Aula 1-processo de cross, Notas de estudo de Cultura

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Caminhos a trilhar...

TEORIA DAS

ESTRUTURAS

HIPERESTÁTICAS

PROCESSO DE CROSS

FACULDADE FACULDADE

PITÁGORAS PITÁGORAS

Experimento de White, Gergely e Sexsmith (1976)

I - INTRODUÇÃO I - INTRODUÇÃO Figura 1-a O experimento que será apresentado abaixo serve para entender intuitivamente o Processo de Cross. Neste experimento, são feitas sucessivas aplicações de travamentos e liberações das rotações nodais de uma viga contínua de 3 vãos: Passo i - Inicialmente a viga tem todas as suas rotações nodais travadas.A B C D

Figura 1-b I - INTRODUÇÃO I - INTRODUÇÃO Passo ii – Aplica-se uma carga concentrada na posição média do vão central – Como todos os nós tem as suas rotações fixadas artificialmente, o efeito inicial da carga só é

sentido no vão central. O vãos extremos não sofrem

deformação e portanto não apresentam momentos fletores. O desequilíbrio de momentos fletores nos dois nós intermediários está sendo compensado por momentos externos aplicados pelas travas que fixam as rotações. A B C D

Figura 1-d Passo iv – Trava-se novamente o segundo nó e é liberado a rotação do terceiro nó da viga – O resultado é é uma modificação da configuração deformada apenas nos vãos adjacentes ao nó liberado, com uma nova distribuição de momentos fletores nos vão afetados. O primeiro vão permanece com a deformação do passo anterior. I - INTRODUÇÃO I - INTRODUÇÃO A B C D

Figura 1-e Passo v – Os passos de travamento e liberação dos nós são repetidos sucessivamente até a acomodação da viga em uma situação de equilíbrio dos momentos fletores. Os nós são todos liberados e temos a situação final abaixo. Analisando-se assim a deformação da estrutura, percebe-se que o deslocamento angular (φ) e transversal (y) das barras retilíneas promovem também esforços cortantes e momentos fletores nos vãos da viga que não receberam aplicação direta φ φ ’ y A B C D I - INTRODUÇÃO I - INTRODUÇÃO

Podemos utilizar o artifício de no lugar da carga q , considerarmos como carga atuante o valor M/EI , denominado MOMENTO REDUZIDO. Demonstra-se portanto a analogia entre os esforços solicitantes e os deslocamentos, denominada ANALOGIA DE MOHR. Comparando as fórmulas dos grupos (a) e (b), podemos observar coincidências entre elas se substituirmos em (a): q por M ; V por φ e M por y EI Assim, da análise dos deslocamentos angular e transversal (φ e y, respectivamente “para barras retilíneas”) obtém-se a força cortante e o momento fletor das vigas. II – ANALOGIA DE MOHR II – ANALOGIA DE MOHR

III – COEFICIENTE DE RIGIDEZ III – COEFICIENTE DE RIGIDEZ Denominamos rigidez de uma barra num nó ao valor do momento que, aplicado neste nó, suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo. Cálculo do coeficiente de rigidez do nó A da viga biengastada ao lado (figura I-16.1). De acordo com a definição, trata-se de determinar o momento MA que deve ser aplicado no nó A para produzir a rotação φ=1 (figura I-16.2).). Isto corresponde à resolução da viga biengastada AB para o recalque angular φ=1, (figura I-16.3).

∑ MA = 0

 MB. ℓ. 2).. ℓ - MA. ℓ. 1. ℓ = 0

E.I 2). 3 E.I 2). 3

 MA = 2).MB

∑ Y = 0

 1 + MB. ℓ - 2).MB. ℓ = 0

2)..E.I 2)..E.I

 (^) MB = 2)..E.I e MA = 4.E.I O aspécto do diagrama de momentos fletores é o indicado na figura I-17.1. Seja a viga conjugada AB solicitada pelo sistema de cargas fictícias esquematizado na figura I-17.2).. Impondo as condições de equilíbrio estático, temos: K = 4.E.I ℓ III – COEFICIENTE DE RIGIDEZ III – COEFICIENTE DE RIGIDEZ

IV – COEFICIENTE DE IV – COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO OU TRANSPORTE TRANSMISSÃO OU TRANSPORTE Devemos notar que, no caso anterior, como consequência da aparição do momento MA=4EI/ℓ na extremidade que sofreu a rotação unitária, apareceu um momento fletor MB=2).EI/ℓ na outra extremidade da barra. Podemos observar que:

• (^) O momento MB é igual à metade do momento MA;
• (^) Os momentos fletores MA e MB possuem o mesmo sentido vetorial da rotação φ=1 que os provocou. Dizemos então que o coeficiente de transmissão “t” de momentos de um nó engastado para o outro nó engastado, numa barra de inércia constante, é dado por: tAB = MA = +1/2). MB

Por compatibilidade estática do esquema da figura 1 com o da figura 2, temos: M 1 + M2). + M 3 + M 4 = M Daí, obtemos: O termo entre parênteses na equação (3) é a soma dos valores da rigidez em A de todas as barras concorrentes neste nó, e à qual chamaremos de ∑ Ki. Assim: (2).) (3) Considerando as expressões (1) e (4), podemos determinar em que parcelas o momento M irá se dividir entre as diversas barras no nó A: (4) (5) V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO

De maneira geral podemos dizer que uma barra genérica i, irá receber uma fração ( Ki / ∑ Ki ) do momento M aplicado no nó, ou seja: Desta expressão podemos concluir de forma genérica que: “Uma carga momento aplicada num nó de uma estrutura totalmente indeslocável irá se distribuir, entre as diversas barras concorrentes neste nó segundo parcelas proporcionais à rigidez, neste nó, de cada uma das barras”. A expressão ( Ki / ∑ Ki ) simboliza a fração do momento atuante no nó que irá para a barra i. Esta relação é denominada Coeficiente de Distribuição de momentos di para a barra i, ou seja: (6) (7) V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO

V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO V – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO figura 3 c) Convenção de Sinais

• (^) Momentos no sentido horário são exercidos pelas barras 1,2,3 e 4 nos nós;
• (^) Momentos no sentido anti- horário são exercidos pelo nó A nas barras 1,2,3 e 4. No Processo de Cross trabalhamos com os momentos exercidos pelas barras sobre os nós, e eles serão positivos se forem de sentido horário.

V – EXERCÍCIO V – EXERCÍCIO Resolver o pórtico de inércia constante cuja única deslocabilidade (interna) é a rotação do nó A. Sendo I=30, calcular os coeficientes de distribuição, e os momentos fletores utilizando o Processo de Cross.