) e cos(x) para o plano com- plexo. Partindo da rela¸c˜ao que j´a temos, deduzida a partir das fun¸c˜oes reais,
exp(ı x) = cos(x) + ı sin(x), exp(−ı x) = cos(x) − ı sin(x),
podemos deduzir, somando e subtraindo as duas equa¸c˜oes, que
cos(x) = eı x^ + e−ı x 2
sin(x) =
eı x^ − e−ı x 2 ı
A generaliza¸c˜ao para o plano complexo pode ser feita com a simples troca de x por z,
cos(z) = eı z^ + e−ı z 2
sin(z) =
eı z^ − e−ı z 2 ı
Fazendo a substitui¸c˜ao z = x + ı y podemos agora escrever cos(z) explicitamente em termos de fun¸c˜oes reais,
cos(z) =
[
e(ı x−y)^ + e(−ı x+y)
]
e−y[cos(x) + ı sin(x)] + ey[cos(x) − ı sin(x)]
[
cos(x)(ey^ + e−y) − ı sin(x)(ey^ − e−y)
]
de forma que temos
cos(z) = cos(x) cosh(y) − ı sin(x) sinh(y),
que resulta escrita em termos das familiares fun¸c˜oes hiperb´olicas reais sinh(x) e cosh(x). Podemos tamb´em fazer o c´alculo an´alogo para a outra fun¸c˜ao, obtendo
sin(z) = sin(x) cosh(y) + ı cos(x) sinh(y).
Ao contr´ario de suas vers˜oes reais, sin(z) e cos(z) n˜ao s˜ao fun¸c˜oes limitadas. Estas s˜ao outras fun¸c˜oes complexas que unificam as fun¸c˜oes reais exp(x), sin(x) e cos(x). As fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao peri´odicas ao longo do eixo real x, mas n˜ao ao longo do eixo imagin´ario y, onde suas partes real e imagin´aria crescem sem limite. Fazendo y = 0 nas f´ormulas acima, vemos que cada fun¸c˜ao complexa se reduz, sobre o eixo real, `a correspondente fun¸c˜ao real. Fazendo x = 0, obtemos sobre o eixo imagin´ario rela¸c˜oes entre as fun¸c˜oes reais sin(x), sinh(x), cos(x) e cosh(x),
cos(ı y) = cosh(y), sin(ı y) = ı sinh(y).
As outras fun¸c˜oes trigonom´etricas podem ser definidas em termos de sin(z) e cos(z) da forma usual,
tan(z) =
cot(z)
sin(z) cos(z)
sec(z) =
csc(z)
cos(z)
Como a fun¸c˜ao cos(z) aparece em denominador nestas f´ormulas, ´e interessante examinar aqui a quest˜ao dos zeros desta fun¸c˜ao. Assim como a localiza¸c˜ao das singularidades, a localiza¸c˜ao dos zeros de uma fun¸c˜ao anal´ıtica tamb´em ´e um importante crit´erio de caracte- riza¸c˜ao destas fun¸c˜oes. Sabemos que a fun¸c˜ao real cos(x) tem zeros, e a localiza¸c˜ao deles. A quest˜ao ´e saber se h´a zeros adicionais ao longo do plano complexo. Se impusermos que cos(z) = 0, temos de ter
cos(x) cosh(y) − ı sin(x) sinh(y) = 0,
o que implica que precisamos ter simultaneamente as condi¸c˜oes
cos(x) cosh(y) = 0 , sin(x) sinh(y) = 0.
Como a fun¸c˜ao cosh(y) nunca ´e zero, segue que cos(x) = 0. Mas nos pontos onde cos(x) se anula a fun¸c˜ao sin(x) nunca se anula, de forma que ´e preciso que sinh(y) = 0, o que implica que y = 0. Assim, vemos que todos os zeros da fun¸c˜ao est˜ao sobre o eixo real y = 0, e s˜ao os zeros conhecidos de cos(x), que s˜ao portanto os ´unicos zeros da fun¸c˜ao cos(z).
